2-信号噪声分析

2 F ( x, y) p( x, y) xy
统计特征
互相关 协方差
R( x, y) E[ XY ]




xyp( x, y)dxdy
C ( x, y) E[( X mX )(Y mY )]



( x mX )( y mY ) p( x, y)dxdy
T (t )
1 Cn T1
n
T 1 2 T 1 2


(t nT1 )
jn1t
n
C .e
n

jn1t

T (t ).e

1 jnt T (t ) e T1 n
T (t )
1 dt T1 2 F ( ) T1
2
CXY 0
RXY mX mY
正交
不相关且
mX mY 0
例题
随机变量X在-1≤x≤1范围内均匀分布，设 Y=X2，这表明X与Y不统计独立。试分析X 与Y是否相关。
随机过程
定义，与随机变量的关系 平稳随机过程 数字特征 遍历性 传输特性
投掷硬币结果（正面1，反面1）
卷积和相关 能量谱、功率谱及帕氏定理 确知信号通过线性时不变系统
傅里叶级数
周期信号
f (t ) f (t nT ) n 1 2 3
（图）
a0 f (t ) [an cos(n0t ) bn sin(n0t )] 2 n 1 c0 cn cos(n0t n ) 2 n 1
1 f (t ) dt R f (0) 2
2



S f ( )d
确知信号通过线性时不变系统
f (t )
F ( )
h(t ) H ( )
g (t ) f (t ) h(t )
G( ) F ( ) H ( )
Rg ( ) ?
E g ( ) E f ( ) H ( )
( x mX ) 2 p X ( x) exp[ ] 2 2 X 2 X
归一化高斯分布 概率积分函数 误差函数与互补误差函数
二维随机变量的统计特征
联合概率密度和分布函数
F ( x, y) P{X x; Y y}
y

x
p( x, y)dxdy
n jn0t V e n
2 T /2 an f (t ) cos(n0t )dt T /2 T
2 T /2 bn f (t ) sin(n0t )dt T /2 T
1 T /2 Vn f (t )e jn0t dt T T /2
cn a b

n代表n次谐波的初相位，称相位频谱。
周期信号的各次谐波的分布图表征了信号的谐波 组成情况，称为信号的频谱。 它是信号频域表示的一种方法
6
例：周期矩形脉冲信号
E f(t)
E t 2 2 f (t ) 0 T t and t T 2 2 2 2
物理含义 两个定律：如果
卷积定律 调制定律
f1 (t ) F1 ()
f 2 (t ) F2 ()
f1 (t ) f 2 (t ) F1 () F2 ()
1 f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( ) F2 ( ) 2
相关
能量信号的相关
自相关 互相关
T
t
f (t ) bn sin n1t 4 sin 1t sin 31t 3 4
Q1: 傅里叶级数的物理意义是什么？ Q2: 引入傅氏分析的意义/目的是什么？
5
c0 f (t ) Cn cos(n0t n ) 2 n1
其中：Cn代表n次谐波的振幅，称幅度频谱。
(1)计算X与Y的互相关系数 (2)如果Z=2X+Y，W=X-2Y，求Z与W的协方 差 (3)计算随机变量Z的概率密度p(z)
2017/5/13 通信系统原理 郭宇春 郑宏云 27
统计独立、不相关和正交
统计独立 不相关
或 或
p ( x, y ) p ( x ) p ( y )
XY 0
概率与随机变量 随机过程
定义，与随机变量的关系 平稳随机过程 数字特征 遍历性 传输特性
概率与随机变量
概率空间，随机事件，样本，概率 全概公式，逆概公式 随机变量
概率分布，概率密度 数字特征 随机变量函数的分布 高斯分布 二维随机变量统计特征
统计独立、不相关、正交
通信系统原理
北京交通大学 电子信息工程学院 通信工程教研室 郭宇春 郑宏云
2017/5/13
通信系统原理 郭宇春 郑宏云
1
Chap 2 信号与噪声分析
1. 确知信号分析 2. 随机信号分析 3. 噪声分析
2.1 确知信号分析
信号类型 信号的频谱表示
傅里叶级数 傅氏变换 常用信号及其傅氏变换 傅氏变换重要性质
n


( n1 )
F ( )
T1
T1
t
频率搬移性
1
0
1 21
常用傅氏变换对：三角函数
FT[cos 1 t ] [ ( 1 ) ( 1 )]
( 0 )
1
F ( j )
( 0 )
0
1

FT[sin1 t ] j [ ( 1 ) ( 1 )]
随机变量的统计特征
概率分布函数(cdf)和概率密度函数(pdf)
FX ( x) P( X x)
dFX ( x) p X ( x) dx

统计特征
均值
mX E[ X ] xpX ( x)dx


均方值
方差 关系
2 X
X E[ X ] x 2 p X ( x)dx
2 n
2 n
n arctan(bn / an )
c0 f (t ) Cn cos(n0t n ) 2 n1
例：周期信号f(t)在一个周期内的波形
1 f (t ) 1
n 1
T 0t 2 T t T 2
f(t) 1
0
二维平稳：二维统计特征都是时间差的函数
+1 0 -1 +1 0 -1
。 。 。
t
t
+1 0 -1
2017/5/13 通信系统原理 郭宇春 郑宏云
t
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同条件电阻上的噪声电压
X1(t)
t
X2(t)
t
。 。 。
XN(t)
t
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通信系统原理 郭宇春 郑宏云
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随机过程
X(,t)
t2 t1 tN
样本函数的集合
t
Xi(t)
Xj(t)
2 2
D[ X ] E[( X mX ) ] ( x mX ) 2 p X ( x)dx
2

2 2 X 2 X mX
常用一维随机变量
均匀分布
区间[-a, a]上的均匀分布随机变量的概率密 度函数 1 p ( x)
2a
高斯（正态）分布
1
2 N (mX , X )
互相关系数 关系
( x, y )
C ( x, y )
XY
R( x, y) C( x, y) mX mY
例题
随机变量X与Y，具有联合高斯分布特征，且 已知mX=1，mY=2，协方差矩阵为
CX C CYX C XY 4 4 CY 4 9


与周期矩形脉冲比较
E T
1、周期信号的频谱包络线与非周期 信号的频谱函数曲线形状相同

cn
3、占有频带宽度为 2
2、频谱都具有收敛性2 Nhomakorabea
0
1
2

4


11
傅里叶变换（2）
互易特性
教材p27例2-1
F (t ) 2f ( )
常用傅氏变换对
常用傅氏变换对：周期单位冲激序列

2
dt


2
)
F ( ) ESa (

2
)
10
矩形脉冲的幅度频谱
F ( ) ESa (
j ( )

2
1 T) ,F(
)
F ( ) F ( ) e
E
2
F ( )
1、 cn的值比F()的值多乘了系数 2、 cn式中为不连续的变量n1 为连续变量

2
35
随机过程的统计特征
一维：均值、均方值、方差
关系：
统计平均功率
2 2 X 2 (t ) X (t ) mX (t )
交流功率
直流功率
一维平稳：一维统计特征与时间无关
二维：自相关、自协方差、自相关系数
关系
RX (t1 , t2 ) CX (t1 , t2 ) mX (t1 )mX (t2 )
( 0 )
1
jF ( j )
1
0
( 0 )

卷积
f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f 2 ( )d

t



f1 ( ) f 2 (t )d f 2 (t ) f1 (t )
2
与自相关函数的关系
R f ( ) E f ( ) R f ( ) S f ( )
帕氏定理
Ef
时域(t)


1 f (t ) dt R f (0) 2
2



F ( ) d
2
自相关域()
频域()
1 Pf lim T T

T /2
T / 2
E
X(t1)
随机变量的时间延展
X(t2) …… X(tN)
33 通信系统原理 郭宇春 郑宏云
2017/5/13
随机过程
定义
1. 随机变量 时间延展 2. 样本函数集合
平稳随机过程
X(,t)
t1+ t1 t2+ tN tN+ t
t2
E
X(t1+) X(t2+) X(t1) X(t2) 2017/5/13 X(tN+) X(tN) 通信系统原理 郭宇春 郑宏云

T 2

T 2 2
T
t
1 2 jn1t E n1 cn Ee dt Sa ( ) T 2 T 2
E f (t ) T
n1 jn1t Sa( )e 2 n

7
将各谐波分量的幅度和相位用垂直线段在频率轴的 相应位置上标出，即信号的频谱图。
H h () j sgn()
1 hh (t ) t
应用于窄带噪声统计分析以及线性调制生 成单边带信号的过程中 (chap3)
例题
已知功率信号 f (t ) A cos 200 t sin 200 t , 求 该信号的平均功率、自相关函数和功率谱 密度。
2.2 随机信号分析
Rg ( ) R f ( ) Rh ( )
2
Eg () ?
S g () ?
2
S g ( ) S f ( ) H ( )
H ( ) 称为系统功率传递函数
2
希尔伯特变换
同一个域中进行的一种特殊的正交变换
负频域全部频率成分相移+/2，正频域所有 频率成分相移- /2
R f ( ) f (t ) f (t )dt
R12 ( ) f1 (t ) f 2 (t )dt



功率信号的相关 相关的物理含义
能量谱、功率谱
能量谱：信号能量在频域的分布
E f ( ) F ( )
2
功率谱：信号功率在频域的分布
FT ( ) S f ( ) lim T T


d 2
f (t ) F ( )
举例
例：矩形脉冲信号
E
f (t )

2

2

t
jt
E f (t ) 0
dt Ee
2
t
t


2
2
F ( ) f (t )e

jt
E jt 2 E j 2 2E j 2 e | e e sin 2 j j 2 ESa(
cn
E T
E n1 Cn Sa( ) T 2
2 4

n
2
0 1




0
2

4


0 an 0 n an 0
8
傅里叶变换
非周期信号的时/频域转换
F ( )

f (t )e- jt dt
jt
f (t ) F ( )e