09-11年浙江高考卷立体几何分析详解

2012年绍兴市高三教学质量调测
数 学 （理）
5.已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，则下列正确的是 （ C ） A.若//,,//m n m n ααβ⋂=则 B.若,,,m n m n αβαβ⊥⊂⊥⊥则 C.若//,,//,m n m n αβαβ⊥⊥则 D.若,,//,//m m n n αβαββ⊥⋂=则 7.某几何体的正视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能的是 （ B ）
16.在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，
,M N 分别是1AC ,11A B 的中点. 点P 在正方体的表面上运动，则总能使MP 与BN 垂直的点P 所构成的轨迹的周长等于 .
20.如图，在ABC ∆中，AC=AB=1，120ACB ︒∠=,O 为ABC ∆的外心.PO ABC ⊥平面,且
(1)证明：//BO PAC 平面；
(2)若点M 在线段PC 上，且PC AMB ⊥平面, 求二面角A BM O --的正弦值.
A B C D
第7题图
B
（1）证明：连接OC ，交AB 于点D.因为OA=OB,AC=BC,OC=OC, 所以OAC OBC ∆≅∆ …………2分 所以1
60,2
ACO BCO ACB ∠=∠=
∠=︒故OAC ∆和OBC ∆均为正三角形，所以四边形ACBO 为菱形，所以OB//AC. ……………4分 又,,//AC PAC OB PAC BO PAC ⊂⊄平面平面故平面. ……………6分
(2)解：方法一：
因为,PC AMB PC DM ⊥⊥平面所以
在Rt POC ∆中，
由1PO OC PC ===，得
由,POC
CMD ∆∆ D 为OC 的中点，得CM =
.…………7分
以D 为坐标原点，分别以,DA DC 所在直线为x
y 轴，轴 建立如图空间直角坐标系，
则10,0,0,0,2
22O A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝
⎭
⎝⎭⎝⎭，
，，()
30,1010M AB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝
⎭
，，则，
314,,001025AM OB OM ⎛⎛⎫⎛=== ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，，. …………9分 记平面ABM 的法向量为()1,,,
n x y z =
则由110
3010AB n AM n x y z ⎧==⎪
⎨=+=⎪⎩
，得10,1..n ⎛=- ⎝⎭ 记平面OBM 的法向量为()2,,
n x y z =
，则由2210240
510OB n x y OM n y z ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩
， 得(2n =-
…………12分
所以12
1212
cos ,n n n n n n <>==
=
⋅
12sin ,n n <>= ， 所以二面角A BM O --
的正弦值为6
…………14分
2009年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 数 学（理科）5．在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是( )
A ．30
B ．45
C ．60
D ．90
C 【解析】取BC 的中点E ，则AE ⊥面11BB C C ，AE DE ∴⊥，因此A
D 与平面11BB C C
所成角即为A D E ∠，设A B
a =，
则A E a
=
，2
a
DE =，即
有0tan 60ADE ADE ∠==．
12．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 3
cm ．
【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为1339⨯⨯=，上面的长方体体积为3319⨯⨯=，因此其几何体的体积为18
17．如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除
外）上一动点．现将AFD ∆沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ．在平面ABD 内过点D
作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t =，则t 的取值范围是 ．
【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F 位于DC 的中点时，1t =，随着F 点到C 点时，因,,CB AB CB DK CB ⊥⊥∴⊥平面A D B ，即有C B B D ⊥，对
于
2,1,CD BC BD ==∴=，又1,2AD AB ==，因此有AD BD ⊥，则有1
2
t =
，因此t 的取值范围是1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
20．（本题满分15分）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，ABC ∆
是以AC 为斜边的等腰直角三角形，,,E F O 分别为PA ，
PB ，AC 的中点，16AC =，10PA PC ==． （I ）设G 是OC 的中点，证明：//FG 平面BOE ； （II ）证明：在ABO ∆内存在一点M ，使FM ⊥平面
BOE ，并求点M 到OA ，OB 的距离．
证明：（I ）如图，连结OP ，以O 为坐标原点，分别以OB 、OC 、OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，
则()0,0,0,(0,8,0),(8,0,0),(0,8,0),O A B C -(0,0,6),(0,4,3),P E -()4,0,3F ，由题意得，
()0,4,0,G 因(8,0,0),(0,4,3)OB OE ==-
，
因此平面BOE 的法向量为(0,3,4)n = ，(4,4,3FG =--
得0n FG ⋅= ，又直线FG 不在平面BOE 内，因此有//FG 平面BOE （II ）设点M 的坐标为()00,,0x y ，则00(4,,3)FM x y =--
，因为FM ⊥平面BOE ，所以有
//FM n ，因此有009
4,4x y ==-，即点M 的坐标为
94,,04⎛⎫-
⎪⎝⎭
，在平面直角坐标系xoy 中，AOB ∆的内部区域满足不等式组008x y x y >⎧⎪
<⎨⎪-<⎩
，经检验，点M 的坐标满足上述不等式组，所以在ABO ∆内存
在一点M ，使FM ⊥平面BOE ，由点M 的坐标得点M 到OA ，OB 的距离为94,
4
．
x
y z
2010年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数 学（理科）
（6）设m l ,是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 ( B ) （A ）若αα⊥⊂⊥l m m l 则,, （B ）若αα⊥⊥m m l l 则,//,
（C ）若m l m l //,,//则αα⊂
（D ）若m l m l //,//,//则αα
（12）若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，
则此几何体的体积是 144 cm 3.
（20）（本题满分15分）如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在线段AB ，AD 上，
AE=EB=AF=
.43
2
=FD 沿直线EF 将AEF ∆翻折成,'EF A ∆使平面⊥EF A '平面BEF. （I ）求二面角C FD A --'的余弦值；
（II ）点M ，N 分别在线段FD ，BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C
与'A 重合，求线段FM 的长.
（20）本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向中量的应用，同
时考查空间想象能力和运算求解能力。

满分15分。

方法一：
（Ⅰ）解：取线段EF 的中点H ，连结A H ' 因为A E A F ''=及H 是EF 的中点， 所以A H EF '⊥ 又因为平面A EF '⊥平面BEF ，及A H '⊂平面.A EF ' 所以A H '⊥平面BEF 。

如图建立空间直角坐标系.A xyz -
则(10,8,0),(4,0,0),(10,0,0).A C F D '
故((6,0,0)FN FD =-=
设(,,)n x y z =
为平面A FD '的一个法向量
所以22060
x y x ⎧-++=⎪
⎨
=⎪⎩
取(0,z n ==-
则
又平面BEF 的一个法向量(0,0,1)m =
故cos ,||||
n m n m n m ⋅<>==
⋅
（Ⅱ）解：设£¬(4,0,0)FM x M x =+则 因为翻折后，C 与A 重合，所以CM=A M '
故222222(6)80(2)2x x -++=--++， 得214
x =
经检验，此时点N 在线段BG 上
所以21.4
FM =
方法二：
（Ⅰ）解：取截段EF 的中点H ，AF 的中点G ，连结A G '，NH ，GH 因为A E A F ''=及H 是EF 的中点， 所以A 'H//EF 。

又因为平面A 'EF ⊥平面BEF ，
所以A 'H`⊥平面BEF ， 又AF ⊂平面BEF ， 故A H AF '⊥，
又因为G ，H 是AF ，EF 的中点， 易知GH//AB ， 所以GH AF ⊥， 于是AF ⊥面A 'GH 所以A GH '∠为二面角A '—DF —C 的平面角，
在Rt A GH '∆中，2,A H GH A G ''===
所以cos 3
A GH '∠=
故二面角A '—DF —C 的余弦值为
3。

（Ⅱ）解：设FM x =， 因为翻折后，G 与A '重合， 所以CM A M '⊥， 而222228(6)CM DC DM x =+=+-
222222222(2)2A M A H MH A H MG GH x '''=+=++-+++
得21
4
x =
经检验，此时点N 在线段BC 上，
所以21.4
FM =
2011年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学（理科）试题
3．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是 （ D ）
4．下列命题中错误．．的是
( D )
A ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C ．如果平面αγ⊥平面，平面βγ⊥平面，=l αβ⋂，那么l γ⊥平面
D ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
20．（本题满分15分）
如图，在三棱锥P ABC -中，AB AC =，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2 （Ⅰ）证明：AP ⊥BC ； （Ⅱ）在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A-MC-B 为直二面角？若存在，求出AM
的长；若不存在，请说明理由。

20．本题主要考查空是点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考
查空间想象能力和运算求解能力。

满分15分。

方法一：
（I ）证明：如图，以O 为原点，以射线OP 为z 轴的正半轴，
建立空间直角坐标系O —xyz
则(0,0,0),(0,3,0),(4,2,0),(4,2,0),(0,0,4)O A B C P --，
(0,3,4),(8,0,0)AP BC ==-
，由此可得0AP BC ⋅= ，所以 AP BC ⊥
，即.AP BC ⊥
（II ）解：设,1,(0,3,4)PM PA PM λλλ=≠=--
则 BM BP PM BP PA λ=+=+
(4,2,4)(0,3,4)
(4,23,44)
λλλ=--+--=----
(4,5,0),(8,0,0)AC BC =-=-
设平面BMC 的法向量1111(,,)n x y z =
， 平面APC 的法向量2n
222(,,)x y z =
由110,0,BM n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得11114(23)(44)0,80,x y x x λλ--++-=⎧⎨-=⎩
即11
110,23(0,1,)2344,44x n z y λλλλ=⎧+⎪=⎨+-=⎪-⎩
可取 由220,0.AP n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
即2222340,450,y z x y +=⎧⎨-+=⎩
得222225,4
(5,4,3).3,4x y n z y ⎧=⎪⎪=-⎨
⎪=-⎪⎩ 可取 由12230,430,44n n λ
λ
+⋅=-⋅
=- 得 解得2
5
λ=，故AM=3。

综上所述，存在点M 符合题意，AM=3。

方法二：
（I ）证明：由AB=AC ，D 是BC 的中点，得AD BC ⊥ 又PO ⊥平面ABC ，得.PO BC ⊥
因为PO AD O = ，所以BC ⊥平面PAD ，
故.BC PA ⊥
（II ）解：如图，在平面PAB 内作BM PA ⊥于M ，连CM ， 由（I ）中知AP BC ⊥，得AP ⊥平面BMC ， 又AP ⊂平面APC ，所以平面BMC ⊥平面APC 。

在222,41,Rt ADB AB AD BD AB ∆=+=中得 在222,Rt POD PD PO OD ∆=+中， 在222,,Rt PDB PB PD BD ∆=+中
所以2
2
2
2
36,PB=6.PB PO OD DB =++=得 在2
2
2
Rt POA ,25, 5.PA AO OP PA ∆=+==中得
又2221
cos ,23
PA PB AB BPA PA PB +-∠=
=⋅ 从而PM cos 2PB BPA =∠=，所以AM=PA-PM=3。

综上所述，存在点M 符合题意，AM=3。