材料力学弯曲应力PPT课件

M
Fl
F 解：1.画梁的剪力图和弯矩图
按正应力计算
max
M max Wz
6F1l bh2
F1
bh2
6l
107 100 1502 109 6
3750N
3.75kN
按切应力计算
max 3FS / 2A 3F2 / 2bh
F2 2 bh / 3 2106 100150106 / 3 10000N 10kN 35
截面为bh=30 60mm2 的矩形
求:1截面竖放时距离中性层20mm 处的正应力和最大正应力max; (2) 截面横放时的最大正应力max
b
解: M Fa 5103 0.18 900Nm
竖放时
横放时
IZ
bh3 12
30 603 12
54cm 4
y 20mm : M y 33.3MPa
主要公式:
变形几何关系 y
物理关系 E
E y
静力学关系
1 M
EIZ
My
IZ
为曲率半径
1
为梁弯曲变形后的曲率
11
§5.2 纯弯曲时的正应力
弯曲正应力公式适用范围
弯曲正应力
My
IZ
•横截面惯性积 Iyz =0
•弹性变形阶段 ( p )
•细长梁的纯弯曲或横力弯曲近似使用
12
试校核梁的强度。
分析： 非对称截面,要寻找中性轴位置 作弯矩图,寻找需要校核的截面
要同时满足 t,max t , c,max c
25
例题
解：（1）求截面形心
52
z1 z
yc
80 2010 120 2080 80 20 120 20
52mm
（2）求截面对中性轴z的惯性矩
Iz
80 203 12
8
§5.2 纯弯曲时的正应力 E E y
平衡条件找答案
三、平衡条件：
z
xM
dA dA
Y 0;
Z 0; mx 0;
自动满足
y
X 0
dA A
E y dA E
A
ydA
A
E
Sz 0
E 0
Sz yC A 0
yC 0
中性轴通过形心 y z 为形心主惯性轴
9
my 0
12
32
例 比较矩形截面悬臂梁的最大正应力和最大切应 力.
Fl
解： M Fl , max
Fs max F
h b
max
6Fl bh2
,
max
3F 2bh
max 4l max h
h b, h＜b :切应力假设不成立，将产生较大误差
33
常用梁截面的最大切应力.
圆形截面梁： max
4Fs 3A
FBY
y
C 截面惯性矩
IZ 5.832 105 m4
x
90kN
M ql 2 / 8 67.5kN m
x
Cmax
M C ymax IZ
60 103 180 103
2 5.832 105
92.55106 Pa 92.55MPa
18
例题
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
5.832 105 m4
K
M C yK IZ
60103 (180 30) 103 2
5.832 105
x
61.7 106 Pa 61.7MPa（压应力）
17
例题
2. C 截面最大正应力
q=60kN/m
120
C 截面弯矩
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
B
x
180
K
30
z
M C 60kN m
第五章 弯曲应力
1
回顾
内力
应力
F
A
T
IP
M
?
?
FAy
FS
2
纯弯曲
§5.1 纯弯曲
梁段CD上,只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲
梁段AC和BD上,既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲
3
§5.1 纯弯曲
弯曲变形 实验现象
4
§5.1 纯弯曲
平面假设：横截面变形后保持为平面,只是绕截
面内某一轴线偏转了一个角度.
圆截面
IZ
d 4
64
WZ
d 3
32
空心圆截面 矩形截面
IZ
D 4
64
(1
4)
WZ
D3
32
(1
4)
IZ
bh3 12
WZ
bh2 6
IZ
b0h03 12
bh3 12
WZ
( b0 h0 3 12
bh3 12
)
/(h0 / 15
2)
例题
y
a
F
Fa
20
h
例 图示简支梁
已知: a =180mm , F =5kN,
M ql 2 / 8 67.5kN m
B
x
FBY
x 90kN
x
180
120
3. 全梁最大正应力
30 最大弯矩
K
z M max 67.5kN m
y
截面惯性矩
I z 5.832 105 m4
max
M max ymax IZ
67.5103 180 103
2 5.832 105
104.17 106 Pa 104.17MPa
46.4MPa
32
车轴满足强度要求
22
例题
某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦 自重 F1 6.7kN,起重量 F2 50kN, 跨度 l 9.5m, 材料的许用应力
140MPa, 试选择工字钢的型号。
分析 （1）确定危险截面
（２）计算 M max
（３）计算Wz ，选择工 字钢型号
120
2.C 截面上最大正应力
180
B
x
K
30
3.全梁上最大正应力 z
4.C 截面的曲率半径ρ
FBY
y
FS 90kN
M ql 2 / 8 67.5kN m
解：1. 求支反力 FAy 90kN FBy 90kN
M C 901 601 0.5 60kN m
x 90kN
IZ
bh3 12
0.12 0.183 12
23
解：（1）计算简图
（2）绘弯矩图
（3）根据
max
M max Wz
计算
(6.7 50) 103 9.5
Wz
M max
4 140106
962106 m3 962cm3
（4）选择工字钢型号
36c工字钢 Wz 962 cm3
（5）讨论 q 67.6kg/m
24
例题 T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。t 30MPa, c 60MPa,
M
7.5kNm
解： 截面的尺寸并比较其重量.
圆形
WZ
D3
32
圆环
WZ
D3
32
(1 4 )
矩形
WZ
bh 2 6
工字钢 WZ
M max
[ ]
Dd 2
h b
2
工字钢
圆形 D 3 7.5 106 32 78.2mm 160
A1 48cm2 A2 37.6cm2 A3 34cm2 A4 14cm2
z dA E
A
E
z
A
y dA
Iyz
0
最终内力合成
Iz :惯性矩
mz M
y dA E
A
A
y 2dA
E
Iz
M
1M
EIZ
E E y
M y
Iz
正应力分布图 My
IZ
M
注意事项：M,y与都有正负号． 通常用其绝对值代入公式，用变形确 定正应力的正负（拉、压）.
10
§5.2 纯弯曲时的正应力
IZ
m ax
M IZ
ymax
900 0.03 54 108
50MPa
IZ
hb3 12
60 303 12
13.5cm4
max
M IZ
ymax
900 0.015 13.5 10 8
100MPa 2 max16
例题
已知:E=200GPa,
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
1.C 截面上K点正应力
dx
y y1 FN2
矩形截面梁：
h by
X 0 FN 2 FN 2 dFs
FN1
dA
A
M I A
Z
y1 dA
M IZ
S
M+dM
FN 2
M
dM IZ
S
dM S
dx bI Z
dFs bdx
Fs S
b IZ
31
b §5.4 弯曲切应力
h Fs
2
h
2
A
y y
S
max
σmax
M max ymax Iz
M max
W
σ
WZ
IZ y max
抗弯截面系数
注意:1.变截面梁要综合考虑 M 与 Iz
2.脆性材料抗拉和抗压性能不同,二方面都要考虑
t,max t c,max c
14
常见截面的 IZ 和 WZ
空心矩形截面
IZ y2dA
A
WZ
IZ y max
5
§5.1 纯弯曲
凹入一侧纤维缩短 突出一侧纤维伸长 中间一层纤维长 度不变
－－中性层
中间层与横截面 的交线
－－中性轴
6
§5.2 纯弯曲时的正应力
一、变形几何关系
7
§5.2 纯弯曲时的正应力 y
二、物理关系:
当
时
p
z
E
E y
x 可确定横截面上的应力分布
y
问题:中性层( y 的起点)在哪里？ 1 怎 样算?
194.4m
x
20
例题
图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知
d1 160mm d2 130mm,a 0.267m,b 0.16m,F 62.5kN,
材料的许用应力 60MPa.
分析:
max
M
y max max Iz
max M max
Wz
？ 弯矩 M 最大的截面
21
例题
A1 : A2 : A3 : A4
3.43: 2.69 : 2.43:1
圆环
D
3
7.5 106 32
160 (1 0.54 )
79.9mm
矩形 b 3 7.5 106 6 41.3mm
160 4
工字钢 WZ 46.9cm3 №10WZ 2499cm3
§5.4 弯曲切应力
剪切弯曲Fs 0, 0 横截面不再保持平面（翘曲） 实心细长梁 << 工程上一般忽略不计,
19
例题
q=60kN/m
120
4. C 截面曲率半径ρ
A
1m
FAY
C
l = 3m
B
x
180
K
30 C 截面弯矩
z
M C 60kN m
FBY
y
C 截面惯性矩
FS 90kN
M ql 2 / 8 67.5kN m
x 90kN
IZ 5.832 105 m4 1M EI
C
EIZ MC
200109 5.832105 60 103
薄壁或短粗梁 需要考虑切应力及其强度条件
F
h
矩形截面梁：
dx
M Fs M
by
Fs通过y, 对称于y 截面两侧 平行于 y
Fsdx M+dM
M+dM
假设所有的 都平行于 y
dx
b<<h 假设同一高度 y 处 相等
30
§5.4 弯曲切应力
F
dx
M Fs M
Fsdx M+dM dx
dFs
FN1
80 20 422
201203 20120 282 12
7.64106 m4
y
26
例题
2.5kN.m 4kN.m
（3）作弯矩图 （4）B截面校核
t,max
4103 52103 7.64106
27.2106 Pa 27.2MPa t
c,max
4103 88103 7.64106
46 .1106 Pa 46 .1MPa c
§5.3 横力弯曲的正应力
纯弯曲正应力 My
IZ
弹性力学精确分析表明, 当跨度 l 与横截面高度 h 之 比 l / h > 5 （细长梁）时， 纯弯曲正应力公式对于横力 弯曲近似成立.
横力弯曲最大正应力
max
M max ymax IZ
13
强度条件
弯曲正应力强度条件
1.弯矩最大的截面上 σmax在 2.离中性轴最远处
27
例题
2.5kN.m 4kN.m
（5）C截面要不要校核
t,max
2.5103 88103 7.64106
28.8106 Pa 28.8MPa t
经校核梁安全
倒过来是否安全
28
例 已知简支梁的最大弯矩Mmax=7.5kNm,=160MPa
15kN m 求：按正应力强度条件选择下列
2m
h y
2
y1 bdy1
b h2 (
24
y2)
y y 1 (h y) 1 (h y)
22
22
S A y b( h y) y b ( h2 y2 )
2
24
y h 2: 0
y
0:
max
3FS 2bh
3FS 2A
FS
b (h2 24 b bh3
y2)
6FS bh3
h2 (
4
y2)
l
FS
M
Fl
F
按胶合面强度条件计
50 算
z50
50
100
F
g
FS
S
* Z
IZb
F3
b
h 3
2
bh3 b
4F3 3bh
g
12
F3
3bh g
4
3100150106 0.34106 4
3825N 3.825kN
5.梁的许可载荷为 F Fi min3.75kN 10kN 3.825kNmin 3.75kN
36
例题（活动载荷, 加强梁） 单梁吊车由40a号工字钢制成,在梁中段的上下翼缘上 各焊了一块120×10 mm2的盖板，如图所示.已知 梁跨长l = 8 m, a = 5.2 m,材料的弯曲许用应力140 MPa , 许用切应力为80 MPa,试按正应力强度条件确定梁的许 可载荷,并校核梁的切应力。梁的自重暂不考虑
薄壁圆环截面： max
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2 Fs A
工字钢截面：
max
Fs A腹板
Fs dh0
h h0 d
强度条件