ch7弯曲变形new

§1 引言—梁变形的描述
弯曲变形特点 挠度与转角
弯曲变形特点
挠曲轴
轴线变为曲线，变弯后的梁轴，称为挠曲轴， 挠曲轴是一条连续、光滑曲线
对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线 对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计
因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交.
挠度与转角—梁位移
挠曲轴 转角
b
转角方程为
w ww12((xx))
0<x<a a < x<b
Pb 6EIl
3x2
(b2
l
2
)
Pa 6EIl
3(l
x)2
(a2
l
2
)
0< x<a a< x<l
B x
FBy
A
梁的最大转角：
< 0
C
当x =0时，转角为
A
w1(0)
Pab 6EIl
(l
b)
当x =l时，转角为
(顺时针）
B
w2( l )
1 M ( x)（非纯弯）——挠曲轴曲率 ( x) EI
平面曲线 w w(x) 的曲率
1
(x)
w 1 w2
3/2
w
1 w2
3/2
M(x) EI
－挠曲轴微分方程
w－弯矩引起的挠度
smax < sp
挠曲轴近似微分方程
w
1 w2
3/2
M(x) EI
小变形时： w2 << 1
B
C
a
a
q/2
A C
B
A
a
a
对称, 转角为0
5 q l4
wC1
2 384EI
q/2
C
a
a
反对称, 挠度为0 (弯矩为0, 拐点)
q/2
A C
a
a
反对称, 挠度为0 (弯矩为0, 拐点)
2
C
1 2
q
2l
24EI
3
ql 3 384EI
q/2
C
a
wC
wC1
wC2
5ql 4 768 EI
C
C1
C2
－挠度
挠度－横截面形心在垂直于梁轴方向的位移 w
w w( x) －挠曲轴方程
转角－横截面的角位移
( x) －转角方程
挠度与转角的关系
（忽略剪力影响）
' tan' dw（小变形）
dx
dw （rad）
dx
挠度与转角—梁位移
梁变形的描述： •小变形、不计剪切：
w w(x), ( x) d w( x)
工程力学A(4)
材料力学（Ⅰ）
第 7 章 弯曲变形
本章主要研究： 弯曲变形基本方程 计算梁位移的几种方法
积分法、叠加法 简单静不定梁分析 梁的合理刚度设计
第 7 章 弯曲变形
§1 引言 §2 梁变形基本方程 §3 计算梁位移的积分法 §4 计算梁位移的奇异函数法 §5 计算梁位移的叠加法 §6 简单静不定梁 §7 梁的刚度条件与合理设计
（）
例题3-1
EI = const(常数)试计算截面 B 的挠度与转角
A
x
B M0
解:弯矩方程 M x M0
A beam in pure bending
挠曲轴近似微分方程 w"x M0
EI
w' x M0 x C
EI
wx M0 x2 Cx D
2EI
边界条件 w0 0, D 0 w' 0 0,C 0
d2w dx 2
M(x) EI
d2w M(x) dx2 EI
s max s p 小变形
坐标轴 w 向上
坐标轴 w 向下时
d2w dx 2
-
M(x) EI
位移边界条件与连续条件
位移边界条件与连续条件
约束处位移应满足的条件
－位移边界条件
梁段交接处位移应满足的条件
－位移连续条件
挠曲轴大致形状的绘制 ——直观变形分析
qa2
4
直线
A
C
D
凹
凹
凸
§3 计算梁位移的积分法
挠曲轴微分方程的积分 与边界条件
积分法求梁位移 例题
近似微分方程的积分与边界条件
挠曲轴近似微分方程的积分
d2w M(x) dx2 EI
dw M ( x) dx C
dx EI
位移边界条件与连续条件
w
M(x) EI
dxdx
Cx
D
约束处位移应满足的条件 －位移边界条件
绘制依据
满足变形基本方程
w M ( x) EI
满足位移边界条件 与连续条件
绘制方法与步骤 画M图 由 M 图的正负与零点，确定挠曲轴的凹凸与拐点， 由弯矩大小确定曲率大小，即确定挠曲轴的形状。 注意挠曲轴的连续、光滑性 由位移边界条件确定挠曲轴的空间位置
例 2-1 绘制图示梁挠曲轴的大致形状
F=2qa
例： 1.画剪力弯矩图 2.列挠曲线的位移和 连续条件 3.画挠曲线大致形状( 注明凹凸性与拐点)
位移与连续条件
wA 0, wC 0
wB wB ,
B
B
wC wC ,
C
C
qa2 q
A
B
C
D
3qa
a
4
Fs
+
M
+
大致形状
a
3qa 4
a qa
4
3qa 2 4
_ qa
4
qa2
32
_
48EI
b越小，x0越大。即载荷越靠近右支座，最大挠度点离中点 越远，最大挠度值与中点挠度值相差越大。
极端情况：b—>0
1
1
Pbl 2
wmax w(l / 2) 9 wmax
3 1
16 EI Pbl 2
2.65%
9 3 EI
因此，可用梁的中点挠度代替梁的最大挠度。
当a=b=l/2时，最大挠度发生在梁的中点
叠 加
变 形 简支梁、悬臂梁 叠
加
加附加载荷
例 5-1 q(x)=q0cos(px/2l)，利用叠加法求 wB=?
解：
dwB
q( x)dx 6EI
x2
(3l
x)
q0 x 2 (3l 6EI
x) cos
px 2l
dx
()
wB
q0 6EI
l 0
x2
(3l
-
x)cos
px 2l
dx
2q0l 4 (p3 3p4 EI
叠 加
EI d2w M ( x) dx 2
原 理
（小变形,比例极限内）
M(x) MF (x) Mq(x)
（小变形）
上述线性微分方程的解，为下列微分方程解的组合
EI
d2w dx 2
MF
(x)
w wF ( x)
EI
d2w dx 2
Mq ( x)
w wq ( x)
故：w wF ( x) wq ( x)
Pab 6EIl
(l
a)
(逆时针）
于是，当a > b时，最大转角为
max
B
Pab (l a) 6EIl
B 0
B
梁的最大挠度: 梁的最大挠度发生在w´= 0处
首先确定w´=0的位置。当x =0时，转角A =
w´A<0，而当x = a时，转角C
C
w1(a)
Pab 3EIl
(a
b)
0
因此，当0<x<a时， 必存在w´=0的点x0。令
24)
()
例 5-2
解：
Cy w1 w2
w1 wB Ba
Fl 3 Fal a 3EI GIt
( )
w2
Fa 3 3EI
( )
Cy
Fl 3 3EI
Fa 2 l GI t
Fa 3 3EI
( )
例 5-3 求自由端位移d
解： Fy Fcos
Fz Fsin
dy
Fyl 3 3EI z
Fl 3cos
叠加法
问题
wA ?
方
分解载荷 分别计算位移 求位移之和
法
wA ,F
Fl 3 3EI
( )
wA ,q
ql 4 8EI
( )
wA
wA,F
wA ,q
Fl 3 3EI
ql4 8EI
( )
当梁上同时作用几个载荷时，任一横截面的 总位移，等于各载荷单独作用时在该截面引起的 位移的代数和或矢量和
理论依据
ql3 384 EI
例5-5：E常数, I 2 2I1 ,求 wC ， C
I2
I1
P
A
B
C
刚化AB段：
A B
仅考虑BC段变形：
P C
C1
Pa 2 2EI1
wC1
Pa3 3EI1
BC段刚化：
M Pa
B
C
A
B
FP
仅考虑AB段变形Il
(l
x)dx
C2
Pa 2EIl
(l
x)2
C2
w2
Pa 2EIl
(l
x)2
C2
dx
Pa 6EIl
(l
x)3
C2 x
D2
由边界条件
w1 0, x 0 w2 0, x l
和连续性条件
y
x A
P
C
B
FAx
l
x
FAy
a
b FBy
w1 w2, w1 w2, x a
24EIl
8lx 3l2 )
例7-4(书) 图示的等截面简支梁长为l，抗弯刚度 为EI，受集中力P的作用，求梁任一截面的转角和挠
度。
解： 由整体平衡得
FAx=0， FAy= Pb/l FBy= Pa/l
y
P
x
A
C
B
FAx o
l
x
FAy
a
b FBy
从而，截面的弯矩为
M
(
x)
Pb l Pa l
dx
思考： • 是否存在梁的轴向位移？ • 梁微段dx变形如何?
梁微段dx变形
d M(x) dx
EI
dw (x)dx
截面挠度、转角由各微段变形累加而成
§2 梁变形基本方程
挠曲轴微分方程 挠曲轴近似微分方程 挠曲轴的大致形状
挠曲轴微分方程
梁的中性层曲率： 1 M （纯弯） EI
x (l
x)
0< x<a a< x<l
对于AC段，利用梁的挠 曲线微分方程
y
x A
P
C
B
w1
M(x) EI
Pb EIl
x
FAx
l
FAy
a
x b FBy
得
w1
w1dx C1
Pb EIl
xdx
C1
Pb 2EIl
x2
C1
w1
Pb 2EIl
x2
C1
dx
Pb 6EIl
x3
C1x
D1
同理，对CB段
wmax
Pl3 48EI
最大转角为
max
A
B
Pl2 16EI
对于简支梁，不论受（F, q）作用，只要挠 曲轴上无拐点（朝一个方向弯曲）,其最大 挠度值可以用梁中点处的挠度值代替，即
wmax w(l / 2)
其精确度能满足工程计算的要求。
§5 计算梁位移的叠加法
叠加法 逐段分析求和法 例题
x2 2
C2 x
D2
A
B M0
C
l/2
l/2
x
位移边界条件和连续条件
w10 0 w2 l 0 (边界条件)
w1
l 2
w2
l 2
(连续条件)
w'1
l 2
w'2
l 2
四个方程定4个常数
(光滑条件)
w1x
M0 x 24lEI
4x2 l2
w2x
M0x l(4x2
wx M0 x2 x M0 x
2EI
EI
wB
M0l2 2EI
B
M0l EI
例题3-2：求挠曲轴微分方程,列挠曲线的位移边界和连续条件
A
B M0
C
l/2
x
AB段：
l/2 BC段:
w1"
M0 EI
x l
w2"
M0 EI
x l
1
w1
M0 6EI
x3 l
C1x D1
w2
M0 EI
x3 6l
6EIl
利用边界条件确定积分常数
在 x 0 处，w 0 (1)
由条件 (1), (2) 与式 (b) ，得
在 x l 处，w 0 (2)
计算w和转角
w Mex (x2 l2) 6EIl
D 0, C Mel 6 EI
Me (3x2 l 2 )
6EIl
A
(0)
-
Mel 6EI
叠加法适用范围：小变形 ，比例极限内
逐段分析求和法——分段变形叠加
分解梁
分别计算各梁段 的变形在需求位移 处引起的位移
w1 Ba
w1
Fa l 3EI
a
Fa 2 l 3EI
w2
Fa 3 3EI
求位移之和（代数和或矢量和）
w w1 w2
Fa2 (l a) 3EI
( )
例：外伸梁 EI=const常数
解得
D1 0
D2
0
C1 C1
Pb
6EIl C2
(b2
l2)
y
得梁的挠曲线方程为
x A
P C
w
w1 w2
(x) (x)
0<x<a a < x<b
FAx
l
FAy
a
Pb
6 EIl
Pa
6 EIl
x3 (b2 l2 )x (l x)3 (a2 l2
)(l
x)
0< x<a a< x<l
3EI z
dz
Fzl 3 3EI y
Fl 3sin
3EI y
d
d
2 y
d
2 z
Fl 3 3E
cos
Iz
2
sinθ Iy
2
tan d z Iz tan dy Iy
一般情况 I y Iz
挠曲轴与外力作用面不重合
例5-4：利用对称性求下面梁中点挠度与转角 ( 2a = l )
q
A
w1(x)
Pb 6EIl
3x2
(b2
l2)
0
y
P
得
x
x0
l2 b2 3
A
C
B
FAx
l
x
FAy
a
b FBy
从而，梁的最大挠度为
Pb (l2 b2 )3 wmax w1( x0 ) 9 3EIl