江苏省苏、锡、常、镇2016届高三数学教学情况调查(一)数学考试试题

2015—2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）
数学I 2016.3
一、填空题；本大题共14小矗，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应的位 置上．
1．已知集合A={x|x<3．x ∈R}，B={x|x>l ，x ∈R ），则A B = ． 2．已知i 为虚数单位，复数z 满足
43z
i i
+=，则复数z 的模为 ． 3．一个容量为n 的样本，分成若干组，已知某组的频致 和频率分别为40，0.125．则n 的值为 ．
4．在平面直角坐标系xOy 中，已知方程22
42x y m m
--+=1 表示双曲线，则实数m 的取值范围为 ．
5．为强化安全意识，某校拟在周一至周五的五天中随机 选择2天进行紧急疏散演练，则选择的2天恰好为连 续2天的概率是 ．
6．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为 .
7．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是棱BB 1的 中点，则四棱锥P - AA 1C 1C 的体积为 ．
8．设数列{an}是首项为l ，公差不为零的等差数列，S n 为 其前n 项和，若S 1，S 2，S 3成等比数列，则数列{a n }的公差 为 。

9．在平面直角坐标系xOy 中，设M 是函数f(x)= 24
x x
+ (x>0)的图象上任意一点，过M
点向直线y=x 和y 轴作垂线，垂足分别是A ，B ，则MA MB ⋅= .
10,若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则实数m 的 取值范围是 ．
11．在平面直角坐标系xOy 中，已知过原点O 的动直线，与圆C ：x 2+y 2-6x+5=0相交
于不同的两点A ，B ，若点A 恰为线段OB 的中点，则圆心C 到直线，的距离为
12．已知函数f(x)= 224,04
,log (2),46
x x x x x ⎧-+≤<⎨
-≤≤⎩若存在x 1，x 2∈R ，当0≤x 1<4≤x 2≤6时， f(x 1)=f(x 2)．则x 1f(x 2)的取值范围是 。

13．已知函数f(x)=2x-1+a,g(x)= bf(1-x)．其中a ，b ∈R ，若关于x 的不等式 f(x)≥g(x)的解的最小值为2，则a 的取值范围是 ．
14．若实数x ，y 满足x 2 -4xy+4y 2 +4x 2y 2=4，则当x+2y 取得最大值时，
x
y
的值为 ． 二、解答题，本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤．
已知函数f(x)= sin(2x 十
3π一6
π)． (l)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间： (2)当x ∈[一
6π,3
π
]时，试求f(x)的最值，并写出取得最值时自变量x 的值．
16.（本小题满分14分）
如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，M 是AD 的中点，N 是PC 的中点．
(1)求证：MN ∥平面PAB;
(2)若平面PMC ⊥平面PAD ．求证：CM ⊥AD.
17.（本小题满分14分）
如图是某设计师设计的Y 型饰品的平面图，其中支架OA ，OB ，OC 两两成120°，
OC=l ，AB=OB+OC ，且OA> OB ．现设计师在支架OB 上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M ，且M 与OB 长成 正比，比例系数为k （k 为正常数）：在△AOC 区域（阴影区域） 内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N,且N 与△AOC 的
面积成正比，比例系数为k ．设OA =x ，OB=y. (1)求y 关于工的函数解析式，并写出x 的取值范围； (2)求N-M 的最大值及相应的x 的值．
18.（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C: 2222x y a b +=1（a>b>0）过点(1, 32）．离心率为1
2
．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设直线，与椭圆C 交于A ，B 两点．
①若直线，过椭圆C 的右焦点，记△ABP 三条边所在直线的斜率的乘积为t ． 求t 的最大值；
OA 2+ OB 2是否为定值，若是定值，则求出此 定值；若不是定值，请说明理由．
设函数f(x)=x -2e x - k(x-2lnx)（k 为实常数．e=2.71828…是自然对数的底数）． (1)当k=l 时，求函数f(x)的最小值：
(2)若函数f(x)在区间(0，4)内存在三个极值点，求k 的取值范围．
20.（本小题满分16分）
已知首项为1的正项数列{an}满足2
2
115
,*.2
n n n n a a a a n N +++<
∈ (1)若a 2=
3
2
，a 3=x ，a 4=4．求x 的取值范围； (2)设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 为数列{a n }前n 项的和， 若
11
22
n n n S S S +<<, n ∈N*，求q 的取值范围： (3)若a 1，a 2，…，a k （k ≥3）成等差数列，且a 1+a 2+…+a k =120．求正整数k 的最小 值，以及k 取最小值时相应数列a 1，a 2，…，a k 的公差．
2015—2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）
数学II （附加题） 2016.3
21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在 答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.选修4-1:几何证明选讲
如图，直线AB 与⊙O 相切于点B ，直线AO 交⊙O 于D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为
C ，且AD=3DC ，，求⊙O 的直径．
B ．选修4-2:矩阵与变换
设M=1012 ⎡⎤⎢⎥ ⎣⎦
．N=102⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥0 1⎣⎦
，试求曲线y-=sinx 在矩阵MN 变换下得到的曲线方程．
C ．选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy
中，直线，的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数），以原点O 为
极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ=2以sin θ.设P 为
直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的直角坐标．
D ．选修4-5:不等式选讲 己知函数
f(x)=
，
g(x)= ，若存在实数xf(x)+g(x)>a 成立，求
实数a 的取值范围．
【必做题】第22题．第23题．每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA l =AB=2AD=2，E 为AB 的中点，F 为D 1E 上的一点，D 1F=2FE.
(l)证明：平面DFC ⊥平面D 1EC;
(2)求二面角A-DF-C 的大小．
23.（本小题满分10分）
在杨辉三角形中，从第3行开始，除l 以外， 其它每一个数值是它上面的二个数值之和，这 三角形数阵开头几行如右图所示．
(l)在杨辉三角形中是否存在某一行，且该行 中三个相邻的数之比为3：4：57若存在， 试求出是第几行；若不存在，请说明理由： (2)已知n ．r 为正整数．且n ≥r+3. 求证：任何四个相邻的组合数r n C ，1
r n C +，
2r n C +，3
r n C +不能构成等差数列．
2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）
数学参考答案 2016．3
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．
． 1．(1,3) 2．5 3．320 4．(2,4)- 5．
25 6．6 7．1
3
8．2 9．－2 10．(2,)+∞ 11 12．256[3,]27 13．1(,2](,)4
-∞--+∞ 14．2
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15． 解：（1）由题意知，2())cos(2)2sin(2)333
f x x x x π
ππ
=+++=+
，……4分 所以()f x 的最小正周期为22
T π
==π． …………………………………………6分 当2222()232
k x k k πππ
-
+π++π∈Z ≤≤时，()f x 单调递增， 解得[]()1212
x k k k 7ππ
∈-+π,-+π∈Z ，
所以()f x 的单调递增区间为[]()1212
k k k 7ππ
-+π,-+π∈Z ．………………………8分
（2）因为[,]63x ππ∈-，所以22333
x ππ4π
+≤≤， ………………………………10分
当2232x ππ+=，即12x π
=-时，()f x 取得最大值2， …………………………12分
当2233x π4π+=
，即3
x π
=时，()f x 取得最小值 ………………………14分 16． 证明：（1）取PB 中点E ，连EA ，EN ，△PBC 中，//EN BC 且1
2EN BC =，
又1
2
AM AD =
，//AD BC ，AD BC =， …………………………………3分 得EN ∥AM ，=EN AM ，四边形ENMA 是平行四边形， …………………5分 得//MN AE ，MN ⊄平面PAB ，AE ⊂平面PAB ，
//MN ∴平面PAB ． ………………………………………………………7分 （2）过点A 作PM 的垂线，垂足为H ，
平面PMC ⊥平面PAD ，平面PMC 平面PAD PM =，AH PM ⊥， AH ⊂平面PAD ，
AH ∴⊥平面PMC ，平面PMC ，AH ∴⊥CM ． ………………………10分 PA ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CM . …………………12分
PA AH A =，PA ,AH ⊂平面PAD ，CM ⊥平面PAD ，
AD ⊂平面PAD ，CM AD ∴⊥． ……………………………………………14分
17． 解：（1）因为,,1OA x OB x AB y ===+，
由余弦定理，2
2
2
2cos120(1)x y xy y +-︒=+，解得21
2x y x
-=-， …………………3分
由0,0x y >>得12x <<，又x y >，得21
2x x x ->-
，解得1x <<， …………6分
所以OA
的取值范围是． ………………………………………………7分
（2）M kOB ky ==
，3AOC N S kx ∆=⋅=，
则21
(3)(3)2x N M k x y k x x
--=-=--，…………………………………………………8分
设2)x t -=∈，
则2(2)1
[3(2)]t N M k t t ---=--
=3[10(4)](10(10k t k k t -+-=-≤.…………………………11分
当且仅当3
4t
=即
)1t 取等号，此时2
x =取等号， ………13分 所以当2x =时，N M -的最大值是(10k -.……………………………14分
18．解：（1）22191
,42
a b +== 得224, 3.a b == …………………………2分
所以椭圆22
143
x y C +=:. ……………………………………………………………3分
（2）①设直线l 的方程为1x my =+，直线l 与椭圆C 的交点为()()1122,,,A x y B x y ，
由221,
1,43x my x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩化简得()
2234690m y my ++-=，易知0∆>， ………………5分
所以121222
69
,3434
m y y y y m m +=-
=-++， 所以()121212122121212
333339122222411AP BP
y y y y y y y y k k x x my my m y y -----++
⋅=⋅=⋅=⋅--
＝13
4
m --， ……………………………………………7分
所以2
2131394864
AB AP BP
t
k k k m m m ⎛⎫=⋅⋅=--=-++ ⎪⎝⎭， …………………………9分
所以当8
3m =-时，t 有最大值9
64
. ………………………………………………10分 ②设直线l 的方程为y n =
+，直线l 与椭圆C 的交点为()()1122,,,A x y B x y ，
2
2
,1,4
3y n x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
得223260x n ++-=，
22)43(26)0n ∆=-⨯->
，即n
2121226,3
n x x x x -+== …………………………12分
2222222222
11221212()()OA OB x y x y x x y y +=+++=+++
=22
2222
2121212127))()()24
x x n n x x x x n +++++=+++
=2212121277
()()242
x x x x x x n +-++ ……………………………………14分
=2227726()()()243233
n n n ----+=7. …………………………16分 19．解：（1）由函数()()()2e 2ln 0x
f x x x x x
=-->，
可得()()()
23
2e x x x f x x --'=. ……………………………………………………2分
因为当0x >时，2e x x >.理由如下：
要使0x >时，2e x x >，只要2ln x x >，设()2ln x x x ϕ=-，22
()1x x x x
ϕ-'=-=，
于是当20<<x 时，()0x ϕ'<；当2>x 时，()0x ϕ'>.
即()2ln x x x ϕ=-在2x =处取得最小值(2)22ln 20ϕ=->，即0x >时，2ln x x >，
所以2e 0x x ->， …………………………………………………………………5分 于是当20<<x 时，()0f x '<；当2>x 时，()0f x '>.
所以函数()x f 在()2,0上为减函数，()+∞,2上为增函数. ……………………6分
所以()f x 在2x =处取得最小值 2
e (2)22ln 24
f =-+. ……………………7分
（2） 因为()()()()2
2'3
e 22e x x x k x kx x
f x x x
⎛⎫-- ⎪--⎝⎭==， 当0k ≤时，2e
0x k x
->，所以()x f 在()2,0上单调递减，()2,4上单调递增，不存在三个极值
点，所以0>k . ……………………………………………8分
又()()()()2
23
e 22e x x x k x kx x
f x x x ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭'==，令()2e x
g x x
=，得()()23e 2x g x x ⋅-'=， 易知()x g 在()2,0上单调递减，在()∞+，
2上单调递增，在2=x 处取得极小值， 得()2e 24g =，且()4
e 416
g =， ………………………………………………………10分
于是可得k y =与()2e x
g x x =在()4,0内有两个不同的交点的条件是 24e e ,416k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
.
………………………………………………………12分 设k y =与()2e x
g x x
=在()4,0内有两个不同交点的横坐标分别为21,x x ，则有
42021<<<<x x ，下面列表分析导函数()x f '及原函数()x f ：
可知()x f 在()1,0x 上单调递减，在()2,1x 上单调递增， 在()2,2x 上单调递减，在()4,2x 上单调递增，
所以()x f 在区间()4,0上存在三个极值点. ………………………………………15分
即函数()x f 在()4,0内存在三个极值点的k 的取值范围是24e e ,416⎛⎫
⎪⎝⎭
. ……16分
20．解：（1）由题意得，
11
22
n n n a a a +<<， …………………………………………2分 所以
3342,42
x
x x <<<<，解得()2,3x ∈. ………………………………4分 （2）由题意得，∵
11
22
n n n a a a +<<，且数列{}n a 是等比数列，11a =， ∴11122n n n q q q --<<，∴1
11()02
(2)0n n q q q q --⎧->⎪⎨⎪-<⎩
，∴1,22q ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭． ……………………6分 又∵11
22
n n n S S S +<<，∴而当1q =时，212S S =不满足题意. …………………7分
当1q ≠时，1111122111n n n
q q q q q q
+---⋅<<⋅---，
∴①当1,12q ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(2)1,(21)1,n n q q q q ⎧->-⎨-<⎩11(2)1,(21)1,q q q q ⎧->-⎨-<⎩解得1,12q ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭； ……9分
②当()1,2q ∈时，(2)1,(21)1,n n q q q q ⎧-<-⎨->⎩，11(2)1,(21)1,
q q q q ⎧-<-⎨->⎩无解．∴1,12q ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭． …11分
（3）∵
11
22
n n n a a a +<<，且数列12,,k a a a 成等差数列，11a =，
∴1[1(1)]12[1(1)]2
n d nd n d +-<+<+-， 1,2,,1n k =-．
∴(1)1,(2)1,
d n d n +>-⎧⎨
-<⎩
∴1,1d k ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭. ……………………………………13分
又∵12120k a a a ++=，∴221()(1)1202222
k d d d d
S k a k k k =
+-=+-=， ∴2
2402k d k k -=
-，∴224021,1k k k k -⎛⎫∈- ⎪-⎝⎭
，解得()15,239k ∈，*
k ∈N ， 所以k 的最小值为16，此时公差为13
15
d =． ………………………………………16分
数学Ⅱ（附加题）参考答案
21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲
解：因为DE 是O 的直径，则90BED EDB ∠+∠=︒，
又,BC DE ⊥所以90CBD EDB ∠+∠=︒， ……………………………………3分 又AB 切O 于点B ，得ABD BED ∠=∠，所以CBD DBA ∠=∠. ………………5分 即BD 平分CBA ∠，则
3BA AD
BC CD
==，
又BC =，从而AB =4AC =
=，所以3AD =， ……8分
由切割线定理得2
AB AD AE =⋅，即2
6AB AE AD
==，
故3DE AE AD =-=，即O 的直径为3. ……………………………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换
解：MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢
⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002， ………………………………………4分 设(x ，y )是曲线y ＝sin x 上的任意一点，在矩阵MN 变换下对应的点为(x ′，y ′)．
则⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤12002⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， …………………………………………………………6分 所以1,2,2x x y y ''=
= 且1
2,2
x x y y ''==， …………………………………8分 代入y ＝sin x ，得1
2
y ′＝sin2x ′，即y ′＝2sin2x ′.
即曲线y ＝sin x 在矩阵MN 变换下的曲线方程为y ＝2sin2x . ……………………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程
解：由ρθ=
，得2sin ρθ=
，从而有22x y +=， ………3分
所以(2
2
3x y +=. …………………………………………………………5分
设132P t ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭
，C
，PC ==，…8分 故当0t =时，PC 取得最小值，此时P 点的坐标为(3,0). ………………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲
解：存在实数x 使()()f x g x a +>成立，
等价于()()f x g x +的最大值大于a ， …………………………………………2分 因为
()()1f x g x + ………………4分
由柯西不等式：21≤(31)(214)64x x +++-=， ………7分
所以()()f x g x +8，当且仅当x ＝10时取“＝”， …………9分 故常数a 的取值范围是(－∞，8)． ……………………………10分 【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分． 22．解：（1）以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在
直线
为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则
A (1,0,0)，
B (1,2,0)，
C (0,2,0)，
D 1(0,0,2). ∵
E 为AB 的中点，∴E 点坐标为E (1,1,0), ∵D 1
F =2FE ，
∴1122224(1,1,2)(,,)33333
D F D
E ==-=-,
11224222
(0,0,2)(,,)(,,)333333
DF DD D F =+=+-=……………2分
设(,,)x y z =n 是平面DFC 的法向量，则0
0DF DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,∴2220333
20x y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，，
取x =1得平面FDC 的一个法向量(1,0,1)=-n ， …………………………………3分 设(,,)x y z =p 是平面ED 1C 的法向量，则11
00D F D C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，p p ∴2240333
220x y z y z ⎧+-=⎪⎨⎪-=⎩，
，
取y =1得平面D 1EC 的一个法向量(1,1,1)=p , ……………4分
∵(1,0,1)(1,1,1)0⋅=-⋅=n p ，∴平面DFC ⊥平面D 1EC . ……………………5分 （2）设(,,)x y z =q 是平面ADF 的法向量，则00DF DA ⋅=⋅=，，q q
江苏省苏、锡、常、镇2016届高三数学教学情况调查(一)数学考试试题
11 / 11 ∴22203330x y z x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，，
取y =1得平面ADF 的一个法向量(0,1,1)=-q , …………7分 设二面角A -DF -C 的平面角为θ，由题中条件可知π(,π)2
θ∈， 则cos θ＝－||||||⋅⋅n q n q
12=-,…………………………………………9分 ∴二面角A -DF -C 的大小为120°. ……………………………………10分
23．解：（1）杨辉三角形的第n 行由二项式系数k n C ，k ＝0,1,2,…,n 组成．
如果第n 行中有11314,145
k k n n k k n n C C k k C n k C n k -++====-+-， 那么 3n －7k ＝－3，4n －9k ＝5， ……………………………………………2分
解这个联立方程组，得k ＝27，n ＝62． ……………………………………………3分
即第62行有三个相邻的数262728626262,,C C C 的比为3:4:5．………………………………4分
（2）若有n ，r (n ≥r ＋3)，使得123,,,r r r r n n n n C C C C +++成等差数列，
则122132,2,r r r r r r n n n n n n C C C C C C +++++=+=+，
即2⋅n !(r ＋1)!(n －r －1)!＝n !r !(n －r )!＋n !(r ＋2)!(n －r －2)!
， 2⋅n !(r ＋2)!(n －r －2)!＝n !(r ＋1)!(n －r －1)!＋n !(r ＋3)!(n －r －3)!
. ………………………6分 所以有2(r ＋1)(n －r －1)＝1(n －r －1)(n －r )＋1(r ＋1)( r ＋2)
， 2(r ＋2)(n －r －2)＝1(n －r －2)(n －r －1)＋1(r ＋2)(r ＋3)
， 经整理得到n 2－(4r ＋5)n ＋4r (r ＋2)＋2＝0，n 2－(4r ＋9)n ＋4(r ＋1)(r ＋3)＋2＝0．
两式相减可得n ＝2r ＋3，
于是C r 2r +3，C r +12r +3，C r +22r +3，C r +3
2r +3成等差数列， ……………………………………8分
而由二项式系数的性质可知C r 2r +3＝C r +32r +3＜C r +12r +3＝C r +22r +3，
这与等差数列性质矛盾，从而要证明的结论成立． ………………………………10分。