2019年高考数学(文)第二章 函数的概念及其基本性质课时撬分练2-3习题及答案

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时间：60分钟
基础组
1.下列函中，既是偶函又在(－∞，0)上单调递增的是( ) A．y＝x2B．y＝2|x|
C．y＝log21
|x|
D．y＝sin x
答案 C
解析函y＝x2在(－∞，0)上是减函；函y＝2|x|在(－∞，0)上
是减函；函y＝log21
|x|
＝－log2|x|是偶函，且在(－∞，0)上是增函；函y＝sin x不是偶函．综上所述，选C.
2. 函f(x)＝a sin2x＋bx 2
3＋4(a，b∈R)，若f
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
lg
1
2014
＝2013，
则f(lg 2014)＝( )
点击观看解答视频A．2018 B．－2009
C．2013 D．－2013
答案 C
解析 g (x )＝a sin 2x ＋bx 23 ，g (－x )＝a sin 2x ＋bx 23 ，g (x )＝
g (－x )，g (x )为偶函，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
lg 12014＝f (－lg 2014)，f (－lg 2014)＝g (－lg 2014)＋4＝g (lg 2014)＋4＝f (lg 2014)＝2013，故选C.
3．若函f (x )(x ∈R )是奇函，函g (x )(x ∈R )是偶函，则一定成立的是( )
A ．函f (g (x ))是奇函
B ．函g (f (x ))是奇函
C ．函f (f (x ))是奇函
D ．函g (g (x ))是奇函 答案 C
解析 由题得，函f (x )，g (x )满足f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝
g (x )，则有f (g (－x ))＝f (g (x ))，g (f (－x ))＝g (－f (x ))＝g (f (x ))，f (f (－x ))＝f (－f (x ))＝－f (f (x ))，g (g (－x ))＝g (g (x ))，可知函f (f (x ))是奇函，故选C.
4．定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的函f (x )不恒为0，且对于
定义域内的任意实x ，y 都有f (xy )＝f y x ＋f x
y 成立，则
f (x )( )
A ．是奇函，但不是偶函
B ．是偶函，但不是奇函
C ．既是奇函，又是偶函
D ．既不是奇函，又不是偶函 答案 A
解析 令x ＝y ＝1，则f (1)＝
f 1 1
＋
f 1
1
，∴f (1)＝0.
令x ＝y ＝－1，则f (1)＝
f －1 －1
＋
f －1
－1
，∴f (－1)＝0.
令y ＝－1，则f (－x )＝f －1 x ＋f x
－1
，
∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )是奇函． 又∵f (x )不恒为0，∴f (x )不是偶函．故选A.
5．设偶函f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( )
A ．{x |x <－2或x >4}
B ．{x |x <0或x >4}
C ．{x |x <0或x >6}
D ．{x |x <－2或x >2}
答案 B
解析 当x <0时，－x >0，∵f (x )是偶函， ∴f (x )＝f (－x )＝－x 3－8.
∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 3
－8，x ≥0，
－x 3
－8，x <0，
∴f (x －2)＝⎩⎪⎨⎪⎧
x －2 3
－8，x ≥2，
－ x －2 3
－8，x <2，
由f (x －2)>0，得
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ≥2
x －2 3
－8>0或⎩
⎪⎨⎪⎧
x <2，
－ x －2 3
－8>0，
解得x >4或x <0.故选B.
6. 已知定义在R 上的奇函f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间上是增函，则( )
点击观看解答视频
A ．f (－25)<f (11)<f (80)
B ．f (80)<f (11)<f (－25)
C ．f (11)<f (80)<f (－25)
D ．f (－25)<f (80)<f (11) 答案 D
解析 由函f (x )是奇函且f (x )在上是增函可以推知，f (x )在上递增，
又f (x －4)＝－f (x )⇒f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，
故函f (x )以8为周期，f (－25)＝f (－1)，f (11)＝f (3)＝－f (3－4)＝f (1)，f (80)＝f (0)，故f (－25)<f (80)<f (11)．
7．函f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (m )＝2，则f (－m )的值为( )
A ．3
B ．0
C ．－1
D ．－2
答案 B
解析 把f (x )＝x 3＋sin x ＋1变形为f (x )－1＝x 3＋sin x ，令g (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，则g (x )为奇函，有g (－m )＝－g (m )，所以f (－
m )－1＝－，得到f (－m )＝－(2－1)＋1＝0.
8．设函f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函，当x ∈时，f (x )
＝x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32＝________.
答案 32
解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12
＋1＝32.
9．若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函，则实a ＝________. 答案 4
解析 由f (x )＝(x ＋a )(x －4)，
得f (x )＝x 2＋(a －4)x －4a ，
若f (x )为偶函，则a －4＝0，即a ＝4.
10．设f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函，若f (2)>1，f (2014)＝2a －3a ＋1
，则实a 的取值范围是________． 答案 ⎝
⎛⎭⎪⎫
－1，23
解析 ∵f (2014)＝f (1)＝f (－2)＝－f (2)<－1， ∴
2a －3a ＋1<－1，解得－1<a <23
. 11．设函f (x )是定义在R 上的偶函，且满足： ①f (x )＝f (2－x )；②当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2. (1)判断函f (x )是否为周期函； (2)求f (5.5)的值．
解 (1)由⎩
⎪⎨
⎪⎧
f x ＝f 2－x ，f x ＝f －x ⇒f (－x )＝f (2－x )⇒f (x )
＝f (x ＋2)⇒f (x )是周期为2的周期函．
(2)f (5.5)＝f (4＋1.5)＝f (1.5)＝f (2－1.5)＝f (0.5)＝0.25. 12．已知函f (x )的定义域为(－2,2)，函g (x )＝f (x －1)＋f (3－2x )．
(1)求函g (x )的定义域；
(2)若f (x )为奇函，并且在定义域上单调递减，求不等式g (x )≤0的解集．
解 (1)由题意可知⎩⎪⎨
⎪⎧
－2<x －1<2，
－2<3－2x <2，
∴⎩
⎪⎨⎪
⎧
－1<x <3，12<x <5
2，
解得12<x <5
2，故函g (x )的定义域为⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，52.
(2)由g (x )≤0得f (x －1)＋f (3－2x )≤0. ∴f (x －1)≤－f (3－2x )．
又∵f (x )为奇函，∴f (x －1)≤f (2x －3)，
而f (x )在(－2,2)上单调递减，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x －1≥2x －3，12<x <5
2，
解得1
2
<x ≤2，
∴不等式g (x )≤0的解集为⎝ ⎛⎦
⎥⎤
12，2.
能力组
13.已知y ＝f (x )是偶函，而y ＝f (x ＋1)是奇函，且对任意
0≤x ≤1，都有f ′(x )≥0，则a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫9819，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫10117，c ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
10615的大
小关系是( )
A ．c <b <a
B ．c <a <b
C ．a <c <b
D ．a <b <c
答案 B
解析 因为y ＝f (x )是偶函，所以f (x )＝f (－x )，① 因为y ＝f (x ＋1)是奇函，所以f (x )＝－f (2－x )，② 所以f (－x )＝－f (2－x )，即f (x )＝f (x ＋4)．
所以函f (x )的周期为4.又因为对任意0≤x ≤1，都有f ′(x )≥0，所以函在上单调递增，又因为函y ＝f (x ＋1)是奇函，所以函在上单
调递增，又a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫9819＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2219，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫10117＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3317，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫10615＝f ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
－1415
＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1415，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1415<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2219<f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3317，即c <a <b . 14．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.
答案 －1
解析 设h (x )＝f (x )＋x 2为奇函， 则h (－x )＝f (－x )＋x 2，
∴h (－x )＝－h (x )，∴f (－x )＋x 2＝－f (x )－x 2， ∴f (－1)＋1＝－f (1)－1，∴f (－1)＝－3， ∴g (－1)＝f (－1)＋2＝－1.
15. 定义在R 上的函f (x )对任意a ，b ∈R 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )＋k (k 为常)．
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(1)判断k 为何值时f (x )为奇函，并证明；
(2)设k ＝－1，f (x )是R 上的增函，且f (4)＝5，若不等式f (mx 2
－2mx ＋3)>3对任意x ∈R 恒成立，求实m 的取值范围．
解 (1)若f (x )在R 上为奇函，则f (0)＝0，令x ＝y ＝0，则f (0＋0)＝f (0)＋f (0)＋k ，∴k ＝0.
证明：令a ＝b ＝0，由f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，得f (0＋0)＝f (0)＋f (0)，即f (0)＝0.
令a ＝x ，b ＝－x ，则f (x －x )＝f (x )＋f (－x )， 又f (0)＝0，则有0＝f (x )＋f (－x )， 即f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 成立，
∴f (x )是奇函．
(2)∵f (4)＝f (2)＋f (2)－1＝5，
∴f (2)＝3.∴f (mx 2－2mx ＋3)>3＝f (2)对任意x ∈R 恒成立． 又f (x )是R 上的增函，∴mx 2－2mx ＋3>2对任意x ∈R 恒成立， 即mx 2－2mx ＋1>0对任意x ∈R 恒成立， 当m ＝0时，显然成立；
当m ≠0时，由⎩
⎪⎨⎪⎧
m >0，
Δ＝4m 2
－4m <0，得0<m <1.
∴实m 的取值范围是已知函f (x )对任意实x ，y 恒有f (x ＋y )＝
f (x )＋f (y )，且当x >0时，f (x )<0，又f (1)＝－2.
(1)判断f (x )的奇偶性； (2)求证：f (x )是R 上的减函； (3)求f (x )在区间上的值域；
(4)若∀x ∈R ，不等式f (ax 2)－2f (x )<f (x )＋4恒成立，求a 的取值范围．
解 (1)取x ＝y ＝0，则f (0＋0)＝2f (0)，∴f (0)＝0. 取y ＝－x ，则f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，
∴f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 恒成立，∴f (x )为奇函． (2)证明： 任取x 1，x 2∈(－∞，＋∞)，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，
f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)<0，
∴f (x 2)<－f (－x 1)，又f (x )为奇函， ∴f (x 1)>f (x 2)． ∴f (x )是R 上的减函．
(3)由(2)知f (x )在R 上为减函，
∴对任意x ∈，恒有f (3)≤f (x )≤f (－3)，
∵f (3)＝f (2)＋f (1)＝f (1)＋f (1)＋f (1)＝－2×3＝－6，
∴f (－3)＝－f (3)＝6，f (x )在上的值域为．
(4)f (x )为奇函，整原式得f (ax 2)＋f (－2x )<f (x )＋f (－2)， 则f (ax 2－2x )<f (x －2)，
∵f (x )在(－∞，＋∞)上是减函，∴ax 2－2x >x －2， 当a ＝0时，－2x >x －2在R 上不是恒成立，与题意矛盾； 当a >0时，ax 2－2x －x ＋2>0，要使不等式恒成立，则Δ＝9－8a <0，即a >98
；
当a <0时，ax 2－3x ＋2>0在R 上不是恒成立，不合题意．综上所
述，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
98，＋∞.。