2011年全国高考理科数学试题及答案-山东1

2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学
本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页，满
分150分。

考试用时120分钟，考试结束后，
将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证证、县区和科类
填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，
答案不能答在试卷上。

3．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相
应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先
划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不
能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按能上
能下要求作答的答案无效。

4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字
说明、证明过程或演算步骤。

参考公式：
柱体的体积公式：V Sh ，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高。

圆柱的侧面积公式：S cl =，其中c 是圆柱的底面周长，l 是圆柱的母线长。

球的体积公式：3
43V R π=，其中R 是球的半径。

球的表面积公式：2
4S R π=，其中R 是球的半径。

用最小二乘法求线性回归方程系数公式：1
2241ˆˆ,n i i
i n i x y nx y b a y bx x
nx ==-==--∑∑，
如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共
50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．
1．设集合 M ={x|2
60x x +-<}，N ={x|1≤x ≤3},则M
∩N =
A ．[1,2）
B ．[1,2]
C ．[2,3]
D ．[2,3] 2．复数z=22i i
-+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象
限 D ．第四象限
3．若点（a,9）在函数3x
y =的图象上，则tan=6a
π的值为
A ．0
B ．33
C ．1
D ．3
4．不等式|5||3|10x x -++≥的解集是
A ．[-5，7]
B ．[-4，6]
C ．(][),57,-∞-+∞
D ．(][),46,-∞-+∞
5．对于函数(),y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“y =()f x 是奇函数”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要
6．若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减，则ω= A ．3 B ．2 C ．32 D ．23
7．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下
表
广告费用x （万元）
4 2 3 5
销售额y （万元）
49 26 39 54
根据上表可得回归方程ˆˆˆy bx
a =+中的ˆ
b 为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为
A ．63．6万元
B ．65．5万元
C ．67．7
万元 D ．72．0万元
8．已知双曲线
22221(0b 0)x y a a b -=＞，＞的两条渐近线均和圆C:22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为
A ．22
154x y -=
B ．22145x y -=
C ．22136x y -=
D ．22
163
x y -= 9．函数2sin 2x y x =-的图象大致是
10．已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且
当02x ≤<时,3()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间
[0,6]上与x 轴的交点的个数为
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
11．右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列
三个命题：①存在三棱柱，
其正（主）视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯
视图如右图；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图．其中真命
题的个数是
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
12．设1A ，2A ，3A ，4
A 是平面直角坐标系中两两不同的
四点，若1312A A A A λ= （λ∈R），1412
A A A A μ=（μ∈R），
且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2
A ,已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，
B 则下面说法正确的是
A ．C 可能是线段A
B 的中点
B ．D 可能是线段AB 的中点
C ．C ，
D 可能同时在线段AB 上
D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上
第II 卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16
分．
13．执行右图所示的程序框图，输入l=2，m=3，n=5，
则输出的y 的值是
14．若6
2
()a x x -展开式的常数项为60，则常数a 的值为 .
15．设函数()(0)2
x f x x x =>+,观察: 根据以上事实，由归纳推理可得：
当n N +∈且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -== . 16．已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4
时，函数f x （）的零点*0
(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .
三、解答题：本大题共6小题，共74分．
17．（本小题满分12分）
在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，
c．已知cos A-2cosC2c-a
=
cos B b
．
（I）求sin
sin C
A
的值；
（II）若cosB=1
4，b=2，ABC
∆的面积S。

18．（本小题满分12分）
红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C 进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为
0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。

（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；
（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望Eξ.
19．（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，
四边形ABCD为平行四边形，
∠ACB=90︒，ＥＡ⊥平面Ａ
ＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥
ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２
ＥＦ.
（Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;
（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．
20．（本小题满分12分）
等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列． 第一列 第二列 第三列 第一行
3 2 10
第二行
6 4 14
第三行
9 8 18
（Ⅰ）求数列{}n
a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln n n n b a a =+-，求数列{}n
b 的前n 项和n
S ． 21．（本小题满分12分）
某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积
为803
π立方米，且2l r ≥．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)c c ＞千元，设该容器的建造费用为y 千元． （Ⅰ）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的
定义域；
（Ⅱ）求该容器的建造费
用最
小时的r ．
22．（本小题满分14分）
已知动直线l 与椭圆C:
22132x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积OPQ
S ∆=62,其中O 为坐标原点.
（Ⅰ）证明2212x x +和2212
y y +均为定值;
（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ⋅的最大值；
（Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D,E,G ，使得6
2ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===?若存在，判断△DEG 的形
状；若不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择题
1—12 ADDDBCBACBAD
二、填空题
13．68 14．4 15．(2
1)2n n x x -+ 16．2
三、解答题
17．解：
（I ）由正弦定理，设,sin sin sin a b c k A B C ===
则22sin
sin 2sin sin ,sin sin c
a k C k A C A
b k B B
---== 所以cos 2cos 2sin sin .cos sin A
C C A B B
--= 即(cos 2cos )sin (2sin sin )cos A C B C A B -=-，
化简可得sin()2sin().A B B C +=+
又A B C π++=，
所以sin 2sin C A = 因此sin 2.sin C A
= （II ）由sin 2sin C A
=得2.c a = 由余弦定理
解得a=1。

因此c=2 又因为1cos ,.4
B G B π=<<且 所以15sin .4B = 因此1
11515sin 12.2244S ac B ==⨯⨯⨯=
18．解：（I ）设甲胜A 的事件为D ，
乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，
则,,D E F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B ，丙不胜C 的事件。

因为()0.6,()0.5,()0.5,P D P E P F ===
由对立事件的概率公式知
红队至少两人获胜的事件有：
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，
因此红队至少两人获胜的概率为
（II ）由题意知ξ可能的取值为0，1，2，3。

又由（I ）知,,DEF DEF DEF 是两两互斥事件， 且各盘比赛的结果相互独立，
因此(0)()0.40.50.50.1,P P DEF ξ===⨯⨯=
由对立事件的概率公式得
所以ξ的分布列为：
0 1 2 3
P 0．1 0．35 0．4 0．
15
因此00.110.3520.430.15 1.6.E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=
19．（I ）证法一：
因为EF//AB ，FG//BC ，EG//AC ，90ACB ∠=︒， 所以90,EGF ABC ∠=︒∆∽.EFG ∆
由于AB=2EF ，
因此，BC=2FC ，
连接AF ，由于FG//BC ，1
,2
FG BC = 在ABCD 中，M 是线段AD 的中点，
则AM//BC ，且1
,2
AM BC = 因此FG//AM 且FG=AM ，
所以四边形AFGM为平行四边形，
因此GM//FA。

又FA⊂平面ABFE，GM⊄平面ABFE，
所以GM//平面AB。

证法二：
因为EF//AB，FG//BC，EG//AC，90
∠=︒，
ACB
所以90,
∠=︒∆∽.
EGF ABC
∆
EFG
由于AB=2EF，
因此，BC=2FC，
取BC的中点N，连接GN，
因此四边形BNGF为平行四边形，
所以GN//FB，
在ABCD中，M是线段AD的中点，连接MN，
则MN//AB，
因为,
=
MN GN N
所以平面GMN//平面ABFE。

又GM⊂平面GMN，
所以GM//平面ABFE。

（II）解法一：
因为90,
∠=︒∠︒
所以CAD=90，
ACB
又EA⊥平面ABCD，
所以AC，AD，AE两两垂直，
分别以AC，AD，AE所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所法的空间直角坐标系，
不妨设22,AC BC AE === 则由题意得A （0，0，0，），B （2，-2，0），C （2，0，0，），E （0，
0，1），
所以(2,2,0),(0,2,0),AB BC =-= 又1,2
EF AB = 所以(1,1,1),(1,1,1).F BF -=-
设平面BFC 的法向量为1
1
1
(,,),m x y z = 则0,0,m BC m BF ⋅=⋅=
所以1
11
0,
,y x z =⎧⎨=⎩
取11
11,z x ==得
所以(1,0,1),m =
设平面ABF 的法向量为2
2
2
(,,)n x y z =， 则0,0,n AB n BF ⋅=⋅=
所以22
22
2
,
1,1,0,
x y y x z =⎧==⎨
=⎩
取得 则(1,1,0)n =， 所以1
cos ,.
||||2
m n m n
m n ⋅=
=⋅
因此二面角A —BF —C 的大小为60.︒ 解法二：
由题意知，平面ABFE ⊥平面ABCD ， 取AB 的中点H ，连接CH ， 因为AC=BC ， 所以CH AB ⊥，
则CH ⊥平面ABFE ，
过H 向BF 引垂线交BF 于R ，连接CR ， 则.CR BF ⊥
所以HRC ∠为二面角A —BF —C 的平面角。

由题意，不妨设AC=BC=2AE=2。

在直角梯形ABFE 中，连接FH ， 则FH AB ⊥，又22,AB = 所以1,2,HF AE BH === 因此在Rt BHF ∆中，6.3
HR =
由于12,2
CH AB == 所以在Rt CHR ∆中，2
tan 3,63
HRC ∠=
=
因此二面角A —BF —C 的大小为60.︒ 20．解：（I ）当1
3a =时，不合题意；
当1
2a =时，当且仅当2
3
6,18a a ==时，符合题意； 当1
10a =时，不合题意。

因此1
2
3
2,6,18,a a a === 所以公式q=3， 故1
23.n n
a -=⋅
（II ）因为(1)ln n
n
n
n
b a a =+- 所以
21222(133)[111(1)](ln 2ln 3)[125(1)]ln 3,
n n n n S n -=++
++-+-++--+-+-++-
所以
当n 为偶数时，132ln 3
132
n n n
S -=⨯+-
当n 为奇数时，
131
2(ln 2ln 3)()ln 3
132
n n n S n --=⨯--+--
综上所述，
21．解：（I ）设容器的容积为V ，
由题意知2
3
480,,33
V r l r V π
ππ=+=又 故
3
22
24
8044203()333V r l r r r r r
ππ-==-=-
由于2l r ≥ 因此0 2.r <≤
所以建造费用2
2
2
420
2342()34,3y rl r c r r r c r
ππππ=⨯+=⨯-⨯+ 因此2
1604(2),0 2.y c r
r r
π
π=-+
<≤
（II ）由（I ）得3
2
2
1608(2)
20
'8(2)(),0 2.2
c y c r r
r r r
c πππ-=--=-
<<-
由于3,20,c c >->所以 当3
32020
0,.22
r r c c -
==--时
令
320
,2
m c =-则0m >
所以2
22
8(2)'()().
c y r m r
rm m r π-=-++
（1）当9022
m c <<>即时， 所以r m =是函数y 的极小值点，也是最小值点。

（2）当2m ≥即932
c <≤时，
当(0,2),'0,r y ∈<时函数单调递减，
所以r=2是函数y 的最小值点，
综上所述，当932c <≤时，建造费用最小时2;r = 当92
c >时，建造费用最小时3
20.2
r c =
-
22．（I ）解：（1）当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称， 所以2
1
2
1
,.x x y y ==-
因为1
1
(,)P x y 在椭圆上，
因此
22
11132
x y +=
①
又因为6
,2
OPQ
S
∆=
所以1
1
6||||.2
x y ⋅=
②
由①、②得1
16
||,|| 1.2
x y =
=
此时22221
2
1
2
3,2,x x y y +=+=
（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为,y kx m =+
由题意知m 0≠，将其代入
22
132
x y +=，得
222(23)63(2)0
k x kmx m +++-=，
其中2
2
2
2
3612(23)(2)0,
k m k m
∆=-+->
即2
2
32k m +>
…………（*）
又
2121222
63(2)
,,
2323km m x x x x k k -+=-=++
所以
22
2
2
2
12122
2632||1()41,23k m PQ k x x x x k k
+-=+⋅+-=+⋅+
因为点O 到直线l 的距离为2
||1,
m d k
=+ 所以1
||2
OPQ
S PQ d ∆=
⋅
又6,2
OPQ
S
∆=
整理得2
2322,
k m +=且符合（*）式，
此时
2222
21
2
121222
63(2)
()2()23,2323km m x x x x x x k k
-+=+-=--⨯=++
综上所述，2
2221
2
1
2
3;2,x x y y +=+=结论成立。

（II ）解法一：
（1）当直线l 的斜率存在时， 由（I ）知1
16
||||,||2||2,2
OM x PQ y ==
==
因此6
||||2 6.2
OM PQ ⋅=⨯=
（2）当直线l 的斜率存在时，由（I ）知
所以2
222111||
||(3)2(2)2OM PQ m m
⋅=
⨯-⨯⨯+
所以5||||2OM PQ ⋅≤，当且仅当2
21
1
32,2m m
m
-
=+
=±即时，等号
成立.
综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为5.2
解法二：
因为2
2
2
222
1
2
1221214||||()
()()()OM PQ x x y y x x y y +=++++-+-
所以
224||||10
2|||| 5.
25
OM PQ OM PQ +⋅≤==
即5||||,2OM PQ ⋅≤当且仅当2||||5OM PQ ==时等号成立。

因此 |OM|·|PQ|的最大值为5.2
（III ）椭圆C 上不存在三点D ，E ，G ，使得
6
.2
ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===
证明：假设存在1
1
2
2
6(,),(,),(,)2
ODE
ODG OEG D u v E x y G x y S S S ∆∆∆===
满足，
由（I ）得
因此D ，E ，G 只能在6(,1)2
±
±这四点中选取三个不同
点，
而这三点的两两连线中必有一条过原点， 与62
ODE
ODG OEG S
S S ∆∆∆===
矛盾，
所以椭圆C 上不存在满足条件的三点D ，E ，G.。