05-自相关

6.2自相关的来源与后果
自相关的来源： 1．模型的数学形式不妥。
（第2版163页） （第3版139页）
2. 惯性。大多数经济时间序列都存在自相关。 3. 回归模型中略去了带有自相关的重要解释变量。
6.2自相关的来源与后果
模型存在自相关的后果
（第2版164页） （第3版140页）
1. 回归系数的最小二乘估计量 ˆ j 仍具有无偏性。 2. Var( ˆ j ) 不再具有最小方差性。 3. 有可能低估误差项 ut 的方差（估计小了） 。 4. 由于 ut 存在自相关时，Var( ˆ1 ) 和 su2 都变大， 都不具有最小方差性。用依据普通最小二乘法 得到的回归方程去预测，预测无有效性。
（1）一阶自回归形式。ut = f (ut-1)
（2）高阶自回归形式。ut = f (ut – 1, u t – 2 , … ) 经济计量模型中自相关的最常见形式是一阶线性自回归形式。
ut = a1 ut -1 + vt
E(vt ) = 0, t = 1, 2 …, T Var(vt) = v2, t = 1, 2 …, T
与 DW 值的对应关系及意义 =0 =1 = -1
0<<1 -1 < < 0 DW DW = 2 DW = 0 DW = 4 0 < DW < 2 2 < DW < 4 ut 的表现 ut 非自相关 ut 完全正自相关 ut 完全负自相关 ut 有某种程度的正自相关 ut 有某种程度的负自相关
6.3 自相关检验
（1）图示法：依据残差 et 对时间 t 的序列图作出判断。 （2）DW（Durbin-Watson）检验法 使用 DW 检验，应首先满足如下三个条件。 （1）误差项 ut 的自相关为一阶自回归形式。 （2） 因变量的滞后值 Yt-1 不能在回归模型中作解释变量。 （3）样本容量应充分大（T 15） DW 检验步骤如下。 H0: = 0 (ut 不存在自相关)。H1: 0 (ut 存在一阶自相关) 用残差值 et 计算统计量 DW。
2
2
T
t2
t2
t 1
2
e
t2
T
2 t 1 T
2
e e
t t2 2
T
t 1
ee
t
T
t 1
所以 DW 可以近似表示为， DW≈
= 2 (1 -
t2 T
ˆ ) = 2 (1 - )
2 t 1
e
t2
t 1
e
t2
6.3 自相关检验
的取值范围是 [-1, 1]，所以DW统计量的取值范围是 [0, 4]。
例6.1 天津市城镇居民人均消费与人均可支配收入的关系。
（3）用广义最小二乘法估计回归参数。 ˆ 首先估计自相关系数 。
（Xt）。令 Yt = CONSUM / PRICE, Xt = INCOME / PRICE
假定所建立的回归模型形式是Yt = 0 + 1 Xt + ut
1400 Y 1200 1000 800 600 400 X 200 0 500 1000 1500 2000
100 80 60 40 20 0 -20 -40 -60 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 RESID
6.4 自相关的解决方法
（第2版171页） （第3版146页）
1. 如果自相关是由于错误地设定模型的数学形式所致，那 么就应当修改模型的数学形式。方法是用残差et 对解释变量的 较高次幂进行回归。 2. 如果自相关是由于模型中省略了重要解释变量造成的， 那么解决办法就是找出略去的解释变量，把它做为重要解释变 量列入模型。 怎样查明自相关是由于略去重要解释变量引起的？一种方法 是用残差et对那些可能影响被解释变量，但又未单列入模型的 解释变量回归，并作显著性检验。 只有当以上两种引起自相关的原因都排除后，才能认为误差 项ut 真正存在自相关。 在这种情况下，解决办法是变换原回归模型，使变换后模型 的随机误差项消除自相关。这种估计方法称作广义最小二乘法。
第6章 自相关
非自相关假定 自相关的来源与后果 自相关检验 自相关的解决方法 克服自相关的矩阵描述（不讲） 自相关系数的估计 案例分析
6.1非自相关假定：Cov(ui, uj ) = E(ui uj) = 0, (i, j T, i j)
如果Cov (ui , uj ) 0, (i, j T, i j)则称误差项ut存在自相关。 自相关又称序列相关。也是相关关系的一种。 自相关按形式可分为两类：
广义最小二乘估计量。 （2）当误差项 ut 的自相关具有高阶自回归形式时，仍可用 与上述相类似的方法进行广义差分变换。 （3）当用广义差分变量回归的结果中仍存在自相关时， 可以对广义差分变量继续进行广义差分，直至回归 模型中不存在自相关为止。
6.5 自相关系数的估计
1. 用 DW 统计量的值计算。
-6 -6 -4 -2 0 2 4 6
c. 负自相关序列
3 U 2
d. 负自相关序列散点图 （第2版161页）
4 U 2
（第3版137页）
1 0 -1
0
-2
-2 -3 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-4 -4 -2 0 2
U (-1) 4
e. 非自相关序列
f 非自相关序列散点图
6.3 自相关检验
（3）LM检验（亦称BG检验）法
（第2版169页） （第3版145页）
LM 统计量既可检验一阶自相关，也可检验高阶自相关。 LM 检验是通过一个辅助回归式完成的，具体步骤如下。 Y t = 0 + 1 X 1 t + 2 X 2 t + … + k X k t + ut 考虑误差项为 n 阶自回归形式 ut = 1 ut-1 + … + n ut - n + vt H0: 1 = 2 = …= n = 0 用多元回归式得到的残差建立辅助回归式，
Yt 和 Xt 散点图
残差图
例6.1 天津市城镇居民人均消费与人均可支配收入的关系。
（1）估计线性回归模型并计算残差。
ˆ = 111.44 + 0.7118 Xt Yt (6.5) (42.1)
R2 = 0.9883, s.e. = 32.8, DW = 0.60, T = 23
（2）分别用DW、LM统计量检验误差项 ut是否存在自相关。 已知DW = 0.60，若给定a = 0.05，查附表4，得DW检验临界值dL = 1.26，dU = 1.44。 因为 DW = 0.60 1.26，认为误差项ut存在严重的正自相关。 LM（BG）自相关检验辅助回归式估计结果是 et = 0.6790 et -1 + 3.1710 – 0.0047 Xt + vt (3.9) (0.2) (- 0.4) R2 = 0.43, DW = 2.00 LM = T R2 = 23 0.43 = 9.89。因为20.05(1) = 3.84，LM = 9.89 > 3.84，所以LM检验 结果也说明误差项存在一阶正自相关。 EViews的LM自相关检验操作：点击最小二乘回归窗口中的View键，选Residual Tests/Serial Correlation LM Test…，在随后弹出的滞后期对话框中给出最大滞后期。 点击OK键。
ˆ a1 =
t2 T
T
。若把 ut, u t-1 看作两个变量，则它们的相关系数是
2
u t 1
t2
T
u t u t 1
ˆ =
t2
。对于充分大的样本显然有

T
ut
2
t2

T
ut
t2
T
2
u t 1 2 。
t2
T
u t 1
2
t2
u t u t 1
把这种关系代入上式得
( e t e t 1 )
DW =
t2
T
2
et
=
t2
T
2
e t 1 2 e t e t 1
2 t2 t2
T
T
et
t 1
T
2
et
t 1
T
T
T
2
（第2版167页） （第3版142页）
因为在样本容量充分大条件下有 e t ≈ e t 1 ≈ e t 2
ˆ ˆ et = 1 et-1 + … + n et-n + 0 +1 X1 t +2 X2 t + … + k Xk t + vt
估计并计算确定系数 R2。构造 LM 统计量，LM = TR2 若 LM = T R2 2(n)，接受 H0；若 LM = T R2 > 2(n)，拒绝 H0。
（第2版168页） （第3版144页）
当DW值落在“不确定”区域时，有两种处理方法。（1）加大样本容量或 重新选取样本，重作DW检验。有时DW值会离开不确定区。（2）选用其 它检验方法。 DW检验临界值与三个参数有关。（1）检验水平a，（2）样本容量T , (3) 原回归模型中解释变量个数k（不包括常数项）。
ˆ = 1 -（DW / 2）
（第2版177页） （第3版151页）
2. 直接拟合估计。
6.6 案例分析
（第2版177页） （第3版152页）
例6.1 天津市城镇居民人均消费与人均可支配收入的关系。 改革开放以来，天津市城镇居民人均消费性支出（CONSUM），人 均可支配收入（INCOME）以及消费价格定基指数（PRICE）数据 （1978~2000年）见表6.2。现在研究人均消费与人均可支配收入的关系。 先定义不变价格（1978=1）的人均消费性支出（Yt）和人均可支配收入
vt 满足通常的假定条件，可以用OLS法估计上式。
6.4 自相关的解决方法
注意：
（第2版173页） （第3版148页）
（1）上式中的 1, …, k 就是原模型中的 1, …, k。
0*与原模型中的 0 有如下关系， 0 = 0* / (1 - )
ˆ ˆ ˆ 上述方法得到的 0 , 1 , …, k 称作回归系数的
ˆ
t2 T
T
ˆ a1 u t 1
2

t2
对于总体参数有 = a1，回归模型中误差项 ut 的 一阶自回归形式可表示为，
ut = ut-1 + vt
（第2版教材第159页） （第3版教材第136页）
序列的自相关特征分析。给出具有正自相关，负自相关和非自相关三个序列。
4 X
6 X 4
2
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-6 -6 -4 -2 0 2
X(-1) 4 6
6 X 4 2 0 -2 -4 -6 10
a. 正自相关序列
6 X 4 2 0 -2 -4
b. 正自相关序列散点图
X(-1)
20 30 40 50 60 70 80 90 100
（第2版172页） （第3版147页）
其中ut具有一阶自回归形式ut = ut-1 + vt 其中vt 满足通常的假定条件
Yt -1= 0 + 1X1 t -1 + 2 X2 t -1 + … + k X k t-1 + ut-1
上两式相减，得 Yt-Yt -1 = 0 (1-) + 1 (Xt - X1 t-1) +… + k (Xk t - Xk t -1) + vt 作广义差分变换： Yt* = Yt - Yt -1 ; Xj t* = X j t - Xj t-1, j = 1, 2 , … k ; 0* = 0 (1- ) 则模型如下 Yt* = 0*+ 1 X1t* + 2 X2 t* +… + k Xk t* + vt ( t = 2, 3,… T)
Cov(vi, vj ) = 0, i j, i, j = 1, 2 …, T
Cov(ut-1, vt) = 0, t = 1, 2 …, T
（第2版教材第159页） （第3版教材第135页）
依据普通最小二乘法公式，模型 ut = a1 ut -1 + vt 中 a1 的估计公式是，
u t u t 1
6.4 自相关的解决方法
Yt = 0 + 1 X1 t + 2 X2 t+ … + k X k t + ut (t = 1, 2, …, T ) Yt = 0 + 1 X1t +2 X2 t + … + k Xk t + ut -1 + vt 用第1式求(t - 1) 期关系式，并在两侧同乘: