数学北师大版选修2-2同步练习第一章§1归纳与类比含解析

高手支招6体验成功
基础巩固
1.根据给出的数塔猜测123 456×9+7等于( )
1×9+2=11
12×9+3=111
123×9+4=1 111
1 234×9+5=11 111
12 345×9+6=111 111
A 。

1 111 110
B 。

1 111 111
C 。

1 111 112
D 。

1 111 113
答案:B
思路分析：由数塔猜测应是各位数字都是1的七位数，即1 111 111。

2.在数列｛a n }中,a 1=0,a n+1=2a n+2，则a n 是( ）
A.2n-221-
B.2n —2
C.2n-1+1
D.2n+1—4
答案:B
思路分析：当n=1,2,3时，求得a 2=2,a 3=6，a 4=14，观察知a n =2 n —2.
3。

已知等差数列｛a n }中,a 7+a 9=16，a 4=1，则a 12的值是（ ）
A.15
B.30 C 。

31 D.64
答案：A
思路分析：用等差数列的性质：等差数列中项数之和相等的对应两项的和也相等.a 7+a 9=a 4+a 12，故选A 项。

4。

已知322+=232,833+=383，1544+=4154,…,若b a +6=6b a
(a,b 均为
实数），请推测a=________________，b=________________。

答案:6 35
思路分析:由前面三个等式，推测归纳被开方数的整数与分数的关系,发现规律.
由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测
b a +6中，a=6，b=62—1=35。

即a=6,b=35。

5.已知f （n ）=1+21+31+…+n
1(n∈N +)，经计算：f(2）=23，f(4）＞24,f （8）＞25，f （16）＞3,f(32）＞2
7
，推测当n≥2时，有_______________。

答案：f （2n )＞22+n 思路分析：对问题进行归纳时,要尽可能将结论的形式统一，这样便于找到共性特征,看出其规律,故本题应将所给的式子写成f （21）=23，f （22）＞2,f （23）＞25,f(24）＞26，f （25）＞2
7，从而归纳出当n≥2时的一般结论为n≥2时,f(2n ）＞2
2+n . 6。

若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点M 1、M 2与点N 1、N 2，则三角形面积之比为：21221
1OM OM S S N OM N OM =∆∆·21ON ON 。

若从点O 所作的不在
同一个平面内的三条射线OP 、OQ 和OR 上分别有点P 1、P 2与点Q 1、Q 2和R 1、R 2,则类似的结论为：_______________. 答案：212221
11OP OP V V R Q P O R Q P O =--=21OQ OQ ·21OR OR
思路分析：在平面中是两三角形的面积之比，凭直觉可猜想在空间应是体积之比,所以有212221
11OP OP V V R Q P O R Q P O =--=21OQ OQ ·21OR OR
7.已知数列{a n ｝的通项公式a n =2)1(1
+n (n∈N +），f （n)=(1—a 1)（1—a 2）…
（1—a n ）,试通过计算f(1),f （2)，f(3）的值，推测出f （n)的值. 答案:（1）f （1)=1—a 1=1
4341=-，f （2）=（1—a 1）
(1-a 2)=f(1)·（191-)=43·98=32=64， f(3)=（1—a 1)（1-a 2)（1-a 3)=f(2)·（1161
-
）=32·1615=8
5，由此猜想f(n)=)1(22++n n 。

思路分析：利用题目所给的关系式,可以计算出函数值，根据f(1),f(2）,f
（3）的值,找到共性特征,进而可得f （n)的值.
8。

已知：sin 230°+sin 290°+sin 2150°=23,sin 25°+sin 265°+sin 2125°=23.
观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并证明之。

答案：一般性的命题为sin 2θ+sin 2(60°+θ)+sin 2(120°+θ)=2
3。

证明如下:sin 2θ+sin 2（60°+θ)+sin 2(120°+θ） =2
)2240cos(12)2120cos(122cos 1θθθ+++++++ =2
123+[cos2θ+cos（120°+2θ）+cos （240°+2θ）］ =2
123+[2cos60°cos（60°+2θ）+cos （180°+60°+2θ）］ =2123+［cos(60°+2θ）—cos(60°+2θ）］=2
3。

思路分析:仔细分析两个式子中角的特点，就会发现角的度数成等差数列，从而找到了规律.对角的观察是本题的突破口，若从两个式子中未能找到规律，可将两个式子中的三个角同时变化较小的度数,即可发现角的关系，从而找到式子的规律。

综合应用。