2024年东北三省三校高三下学期第一次联合模拟考数学试题及答案

哈尔滨师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学
2024年高三第一次联合模拟考试
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，定在．本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}1,2M =，(){}
2log 212x N x −≤=∈R ，则M N = （ ） A ．{}1
B ．{}2
C ．{}1,2
D ．∅
2．已知复数z 的共轭复数是z ，若i 1i z ⋅=−，则z =（ ） A ．1i −+
B ．1i −−
C ．1i −
D ．1i +
3．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2a
f x x x
=+，若()38f =−，则a =（ ） A ．3−
B ．3
C ．
13
D ．13
−
4．已知平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的左顶点和上顶点分别为A ，B ，过
左焦点F 且平行于直线AB 的直线交y 轴于点D ，若2OD DB =
，则椭圆C 的离心率为（ ）
A ．
12
B C ．
13
D ．
23
5．()521x x y y −
−
的展开式中32
x y 的系数为（ ） A ．55
B ．70−
C ．30
D ．25−
6．已知正四棱锥P ABCD −各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为64
3
，则该球表面积为（ ） A ．9π
B ．36π
C ．4π
D ．
4π3
7．已知函数()22e e x
x f x ax −=−−，若0x ≥时，恒有()0f x ≥，则a 的取值范围是（ ）
A ．(],2−∞
B ．(],4−∞
C ．[)2,+∞
D ．[)4,+∞
8．设1033
e a =，11ln 10b =，ln 2.210
c =，则（ ） A ．a b c <<
B ．c b a <<
C ．b c a <<
D ．a c b <<
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．等差数列{}n a 中，10a >，则下列命题正确的是（ ） A ．若374a a +=，则918S =
B ．若150S >，160S <，则22
89
a a > C ．若211a a +=，349a a +=，则7825a a += D ．若810a S =，则90S >，100S <
10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：2
4y x =的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，点Q 在抛物线C 的准线上，则以下命题正确的是（ ） A ．PQ PF +的最小值是2 B ．PQ PF ≥
C ．当点P 的纵坐标为4时，存在点Q ，使得3QF FP =
D ．若PQF △是等边三角形，则点P 的橫坐标是3
11．在一个只有一条环形道路的小镇上，有2家酒馆A ，一个酒鬼家住在D ，其相对位置关系如图所示．小镇的环形道路可以视为8段小路，每段小路需要步行3分钟时间．某天晚上酒鬼从酒馆喝完酒后离开，因为醉酒，所以酒鬼在每段小路的起点都等可能的选择顺时针或者逆时针的走完这段小路。

下述结论正确的是（ ）
A ．若酒鬼经过家门口时认得家门，那么酒鬼在10分钟或10分钟以内到家的概率为
18
B ．若酒鬼经过家门口时认得家门，那么酒鬼在15分钟或15分钟以内到家的概率为
14
C ．若酒鬼经过家门口也不会停下来，那么酒鬼步行15分钟后恰好停在家门口的概率为532
D ．若酒鬼经过家门口也不会停下来，那么酒鬼步行21分钟后恰好停在家门口的概率为7
32
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在ABC △中，BC =ABC
S AB AC =⋅ △，则ABC △外接圆半径为______． 13．如图，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，且2PA AB ==，M 是线段PB 的中点，则异面直线DM 与PA 所成角的正切值为______．
14．已知圆M ：()2
249x y −+=，直线y kx =交圆M 于A 、B 两点，点()6,0C ，则三角形ABC 面积的最大值为______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知()sin 22cos f x x x =
+． （1）求()f x 在0x =处切线方程； （2）求()f x 的单调递减区间．
16．（15分）如图，在四棱台1111ABCD A B C D −中，底而ABCD 为平行四边形，侧棱1DD ⊥平面
ABCD ，11
4DA A B ==，8AB =，120ADC ∠=°．
（1）证明：1BD A A ⊥；
（2）若四棱台111
1ABCD −，求平面11ADD A 与平面11BCC B 所成的锐二面角的余弦值．
17．（15分）在统计学的实际应用中，除了中位数外，经常使用的是25%分位数（简称为第一四分位数）与75%分位数（简称为第三四分位数），四分位数应用于统计学的箱型图绘制，是统计学中分位数的一种，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数，箱型图中“箱体”的下底相同，在一次测试中两班成绩箱型图如图所示．
（1）由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？（直接给出结论即可，不用说明理由）
（2）若在两班中随机抽取一人，发现他的分数小于128分，则求该同学来自甲班和乙班的概率分别是多少？ （3）据统计两班中高于140分共10人，其中甲班6人，乙班4人，从中抽取了3人作学习经验交流，3人中来自乙班的人数为X ，求X 的分布列．
18．（17分）已知双曲线C ：22
221x y a b
−=（0a >，0b >）的右顶点()1,0E ，斜率为1的直线交C 于
M 、N 两点，且MN 中点()1,3Q ．
（1）求双曲线C 的方程；
（2）证明：MEN △为直角三角形；
（3）若过曲线C 上一点P 作直线与两条渐近线相交，交点为A ，B ，且分别在第一象限和第四象限，若
AP PB λ= ，1,23λ
∈ ，求AOB △面积的取值范围．
19．（17分）十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一，例如：自然数1在二进制中就表示为()21，2表示为
()210，3表示为()211，5表示为()2101，发现若n +∈N 可表示为二进制表达式()01212k k a a a a a −⋅⋅⋅，则
11011222k k k k n a a a a −−=⋅++⋅⋅⋅⋅⋅++，其中01a =，0i a =或1（
1,2,i k =⋅⋅⋅）． （1）记()011k k S n a a a a −=++⋅⋅⋅++，求证()()8343S n S n +=+； （2）记()I n 为整数n 的二进制表达式中的0的个数，如()21I =，()30I =． （ⅰ）求()60I ；
（ⅱ）求
()
511
1
2
I n n =∑（用数字作答）．
2024年高三第一次联合模拟考试数学
参考答案
一、单项选择题
1-4 CABD 5-8 CBBB
二、多项选择题
9．ACD 10．ABD 11．ABD
三、填空题
12．3 13．
274
四、解答题
15．解：（1）()2cos 22sin f x x x =−′ ()02f ′=，()02f =
()f x ∴在0x =处的切线方程为()220y x −=−，即22y x =+
（2）()()()
222cos 22sin 21sin 2sin 22sin sin 1f x x x x x x x ′=−=−−=−+−
()0f x ′<则()222sin sin 10x x −+−<
即()()22sin 1sin 10x x −−+< 即1sin 2x >
解得π5π2π,2π66x k k
∈++
，k ∈Z 故()f x 的单调递减区间为π5π2π,2π66k k
+
+
，k ∈Z 16．解：（1）底面ABCD 为平行四边形，
120ADC ∠=° ，60DAB ∴∠=°．
4DA = ，8AB =
由余弦定理可得：2
222cos 6048DB AB AD AB AD =+−×°=，DB ∴则222
DA DB AB +=，DA DB ∴⊥
侧棱1DD ⊥平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ，1DD DB ∴⊥ 又DA ⊂ 平面11ADD A ，1DD ⊂平面1ADD A ，且1DA DD D =
DB ∴⊥平面11ADD A
又1AA ⊂ 平面11ADD A ，1DB AA ∴⊥ （2）四棱台中111
1ABCD −
(
11111
3
ABCD A B C D V
S S ∴=+
(111111
3
DD AD DB A D D B =⋅⋅⋅+⋅+
11
3
DD =⋅⋅11DD = 如图，以点D 为原点，DA ，DB ，1DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图的空间直角坐标系，
则()4,0,0A
，(
)0,B
，)4,C −
，()
10,B
()4,0,0BC ∴=−
，()1
0,BB =−
设平面11BCC B 的法向量为(),,n x y z =
，
则有1400n BC x n BB z ⋅=
−= ⋅=
−+=
所以(0,1,n =
平面11ADD A 的法向量为()0,1,0m =
，
设平面11ADD A 与平面11BCC B 所成锐二面角为θ
则cos cos ,m n m n
n
m θ⋅===
． 17．解：（1）由图估计甲班平均分较高 （2）由图可知，甲班中有
1
2
的学生分数低于128分；
乙班中有
3
4
的学生分数低于128分 设从两班中随机抽取一人，
“该同学来自甲班为事件A ”，“该同学分数低于128分为事件B ”， 则()12P A =
，()
12P A =，()12P B A =，()
34
P B A =， ()()()()()()()11315
22428
P B P AB P AB P B A P A P B A P A ∴=+=⋅+⋅=×+×=
()()()()()()112
22558A P A P B P AB P A B P B P B ×===
= ()
()
()()()
()13324558A P A P B P AB
P A B P B P B ×==== 所以，该同学来自甲乙两班的概率分别为25，3
5
（3）依题X 的所有可能取值为0，1，2，3
()3064310106C C P X C ===，()21643
101
12C C P X C === ()12643103210
C C P X C ===，()03
643
101
430C C P X C === 所以X 的分布列为：
18．解：（1）设()11,M x y ，()22,N x y ，则122x x +=，126y y +=
M ，N 两点在双曲线C 上
22
1122
22
222211x y a b x y b a
−= ∴ −= ①②，由①－②得22221212220x x y y a b −−=− 即2221222212y y b x x a −=−，()()()()
212122
1212y y y y b x x x x a +−∴=+− 22OQ MN
b k k a ∴⋅=，即2213b a
∴⋅=，22
3b a ∴=
又1a = ，2
3b ∴=，∴双曲线C 的方程为：2
2
13
y x −
= （2）由已知可得，直线MN 的方程为：()311y x −=⋅−，即2y x =+
联立2
22
22470330y x x x x y =+ ⇒−−= −−=
，1656720∆=+=> 则122x x +=，1272
x x =−
()()()()112212121,1,11EM EN x y x y x x y y ⋅−⋅−−−+
()()()()()12121212112225x x x x x x x x =−−+++=+++
722502
=×−++=
EM EN ∴⊥，EMN ∴△为直角三角形
（3）由题意可知，若直线AB 有斜率则斜率不为0，
故设直线AB 方程为：x my n =
+ 设()33,P x y ，()44,A x y ，()55,B x y
AP PB λ=
，()()34345353,,x x y y x x y y λ∴−−=−− ()(
)3345334534
5
31x x x x x y y y y y y y λλλλ
= −=− ∴⇒ −=−+ = +
点P 在双曲线C 上，22
45451113
1x x y y λλλλ++ ++ =−∴
()()()222
4545331x x y y λλλ∴+−+=+
()()()()2
22
22244554545332331x y x y x x y y λλλ∴−+−+−=+③
又224430x y −= ，225
530x y −=， ()()2
45452331x x y y λλ∴−=+，()2
45453132x x y y λλ
+∴−=④
联立()2222230
31630x y m y mny n x my n −=⇒−++=
=+
(
)2
22
223103361210
m m n m m n −≠
⇒≠ ∆=−−> 452
631
mn
y y m −+=−⑤，2452331n y y m =−⑥ A ，B 分别在第一象限和第四象限，450y y ∴<，2310m ∴−<
由④式得：()()()
2
44553132my n my n y y λλ+=++−
()()()
2
2245453131332m y y mn y y n λλ
+∴−+++=⑦ 将⑤⑥代入⑦得：()()2
22
2
22
3136313331312n mn m mn n m m λλ
+−∴−++=−− ()2
2
2316312n m λλ
+−=∴−
1
sin 2AOB S OA OB AOB ∴=⋅⋅∠△
2
22
31
n y m =−
(
)2
31122λλλλ+
==++
令()1
h λλλ=+
，1,23λ
∈
()()()2
2
111
1h λλλλλ+−=−
=
′，
1,23λ
∈
1,13λ
∴∈
，()0h λ′<，()h λ单调递减
(]1,2λ∈，()0h λ′>，()h λ单调递增
()10
2,3h λ
∴∈ ，AOB S ∴∈△
19．（1）证明：32310183222121k k k n a a a +++=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+
()()0183112k S n a a a S n ∴+=++⋅⋅⋅+++=
+ 12121012122234k k k n a a a +++⋅++=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅
()()0143112k S n a a a S n ∴+=++⋅⋅⋅+++=+ ()()8343S n S n ∴+=+
（2）（ⅰ）解：()260321684111100+++，()602I ∴=
（ⅱ）解：()211=，()2511111111111=，故从1n =到511n =中
()0I n =有9个，
()1I n =有111
21289C C C C ++⋅⋅⋅=个， ()2I n =有22232389
C C C C ++⋅⋅⋅=个， ……，
()9I n =有8989
1C C ==个， ()511
021329
89991
292222I n n C C C ==
×+×+×+⋅⋅⋅×∑
1122339
9
999922222
C C C C ×+×+×+⋅⋅⋅×=
001122339
999999222221
2
C C C C C ×+×+×+×+⋅⋅⋅×−=
()9
12198412
+−=
2024年高三第一次联合模拟考试数学
参考答案
一.单项选择题
1-4 CABD 5-8 CBBB 二.多项选择题
9.ACD 10.ABD 11.ABD 三.填空题
12. 327
4
四.解答题
15.解：（1）()2cos 22sin f x x x '=− 2' (0)2,(0)2f f '== 4'
∴()f x 在0x =处的切线方程为22(0)y x −=−，即22y x =+ 6'
（2）2
2
()2cos 22sin 2(1sin )2sin 2(2sin sin 1)f x x x x x x x '=−=−−=−+− 8'
()0f x '<则2
2(2sin sin 1)0x x −+−< 10'
即2(2sin 1)(sin 1)0x x −−+<
即1
sin 2
x >
解得5(2,2),66x k k k Z ππππ∈++
∈ 12' 故()f x 的单调递减区间为5(2,2),66
k k k Z ππ
ππ++
∈ 13' 16.解：（1）底面ABCD 为平行四边形，
120ADC ∠=,60DAB ∴∠=. 4,8DA AB ==
由余弦定理可得：222
2cos 6048DB AB AD AB AD =+−⨯=DB ∴=
则222DA DB AB +=，DA DB ∴⊥ 2' 侧棱1DD ABCD ⊥平面，DB ABCD ⊂平面1DD DB ∴⊥
4'
111111,,DA ADD A DD ADD A DA DD D ⊂⊂=又
平面平面且
11DB ADD A ∴⊥平面
6' 111AA ADD A ⊂又
平面1DB AA ∴⊥
7'
（2）四棱台中1111ABCD A B C D −的体积为
283
3
111111111
()3
ABCD A B C D ABCD A B C D V S S S S ∴=++
1111111112831
()33
DD AD DB A D D B AD DB A D D B ∴
=++ 12831
28333
DD ∴=,解得：11DD = 9'
如图，以点D 为原点，1,,DA DB DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图的空间直角坐标系，
则1(4,0,0),(0,43,0),(4,43,0),(0,23,1)A B C B −
1(4,0,0),(0,23,1)BC BB ∴=−=−
11'
设平面11BCC B 的法向量为(,,)n x y z =，
则有140
230n BC x n BB y z ⎧=−=⎪⎨=−+=⎪⎩
所以(0,1,23)n =
13'
平面11ADD A 的法向量为(0,1,0)m =，
设平面11ADD A 与平面11BCC B 所成锐二面角为θ 则113cos |cos ,|13
13m n m n m n
θ⋅=<>=
=
= 15'
17.解：（1）由图估计甲班平均分较高
3'
（2）由图可知，甲班中有
1
2
的学生分数低于128分； 乙班中有
3
4
的学生分数低于128分 设从两班中随机抽取一人， “该同学来自甲班为事件A ”，“该同学分数低于128分为事件B ”，
则1113
(),(),(),(),2224
P A P A P B A P B A =
=== 5' ()()()()()()()P B P AB P AB P B A P A P B A P A ∴=+=⋅+⋅11315
22428
=⨯+⨯=
7'
11()()()2
22()5()()58P A P B A P AB P A B P B P B ⨯
=
=== 8'
13()()()3
24()5()()58
P A P B A P AB P A B P B P B ⨯
====
9'
所以，该同学来自甲乙两班的概率分别为23
,55
(3)依题X 的所有可能取值为0,1,2,3
10'
30643
101
(0)6C C P X C === 11'
21643
101
(1)2
C C P X C === 12'
12643103
(2)10C C P X C ===
13'
03643101
(4)30
C C P X C ===
14'
所以X 的分布列为:
15'
18.解：（1）设1122(,),(,)M x y N x y ，则12122,6x x y y +=+=
,M N 两点在双曲线C 上
22
1122
2
2
2222
11x y a b x y a b ⎧−=⎪⎪∴⎨⎪−=⎪⎩①②
，由−①②得22221212220x x y y a b −−−= 即2221222212y y b x x a −=−， ()()()()2121221212y y y y b x x x x a
+−∴=+− 2'
2
2OQ MN
b k k a
∴⋅=，即222213,3b b a a ∴⋅=∴=
又2
1,3a b =∴=，∴双曲线C 的方程为：2
2
13
y x −=
4'
（2）由已知可得，直线MN 的方程为：31(1)y x −=⋅−，即2y x =+
联立22
2
2
2470,1656720330
y x x x x y =+⎧⇒−−=∆=+=>⎨−−=⎩ 6' 则12127
2,2
x x x x +==− 8'
11221212(1,)(1,)(1)(1)EM EN x y x y x x y y ⋅=−⋅−=−−+
12121212(1)(1)(2)(2)2()5x x x x x x x x =−−+++=+++
72()2502
=⨯−++=
EM EN ∴⊥，EMN ∴∆为直角三角形 10'
（3）由题意可知，若直线AB 有斜率则斜率不为0，
故设直线AB 方程为：x my n =+ 设334455(,),(,),(,)P x y A x y B x y
34345353,(,)(,)AP PB x x y y x x y y λλ=∴−−=−−
45
3
34533453453()1()1x x x x x x x y y y y y y y λλλλλλ
+⎧=⎪−=−⎧⎪+∴⇒⎨⎨
−=−+⎩⎪=
⎪+⎩
点P 在双曲线C 上， 22
454511113
x x y y λλλλ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∴−= 22245453()()3(1)x x y y λλλ∴+−+=+
22222
244554545(3)(3)2(3)3(1)x y x y x x y y λλλ∴−+−+−=+③
又
2222
445530,30x y x y −=−=，
2
45452(3)3(1)x x y y λλ∴−=+，2
45453(1)32x x y y λλ
+∴−=
④ 联立2222230
(31)630x y m y mny n x my n ⎧−=⇒−++=⎨
=+⎩
22222
31033612(31)0m m m n n m ⎧−≠⇒≠±⎨∆=−−>⎩
2
45452263,3131
mn n y y y y m m −+==−−⑤⑥
14'
,A B 分别在第一象限和第四象限，2450,310y y m ∴<∴−<
由④式得：2
45453(1)3()()2my n my n y y λλ+++−=
2
2
2
45453(1)(31)3()32m y y mn y y n λλ
+∴−+++=⑦
将⑤⑥代入⑦得：222
2
2
2363(1)(31)3331312n mn m mn n m m λλ
−+∴−++=−− 22
263(1)312n m λλ
−+∴=−
121sin 2AOB S OA OB AOB y y ∆∴=
⋅⋅∠=
221223(1)12312n y m λλλλ+⎫=====++⎪−⎭
15'
令1
1(),[,2]3
h λλλλ=+
∈ 22
1(1)(1)1
()1,[,2]3
h λλλλλλ+−'=−=∈ 1,1,()03h λλ⎡⎫
'∴∈<⎪⎢⎣⎭
，()h λ单调递减
(]1,2,()0h λλ'∈>，()h λ单调递增
10
()[2,
]3
h λ∴∈， 16'
3AOB S ∆∴∈⎦
17'
19.（1）证明：3
23101832
22121k k k n a a a +++=⋅+⋅++⋅+⋅+
01(83)11()2k S n a a a S n ∴+=+++++=+ 3'
2
12101432
22121k k k n a a a +++=⋅+⋅+
+⋅+⋅+
01(43)11()2k S n a a a S n ∴+=+++++=+
6' (83)(43)S n S n ∴+=+
7'
（2）（Ⅰ）解：260321684(111100)=+++=
(60)2I ∴= 10'
（Ⅱ）解： 21(1)=，2511(111111111)=，故从1n =到511n =中 I(n)=0有9个，
I(n)=1有C 11+C 21+⋯C 81=C 92
个， I(n)=2有C 22+C 32+⋯C 82=C 93个，
……，
I(n)=9有C 88=C 99=1个， ∑2I(n)511
n=1
=9×20+C 92
×21+C 93×22+⋯C 99×28
13'
=C91×21+C92×22+C93×23+⋯C99×29
2
=C90×20+C91×21+C92×22+C93×23+⋯C99×29−1
2
16'
=(1+2)9−1
2
=9841
17'。