初一奥数阶梯练习(2)整式的乘除

初一奥数阶梯练习（2）整式的乘除
【一】解答题〔共11小题，总分值120分〕
1、求[x3﹣〔x﹣1〕2]〔x﹣1〕展开后，x2项的系数、
2、先化简，再求当x=时的值、〔x﹣2〕〔x2﹣2x+4〕﹣x〔x+3〕〔x﹣3〕+〔2x﹣1〕2、
3、化简〔1+x〕[1﹣x+x2﹣x3+…+〔﹣x〕n﹣1]，其中n为大于1的整数、
4、计算
〔1〕〔a﹣b+c﹣d〕〔c﹣a﹣d﹣b〕；
〔2〕〔x+2y〕〔x﹣2y〕〔x4﹣8x2y2+16y4〕、
5、附加题：〔y﹣z〕2+〔x﹣y〕2+〔z﹣x〕2=〔y+z﹣2x〕2+〔z+x﹣2y〕2+〔x+y﹣2z〕2、
求的值、
6、设g〔x〕=3x2﹣2x+1，f〔x〕=x3﹣3x2﹣x﹣1，求用g〔x〕去除f〔x〕所得的商q〔x〕及余式r〔x〕、
7、试确定a和b，使x4+ax2﹣bx+2能被x2+3x+2整除、
8、计算：
〔1〕〔a﹣2b+c〕〔a+2b﹣c〕﹣〔a+2b+c〕2；
〔2〕〔x+y〕4〔x﹣y〕4；
〔3〕〔a+b+c〕〔a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc〕、
9、化简：
〔1〕〔2x﹣y+z﹣2c+m〕〔m+y﹣2x﹣2c﹣z〕；
〔2〕〔a+3b〕〔a2﹣3ab+9b2〕﹣〔a﹣3b〕〔a2+3ab+9b2〕；
〔3〕〔x+y〕2〔y+z﹣x〕〔z+x﹣y〕+〔x﹣y〕2〔x+y+z〕〔x+y﹣z〕、
10、z2=x2+y2，化简〔x+y+z〕〔x﹣y+z〕〔﹣x+y+z〕〔x+y﹣z〕、
11、设f〔x〕=2x3+3x2﹣x+2，求f〔x〕除以x2﹣2x+3所得的商式和余式、
答案与评分标准
【一】解答题〔共11小题，总分值120分〕
1、系数为3、
2、解：原式=〔x3﹣2x2+4x﹣2x2+4x﹣8〕﹣x〔x2﹣9〕+〔4x2﹣4x+1〕，
=〔x3﹣4x2+8x﹣8〕﹣〔x3﹣9x〕+〔4x2﹣4x+1〕，
=13x﹣7=9﹣7=2、
3、解：原式=1﹣x+x2﹣x3+…+〔﹣x〕n﹣1+x﹣x2+x3+…﹣〔﹣x〕n﹣1+〔﹣x〕n
=1+〔﹣x〕n。

本例可推广为一个一般的形式：〔a﹣b〕〔a n﹣1+a n﹣2b++ab n﹣2+b n﹣1〕=a n﹣b n、
4、解：〔1〕原式=[〔c﹣b﹣d〕+a][〔c﹣b﹣d〕﹣a]=〔c﹣b﹣d〕2﹣a2=c2+b2+d2+2bd﹣2bc ﹣2cd﹣a2，
〔2〕∵x4﹣8x2y2+16y4=〔x2﹣4y2〕2∴原式=〔x2﹣4y2〕〔x2﹣4y2〕2=〔x2﹣4y2〕3
=〔x2〕3﹣3〔x2〕2〔4y2〕+3x2•〔4y2〕2﹣〔4y2〕3=x6﹣12x4y2+48x2y4﹣64y6、
5、解：∵〔y﹣z〕2+〔x﹣y〕2+〔z﹣x〕2=〔y+z﹣2x〕2+〔z+x﹣2y〕2+〔x+y﹣2z〕2、
∴〔x﹣y〕2+〔x﹣z〕2+〔y﹣z〕2=0、∵x，y，z均为实数，∴x=y=z、
∴==1、
6、解：由于f〔x〕为3次多项式，首项系数为1，而g〔x〕为2次，首项系数为3，故商q〔x〕必为1次，首项的系数必为，而余式次数小于2，于是可设商式q〔x〕=+a，余式
r〔x〕=bx+C、根据f〔x〕=q〔x〕g〔x〕+r〔x〕，得
x3﹣3x2﹣x﹣1=〔3x2﹣2x+1〕〔x+a〕+〔bx+c〕=x3+〔3a﹣〕x2+〔b﹣2a+〕+〔a+c〕
比较两端系数，得
，
解得a=﹣，b=﹣，c=﹣，故商式q〔x〕=x﹣，余式r〔x〕=﹣x﹣、
7、解：由于x2+3x+2=〔x+1〕〔x+2〕，假如f〔x〕能被x2+3x+2整除，那么〔x+1〕和〔x+2〕必是f〔x〕的因式，因此，当x=﹣1时，f〔﹣1〕=0，即1+a+b+2=0，①
当x=﹣2时，f〔﹣2〕=0，即16+4a+2b+2=0，②由①，②联立，那么有，解得、
8、解：〔1〕原式=a2﹣〔2b﹣c〕2﹣〔a2+4b2+c2+4ab+4bc+2ac〕
=a2﹣4b2﹣c2+4bc﹣a2﹣4b2﹣c2﹣4ab﹣4bc﹣2ac
=﹣8b2﹣2c2﹣4ab﹣2ac；
〔2〕原式=[〔x+y〕〔x﹣y〕]4=〔x2﹣y2〕4=x8+y8+6x4y4﹣4x6y2﹣4x2y6；
〔3〕原式=a3+ab2+ac2﹣a2b﹣a2c﹣abc+a2b+b3+bc2﹣ab2﹣abc﹣b2c+a2c+b2c+c3﹣abc﹣ac2﹣bc2=a3+b3+c3﹣3abC、
9、解：〔1〕〔2x﹣y+z﹣2c+m〕〔m+y﹣2x﹣2c﹣z〕=[〔m﹣2c〕+〔2x﹣y+z〕]•[〔m﹣2c〕﹣〔2x﹣y+z〕]=〔m﹣2c〕2﹣〔2x﹣y+z〕2=m2﹣4cm+4c2﹣〔4x2+y2+z2﹣4xy+4xz﹣2yz〕=m2﹣4cm+4c2﹣4x2﹣y2﹣z2+4xy﹣4xz+2yz；
〔2〕〔a+3b〕〔a2﹣3ab+9b2〕﹣〔a﹣3b〕〔a2+3ab+9b2〕=〔a3+27b3〕﹣〔a3﹣27b3〕=54b3；〔3〕〔x+y〕2〔y+z﹣x〕〔z+x﹣y〕+〔x﹣y〕2〔x+y+z〕〔x+y﹣z〕，
=〔x+y〕2[z﹣〔x﹣y〕][z+〔x﹣y〕]+〔x﹣y〕2[〔x+y〕+z]×[〔x+y〕﹣z]，
=〔x+y〕2[z2﹣〔x﹣y〕2]+〔x﹣y〕2[〔x+y〕2﹣z2]=〔x+y〕2z2﹣〔x﹣y〕2z2=4xyz2、10、解：原式=〔x+y+z〕〔x+y﹣z〕〔x﹣y+z〕〔﹣x+y+z〕
=[〔x+y〕2﹣z2][z2﹣〔x﹣y〕2]=〔x2+y2+2xy﹣z2〕〔z2﹣x2﹣y2+2xy〕
把z2=x2+y2代入得，原式=2xy•2xy=4x2y2、
11、解：如右图所示：
〔2x3+3x2﹣x+2〕÷〔x2﹣2x+3〕=〔2x+7〕…〔7x﹣19〕
∴f〔x〕除以x2﹣2x+3所得的商式是〔2x+7〕，余式是〔7x﹣19〕、。