湖北省八校2018届高三上学期第一次联考试题(12月)数学(理)试卷(含答案)

2018届高三第一次联考
数学试题（理）
一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)
1.已知集合1{,},(),3x M y y x x x R N y y x R ⎧
⎫
==-∈==∈⎨⎬⎩⎭
，则（ ） A ．M N = B ．N M ⊆ C ．R M C N = D ．R C N M
2. 复数(12)(2)z i i =++的共轭复数为（ ）
A ．－5i
B ．5i
C ．15i +
D ．15i -
3. 将函数()3sin(2)3f x x π=-
的图像向右平移(0)m m >个单位后得到的图像关于原点对称，则m 的最小值是（ ）
A ．6π
B ．3
π C ．23π D ．56π 4. 已知函数22()log f x x x =+，则不等式(1)(2)0f x f +-<的解集为（ ）
A ．(,1)(3,)-∞-+∞U
B ．(,3)(1,)-∞-+∞U
C ．(3,1)(1,1)---U
D ．(1,1)(1,3)-U
5. 已知命题:,p a b R ∃∈， a b >且11a b >，命题:q x R ∀∈，3sin cos 2
x x +<.下列命题是真命题的是（ ）
A ．p q ∧
B ．p q ⌝∧
C ．p q ∧⌝
D ．p q ⌝∧⌝
6. 将正方体（如图1）截去三个三棱锥后，得到如图2所示的几何体，侧视图的视线方向如图2所示，则该几何体的侧视图为（ ）
7. 下列说法错误的是（ ）
⊂≠
A ．“函数()f x 的奇函数”是“(0)0f =”的充分不必要条件.
B ．已知A B
C 、、不共线，若0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r 则P 是△ABC 的重心.
C ．命题“0x R ∃∈，0sin 1x ≥”的否定是：“x R ∀∈，sin 1x <”.
D ．命题“若3πα=，则1cos 2α=”的逆否命题是：“若1cos 2α≠，则3
πα≠”. 8. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知103010,130S S ==，则40S =（ ）
A ．－510
B ．400
C ． 400或－510
D ．30或40
9. 南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶，算法至今仍是多项式求值比较先进的算法.已知20172016()2018201721f x x x x =++++L L ，下列程序框
图设计的是求0()f x 的值，在“ ”中应填的执行语句是
（ ）
A ．n i =
B ．1n i =+
C ．n =2018i -
D ．n =2017i -
10. 已知34πθπ≤≤，且1cos 1cos 622θθ+-+=，则θ=（ ）
A ． 101133ππ或
B ．37471212ππ或
C ．131544ππ或
D ． 192366
ππ或 11. 已知△ABC 中，,,a b c 为角,,A B C 的对边，(62)(62)0aBC bCA c AB +-++=u u u r u u r u u u r r ，则
△ABC 的形状为（ ）
A. 锐角三角形 B . 直角三角形 C. 钝角三角形 D . 无法确定
12. 我国古代太极图是一种优美的对称图.如果一个函数的图像能够将圆的面积和周长分成两个相等的部分，我们称这样的函数为圆的“太极函数”.下列命题中错误．．
命题的个数是（ ） 1:P 对于任意一个圆其对应的太极函数不唯一；
2:P 如果一个函数是两个圆的太极函数，那么这两个圆为同心圆；
3:P 圆22(1)(1)4x y -+-=的一个太极函数为32()33f x x x x =-+；
4:P 圆的太极函数均是中心对称图形；
5:P 奇函数都是太极函数；
6:P 偶函数不可能是太极函数.
A. 2
B. 3
C.4
D.5
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知平面向量(2,1),(2,).a b x ==r r 且(2)()a b a b +⊥-r r r r ，则x = .
14.曲线2y x =与直线2y x =所围成的封闭图形的面积为 .
15.已知等差数列{}n a 是递增数列，且1233a a a ++≤，7338a a -≤，则4a 的取值范围为 .
16.()f x 是R 上可导的奇函数，()f x '是()f x 的导函数.已知0x >时()(),(1)f x f x f e '<=，不等式()22ln(10ln(1)x x f x x e ++<++≤的解集为M ，则在M 上()sin6g x x =的零点的个数为 .
三、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17.（12分）已知向量3sin(3(),(sin ,cos ),()22a x x b x x f x a b ππ⎛⎫=--==⋅ ⎪⎝⎭
r r r r . （1）求()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的取值集合M ；
（2）在△ABC 中，,,a b c 是角,,A B C 的对边若
24
C M π+∈且1c =，求△ABC 的周长的取值范围. 18.（12分）已知数列{}n a 满足12211,4,44n n n a a a a a ++===-.
（1）求证：1{2}n n a a +-是等比数列；
（2）求{}n a 的通项公式.
19.（12分）四棱锥S ABCD -中，AD ∥BC ，
,BC CD ⊥060SDA SDC ∠=∠=，AD DC =1122
BC SD =
=，E 为SD 的中点.
（1）求证：平面AEC ⊥平面ABCD ；
（2）求BC 与平面CDE 所成角的余弦值.
20.（12分）已知某工厂每天固定成本是4万元，每生产一件产品成本增加100元，工厂每件产品的出厂价定为a 元时，生产x 件产品的销售收入是21()5004
R x x x =-+（元），()P x 为每天生产x 件产品的平均利润（平均利润＝总利润总产量
）.销售商从工厂每件a 元进货后又以每件b 元销售， ()b a c a λ=+-，其中c 为最高限价()a b c <<，λ为销售乐观系数，据市场调查，λ是由当b a -是c b -，c a -的比例中项时来确定.
（1）每天生产量x 为多少时，平均利润()P x 取得最大值？并求()P x 的最大值；
（2）求乐观系数λ的值；
（3）若600c =，当厂家平均利润最大时，求a b 与的值.
21.（12分）已知函数2
()(2),1x f x x e ax bx x =-++=是()f x 的一个极值点.
（1）若1x =是()f x 的唯一极值点，求实数a 的取值范围；
（2）讨论()f x 的单调性；
（3）若存在正数0x ，使得0()f x a <，求实数a 的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答。

如果多做，则按所做第一个题目计分。

22.（10分）已知曲线1C 的极坐标方程为22cos sin θρθ=，2C
的参数方程为22x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.
（1）将曲线1C 与2C 的方程化为直角坐标系下的普通方程；
（2）若1C 与2C 相交于A B 、两点，求AB .
23.（10分）已知()211f x x x =++-.
（1）求()f x 在[]1,1-上的最大值m 及最小值n .
（2）,a b R ∈，设1am bn +=，求22
a b +的最小值.
2018届高三第一次联考
数学参考答案（理）
一、选择题
C A B C A ——
D A B C D —— B C
二、填空题 13.12- 14.43
15.(]4,11- 16. 2 三、解答题
17.（1）(cos )a x x =-r ，
2()sin cos f x a b x x x =⋅=r r
1sin 2cos2sin(2)22232
x x x π=--=-－
()f x ∴的最大值为1-
………………4分 此时22,32x k π
π
π-=+ 即512
x k ππ=+ k z ∈ 5,12M x x k k z ππ⎧⎫∴=+∈⎨⎬⎩⎭
………………6分 （2）24C M π+∈Q 52412
C k πππ∴+=+ 23C k π
π=+, (0,)C π∈Q 3C π
∴= ………………7分
1c =Q 由2222cos c b a ab c =+-得222c a b ab =+-
22
22
3()()()3()44a b a b a b ab a b ++=+-≥+-= 2a b ∴+≤ ………………10分
故23a b c <++≤，即周长l 的范围为(]2,3∈l . ………………12分
18.（1）由2144n n n a a a ++=-得
21112242(2)n n n n n n a a a a a a ++++-=-=-
21212(2)2()0n n n a a a a -=-==-≠L 211222n n n n a a a a +++-∴=- {}12n n a a +∴-是等比数列. ………………6分
（2）由（1）可得112122(2)2n n n n a a a a -+-=-=
111222
n n n n a a ++∴-= 2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是首项为12，公差为12的等差数列 22
n n a n ∴= 12n n a n -=⋅. ………………12分
19.（1）E Q 为SD 的中点，01,602
AD DC SD SDA SDC ==∠=∠= .ED EC AD DC ∴===
设O 为AC 的中点，连接,EO DO 则EO AC ⊥
//,AD BC BC CD ⊥Q .AD BC ∴⊥
又OD OA OC ==
EOC EOD ∴∆≅∆ 从而EO OD ⊥
AC ABCD =Q DO ⊂面ABCD 0AC DO =I
EO ∴⊥面ABCD EO ⊂Q 面AEC
（2）设F 为CD 的中点,连接OF EF 、,则OF 平行且等于 12
AD AD Q ∥BC EF ∴∥BC
不难得出CD ⊥面OEF （EO CD ⊥Q FO CD ⊥）
∴面ECD ⊥面OEF
OF 在面ECD 射影为EF ，EFO ∠的大小为BC 与面ECD 改成角的大小
设AD a =，则2
a OF =
EF =
os 3
OF c EFO EF <== 即BC 与ECD
（亦可以建系完成） ………………12分
20.依题意总利润＝21500100400004
x x x -+-- ＝21400400004
x x -+- 21400400001400004()4004x x P x x x x
-+-∴==--+ 200400200.≥-+= 此时1400004x x
= 400x =
即，每天生产量为400件时，平均利润最大，最大值为200元 ………………6分
（2）由()b a c a λ=+-得b a c a
λ-=- b a -Q 是,c b c a --的比例中项
2()()()b a c b c a ∴-=--
两边除以2()b a -得()()1(1)c a b a c a c a c a b a b a b a b a
------==-----
111(1)λλ
∴=-⋅ 解得λ=. ………………8分 （3）厂家平均利润最大，4000040000100()100200400400
a x P x x ∴=
++=++=元 每件产品的毛利为b a -
()1)b a c a λ∴-=-=
3)b ∴=+元
400a ∴=（元），3)b =元. ………………12分
21.（1）()(1)2x
f x x e ax b '=-++， 1x =Q 是极值点 ()0f x '∴= ，故20a b +=， 2b a =-
()(1)(2)x f x x e a '=-+
1x =Q 是唯一的极值点
20x e a ∴+≥恒成立或20x e a +≤恒成立
由20x e a +≥恒成立得2x a e ≥-，又0x
e > 0a ∴≥
由20x e a +≤恒成立得2x a e ≤-，而x e -不存在最小值， 20x e a ∴+≤不可能恒成立. 0a ∴≥ ………………4分
（2）由（1）知，当0a ≥时，1x < ， ()0f x '< ； 1x > ， ()0f x '>.
()f x ∴在(,1)-∞递减，在(1,)+∞上递增. 当02
e a -<<时，ln(2)1a -< ln(2)x a <-，()0
f x '>； ln(2)1a x -<< ， ()0f x '<； 1x >， ()0f x '>.
()f x ∴在(,ln(2))a -∞-、(1,)+∞上递增，在(ln(2),1)a -上递减。

当2
e a <-时，()
f x 在(,1)-∞、 (ln(2),)a -+∞上递增，在(ln(2),1)a -递减。

2
e a =-时，()
f x 在R 上递增. ………………8分 （3）当0a ≥时，(1)f e a a =--<，满足题意； 当02
e a -<<时， (1)
f e a a =--<，满足题意； 当2e a <-
时，由（2）知需(0)f a <或(ln(2))f a a -<， 当(0)f a <时，2a >-，而(1)f e a a =-->，故存在10x >使得1()f x a =，这样1(0,]x x ∈时()f x 的值域为(2,]a -从而可知满足题意
当(ln(2))f a a -<时，得ln(2)1a -<或者ln(2)3a ->解得3
2e a <-； 当2
e a =-时，(0)2
f =-可得满足题意. ∴a 的取值范围3
2
e a <-或2a >-. ………………12分 22.（1）曲线1C 的直角坐标系的普通方程为2
2y x =
曲线2C 的直角坐标系的普通方程为4x y += ………………5分
（2）将2C 的参数方程代入1C 的方程22y x =得
2(2)2(2)-=+得：
2102
t -=
解得120,t t ==
12||||AB t t ∴=-= ………………10分
23.（1）131()212312
x x f x x x x x ≥⎧⎪=+-≤<⎨⎪-⎩<-Q ∴[1,1]x ∈-时，max min 3()3,().2
f x f x == ………………5分 （2）3312
am bn a b +=+= 222222223(3())()14239453()924
a b a b ++∴+=≥=++ 22a b +的最小值为
445
. ………………10分。