第八章绕流运动

x
y
在以上二式中均取积分常数为零，这对流动的计算并无影响。
一 均匀流
设均匀流的速度为与 x 轴平行，那么
ux x y a
uy
y
x
0
求速度势函数: d uxdx uydy adx ax c
令 c=0， ax
求流函数 d uydx uxdy ady ay c 令 c=0， ay
得证。
§8.2 平面无旋流动
1 流网的性质
（2）流网中每一网格的边长之比等于和 的增值之比
若取 =，则流网网格为正方形网格。
／
证明：如右图所示，取相邻两线间的差 值为ΔC，流线间隔为Δn ，等势线间隔 为Δs。
us
q A
n
C n
且
us
s
s
C s
所以 C n，则流网网格为正方形网格。
§8.2 平面无旋流动
仍为
Γ
ur r 0, u r 2 r
由以上关系式知，r 0 时，u ，所以涡点为奇点，该式仅 适用于 r＞0 区域。由此式可见， 只是 的函数。
故有
d
u rd
2
d
积分得
2
速度和流函数的关系为
ur
1 r
0，
u r
r 上式表明 只是 的函数，所以
d
u dr
Γ 2 r
dr
点涡
上式积分得
Γ ln r 2
由上可知，点涡流场的等势线为不同极角的径线，即 =常数；流线为不同半径的同心圆
数。与点源（或点汇）相反。点涡的强度即沿围绕点涡的速度环量 Γ ＞0 时，环流为逆时针方
0，环流为顺时针方向。由斯托克斯定理知，点涡的强度 Γ 取决于旋涡的强度。
以上几种简单的平面势流实际中很少应用，但它们是势流的基本单元，若把 本单元叠加在一起，可以形成许多有实际意义的复杂流动。
点源和点汇叠加
偶极流
a
0
时，源点和汇点无限接近，流量为无限增大，使得
lim
a0
Q2a
M
Q
取有限值，称这种流动为偶极流。M 为偶极子矩，其方向由源点指向汇
点。当 为微量时，
ln(1 ) 2 / 2 3 / 3 ...
故可得偶极流的速度势和流函数分别为
lim{ Q ln[1 4xa ]} lim[ Q 4xa ]
§8.1 无旋流动
在极坐标中中，径向微元线段是 d，r 四周的微元线段是 rd，
则速度势函数 r, 与速度 ur , u 的关系为：
ur
r
u
r
相应的其速度势函数的拉普拉斯方程极坐标形式为：
2 2 1
r 2 2
r 2
r
r
0
§8.1 无旋流动
➢ 速度势函数的性质
（1）速度沿三个坐标轴的分量等于速度势对于相应坐标的偏导数
两个强度Q 相等的位于点 A(-a,0)的点源和位于点 B(a,0)的点汇叠
加，如图所示。由于
tan( A
B
)
tan A tan B 1 tan A tan B
y /(x a) y /(x a) 1 [ y /(x a)][ y /(x a)]
x2
2ay y2 a2
组合流动的速度势和流函数为
适用范围：无旋流、有旋流、实际流体、理想流体的不可压缩流体的平面流动。
对于无旋流，有 ux uy y x
则流函数的拉普拉斯方程形式为：
2
x2
2
y 2
0，或2 =0
§8.2 平面无旋流动
➢ 流函数的性质
（1）流函数等值线 (x, y)就是C流线。 (x, y) C，d uydx uxdy 0
(a): ux ;1, uy 2
(b): ux 4x,。uy 4 y 试求：（1）判别流动(a)中是否存在流函
数？若存在，求流函数 。
（2）判别流动(b)中是否存在势函
数？若存在，求势函数 。
例2：已知流场的流函数 ax2 ； a（y21）
证明此流动是无涡流； （2）求出相应的速度势函数； （3）证明流线与等势线正交。
（2）电比拟法。
3.流网的应用
流网原理已广泛用于理想流体势流中的速度场、压强场求解，如土坝渗流等。
流速场：因流网中，任两相邻流线之间 相y 同，亦即网格内流量 ，q C
又
u
q ，所以各网格内 u1
n
u2
n2 n1
（流速与间距△n成反比）。
已知一点流速
其他各点流速
压强场：
p1 p2 g
p g
z2
z1
圆，即 r =常数；流线为不同极角的径线，即 =常数。
在水平面 x y 面上，对半径 r 处和无穷远处列伯努利方程
p v2 p
2
代入速度值后
p
p
q2v 8 2 r 2
（7-44c）
由上式可知，压强随着半径的减小而降低。零压强处的半径为
r0
[ qv2 8 2 p
]1/ 2 。以上各式仅适用于 r
2 流网的绘制
（1）图解法
1）固体边界上的运动学条件是垂直于边界的流速分量应为零，液体必然
沿固体边界流动，所以固体边界本身是流线之一。等势线与边界正交。
2）自由液面处和液面垂直的流速等于零。所以自由液面必是流线。
3）根据事先选定的网格比例绘制出流线和等势线。再根据流网特征反复
修改，力争使每一个网格都绘制成曲边正方形。
u22 u11已知一点压强 2g
其他各点压强
§8.3 几种简单的平面无旋流动
一、均匀直线流动
流速的大小和方向沿流线不变的流动为均匀流；若流线平行且流速相 等，则称均匀等速流。如： ux a，uy b
由于 d dx dy adx bdy ax by
x y
而
d dx dy bdx ady bx ay
二、源流和汇流叠加的流动——偶极子流
一 汇流和点涡叠加的流动——螺旋流
若点源和点涡均位于坐标原点，组成一新的流场，其速度势和流函数为
1
2
1 2
(Q
ln
r
Γ
)
1 2
1 2
(Q
Γ
ln r)
令以上的速度势和流函数为常数，得到的等势线和流线方程分别为
，
r C1eQ
Q
r C2e
其图像如图所示，等势线和流线是两组相互
z
即速度在三坐标轴上的投影，等于速度势函数对于相应坐标的偏导数。 进一步，我们可以得出速度速度在任一方向的分量等于速度
势函数在该方向上的偏导数，即：
u cos
s
u, s
us
结论：流速势函数的存在条件：不可压缩流。
§8.1 无旋流动
ux
x
则这种流动称为平面流动。
此时只有旋转角速度 分z 量， 而如果旋转角速度分量 z ，0
则这种流动称为平面无旋流动。 相应的，其连续性方程为
ux uy 0 x y
ux uy x y
由上式可以定义一个函数 x,,使y得
ux
y
或
uy
x
ur r
u
r
式中：—不可压缩流体平面流动的流函数。
Q 2
(ln rA
ln rB )
qv 2
ln
rA rB
Q 4
ln
(x a)2 (x a)2
y2 y2
（7-52）
Q 2
( A
B )
Q 2
p
Q 2
arctan
x2
2ay y2 a2
（7-53）
p 是 AP 、BP 之间的夹角，在流线上 =常数， p =常数。其图像为
经过源点和汇点的圆线族。
得平面流线方程： dx dy 得证 ux uy
（2）在平面流动中，两条流线间单位厚度通过的体积流量等于两条流 线上的流函数之差。
qV
B
undl
A
B
[un
A
cos(n, x) un
cos(n, y)]dl
B
[ux
A
dy dl
u
y
(
dx dl
)]dl
B
(uxdy uydx)
A
B
A
例1：有下面二个流动
ux y
0
u y x
ux y
ux z
uz x
uz y
u y z
而由速度的全微分理论得，空间必然存在一个势函数 ，使得：
d x, y, z uxdx uydy uzdz
§8.1 无旋流动
而由势函数的全微分得：
d dx dy dz
x y z
ux
x
uy
y
uz
本章主要介绍理想流体的运动规律，同时简单介绍附面层的理论。
§8.1 无旋流动
由第七章知，如果在一个流动区域内各处的涡量或它的分量都等于零， 也就是沿任何封闭曲线的速度环量都等于零，则在这个区域内的流动一定 是无旋流动，即：
x
1
2
uz y
u y z
0
y
1 2
ux z
uz x
0
z
1 2
u y x
1 u r 0
ur
r
(a)
(b)
源流和汇流
根据流体的连续性原理，在极坐标中流体流过任意单位高度 圆柱面的体积流量Q （也称为源流或汇流的强度）都相等，即
Q
ur 2 r
上式中点源取正号，点汇取负号。根据上式， 只是 r 的函
数，所以
d
ur dr
Q
2 r
dr
积分得
Q ln r Q ln x2 y2
2
2
以上讨论表明，当 r 0 时，ur ，源点和汇点是奇点，以上
和ur 只有在 r ＞0 时才有意义。流函数和速度的关系为
ur
1 r
，
u r 0
因此， 只是 的函数，故有
d
rur d
Q 2
d
上式积分得
Q Q tan1 y
2
2
x
（7-44b）
根据以上得到的流函数和势函数可知，等势线为不同半径的同心
1 流网的性质 （1）等势线与等流函数线处处正交
证明：等势线簇： (x, y) C
d
uxdx uydy
0，dy dx
const
ux uy
等流线簇： (x, y) C
为等势线斜率；
d
uydx uxdy 0，
dy dx const
uy ux
为流线斜率；
dy
dy
1
dx const dx const
§8.2 平面无旋流动
➢ 速度势函数 和流函数 的关系
ux x y
uy y x
0
x x y y
则等势线簇 (x, y)和流C线簇
相(x互, y垂)直。C
§8.2 平面无旋流动
➢ 流网（flow net）： 不可压缩流体平面流动中，在流体质点没有旋 转角速度的情况下，流线簇与等势线簇构成的正交网格。
r0
的区域。
例1：平面点源（汇）流动，
求：（1）问是否为有势流。
（2）若有势，求流速势函数 。
（3）是否为不可压缩流体。
（4）求平面流动的流函数 。
（5）求压强分布。
三 环流
若直线涡束的半径 rb 0 ，则垂直于该涡束的平面内的流动称为 点涡或自由涡流，涡流中心称为涡点。涡点以外势流区的速度分布
§8.4 势流叠加
几个简单有势流动叠加得到的新的有势流动，其速度势函数和流函 数分别等于原有几个有势流动的速度势函数和流函数的代数和，速度 分量为原有速度分量的代数和。
研究势流叠加原理的意义：将简单的势流叠加起来，得到新的复杂流 动的流函数和势函数，可以用来求解复杂流动。
一、汇流和点涡叠加的流动——螺旋流
正交的对数螺旋线，故称汇流和点涡叠加的流
动为螺旋流。
其速度分布为:
vr
r
Q 2 r
v
1 r
Γ 2r
压强分布可用前述方法导出，表达式为
(Q2 Γ 2 ) p p 8 2r 2
其适用范围应为 。 r
r0
[ (Q2 Γ 2 ) ]1/ 2 8 2 p
螺旋流网
二 源流和汇流叠加的流动——偶极子流
引言
实际流体都有粘性，但对于一些实际问题，如本章要介绍的绕流问题， 由于其雷诺数相对较大，因而流体中的惯性切应力远远大于粘性切应力， 则粘性切应力可以忽略不计，因而流体可以简化为理想流体，则相应的 计算理论可选用理性流体的计算理论。
流体在绕障碍物流动时，在靠近障碍物的一薄层内，存在着强烈的剪 切流动，因而粘性切应力不能忽略，这一层我们称为附面层，在附面层 内，粘性切应力对流动起着主导作用。
ux
x
uy
y
uz
z
（2）在有势流动中，沿一曲线的速度环量等于曲线终点与起点的速度势之差。
AB
B
uxdx uydy
A
uzdz
B
A
x
dx
y
dy
z
dz
B
d
A
B
A
（3）在有势流动中，速度势函数满足拉普拉斯方程。
2
x2
2
y 2
2
z 2
2
0
§8.2 平面无旋流动
在流场中，如果 ux、uy 只是 x, y 的函数，且与 z 无关，而 uz 0，
现在我们把速度势函数
uy
y
代入不可压缩流体的连续性方程
uz
z
ux uy uz 0 x y z
2 2 2 0
x2 y2 z2
或
2 =0
上式为速度势函数的拉普拉斯方程形式。
问题：设速度势函数 x，yz则点B（1，2，1）处的速度 为u：B （ ） C
A、5；B、1；C、3；D、2。
则均匀流的等势线是一族平行于 y 轴的直线，流线为
一族平行于 x 轴的直线,如取 ，则其流网是正方形
网格.
图2 均匀流示意图
二 源流和汇流
无限大平面上，流体从一点沿径向直线均匀地向外流出的流动，称为点源，
这个点称为源点；如果流体沿径向均匀的流向一点，称为点汇，这个点称为汇点。 不论是点源还是点汇，流场中只有径向速度，即