人教版高中数学必修一精品讲义5.1 任意角和弧度制(精练)(解析版)

5.1 任意角和弧度制
【题组一 基本概念的辨析】
1．（2020·河南林州一中高一月考）已知集合A ＝{α|α小于90°},B ＝{α|α为第一象限角},则A ∩B ＝( ) A ．{α|α为锐角} B ．{α|α小于90°} C ．{α|α为第一象限角} D ．以上都不对
【正确答案】D
【详细解析】∵A ＝{α|α小于90°},B ＝{α|α为第一象限角}, ∴A ∩B ＝{小于90°且在第一象限的角},
对于A :小于90°的角不一定是第一象限的,不正确,比如﹣30°;
对于B :小于90°的角且在第一象限的角不一定是0°～90°的角,不正确,例如﹣300°; 对于C :第一象限的角不一定是小于90°的角且在第一象限的角,不正确,例如380°, 故选D ．
2．（2020·浙江高一课时练习）下列命题中正确的是（ ）． A ．第一象限角一定不是负角 B ．小于90°的角一定是锐角 C ．钝角一定是第二象限角 D ．终边和始边都相同的角一定相等 【正确答案】C
【详细解析】300︒-为第一象限角且为负角,故A 错误;5090-︒<︒,但50︒-不是锐角,故B 错误;终边与始边均相同的角不一定相等,它们可以相差360,k k Z ︒⋅∈,故D 错误．钝角一定是第二象限角,C 正确． 故选:C ．
3．（2020·汪清县汪清第六中学高一期中（文））下列结论中正确的是( ) A ．小于90°的角是锐角 B ．第二象限的角是钝角 C ．相等的角终边一定相同 D ．终边相同的角一定相等 【正确答案】C
【详细解析】对于A,小于90︒可能是负角,不是锐角;对于B,第二象限的角可能是负角,不是钝角;
对于C,两个角相等,始边一致,则终边一定相同;对于D,终边相同的角,可能相差360°的倍数,不一定相等.故选C.
4．（2020·全国高一课时练习）（1）给出下列说法: ①锐角都是第一象限角; ②第一象限角一定不是负角;
③小于180°的角是钝角或直角或锐角.
其中正确说法的序号为________.( 把正确说法的序号都写上) （2）将时钟拨快20分钟,则分针转过的度数是________. 【正确答案】② 120-︒
【详细解析】（1）①锐角的范围为()0,90︒︒是第一象限的角,命题①正确;
②第一象限角的范围为()()360,90360k k k Z ⋅︒︒+⋅︒∈,故第一象限角可以为负角,故②错误; ③根据任意角的概念,可知小于180°的角,可以为负角,故③错误; 故正确答案为:②
（2）将时针拨快20分钟,则分针顺时针转过120︒,即转过的度数为120-︒ 故正确答案为:120-︒
5．（2020·全国高一课时练习）给出下列说法: ①锐角都是第一象限角; ②第一象限角一定不是负角;
③小于180°的角是钝角或直角或锐角．
其中正确说法的序号为________．( 把正确说法的序号都写上) 【正确答案】①
【详细解析】锐角指大于0°小于90°的角,都是第一象限角,所以①对;由任意角的概念知,第一象限角也可为负角,小于180°的角还有负角、零角,所以②③错误．故正确答案为:① 6．（2020·全国高一课时练习）下列命题正确的是____________( 填序号). ①－30°是第一象限角; ②750°是第四象限角; ③终边相同的角一定相等; ④－950°12′是第二象限的角. 【正确答案】④
【详细解析】①30-︒是第四象限的角度,故①错误;
②750°的终边与30︒的终边相同,故其为第一象限的角度,故②错误; ③终边相同的角度不一定相等,故③错误;
④－950°12′与－950°12′108012948+︒=︒′的终边相同,其为第二象限的角,故④正确. 故正确答案为:④.
【题组二 角度与弧度转换】
1．（2019·伊美区第二中学高一月考）300-化为弧度是（ ） A ．43
π
-
B ．53
π-
C ．23
π-
D ．56
π-
【正确答案】B
【详细解析】300530023603
π
π-=-⨯=- 2．（2020·全国高一课时练习）把85
π
化为角度是( )
A ．270°
B ．280°
C ．288°
D ．318°
【正确答案】C
【详细解析】因为1801rad π⎛⎫=︒ ⎪⎝⎭
,故8818028855πππ︒
︒⎛⎫
=⨯= ⎪
⎝⎭.故选:C. 3．（2020·灵丘县豪洋中学高一期中）320-︒化为弧度是（ ） A ．43
π
-
B ．169
π
-
C ．76
π-
D ．56
π-
【正确答案】B
【详细解析】320-︒化为弧度是16320=180
9
π
π
-︒⨯
-
.故选:B 4．（2020·金华市江南中学高一期中）1500︒转化为弧度数为（ ） A ．
25
3
B ．
163
π
C ．
163
D ．
253
π
【正确答案】D
【详细解析】由1180
rad π
︒
=
,所以1500155000
23
18π
π
︒=⨯
=
rad 故选:D 5．（2019·长沙铁路第一中学高一月考）将300o 化为弧度为（ ） A ．
43
π
B ．
53
π C ．
76
π D ．
74
π 【正确答案】B
【详细解析】5
3003001803
π
π︒=⨯=．故选:B ． 6．（2020·通榆县第一中学校高一期末）5
12
π=（ ）
A ．70°
B ．75°
C ．80°
D ．85°
【正确答案】B
【详细解析】因为1801rad π⎛⎫=︒
⎪⎝⎭,故512π=51807512ππ⎛⎫
⨯︒=︒ ⎪⎝⎭
.故选:B. 7．（2020·全国高一课时练习）将下列角度与弧度进行互化. （1）20°;（2）－15°;（3）712π（4）－
115
π
. 【正确答案】（1）20°＝
9
π;（2）－15°＝－12π
;（3）712π＝105°;（4）－115π＝－396°.
【详细解析】（1）20°＝20180π＝9
π
.
（2）－15°＝－15180
π＝－12π
.
（3）712π＝712×180°＝105°.
( 4)－115π＝－115
×180°＝－396°.
【题组三 终边相同】
1．（2020·浙江高一课时练习）与405°角终边相同的角是（ ）． A ．45360,k k Z ︒︒-+⋅∈ B ．405360,k k Z ︒︒-+⋅∈ C ．45360,k k Z ︒︒+⋅∈ D ．45180,k k Z ︒︒+⋅∈
【正确答案】C
【详细解析】由于40536045︒︒︒=+,故与405°终边相同的角应为45360,k k Z ︒︒+⋅∈．故选:C 2．（2020·永州市第四中学高一月考）在0360~︒︒的范围内,与510︒-终边相同的角是（ ） A ．330︒ B ．210︒
C ．150︒
D ．30︒
【正确答案】B
【详细解析】因为510720210︒-=-+,则在0360~︒︒的范围内,与510︒-终边相同的角是210︒,故选:B. 3．（2020·合肥市第八中学高一月考）下列各个角中与2020°终边相同的是( ) A ．150︒- B ．680°
C ．220°
D ．320°
【正确答案】C
【详细解析】由题,20202205360︒=︒+⨯︒,故选:C
4．（2020·汪清县汪清第六中学高一期中（文））在0°~360°范围内,与-1050°的角终边相同的角是（ ）
A ．30°
B ．150°
C ．210°
D ．330°
【正确答案】A
【详细解析】因为1050336030-︒=-⨯︒+︒所以在0°~360°范围内,与-1050°的角终边相同的角是30
故选:A
5．（2020·北京延庆·高一期末）与角196
π
终边相同的角为（ ） A ．6
π
-
B ．
6
π C ．56
π-
D ．
56
π 【正确答案】C 【详细解析】与角
196π终边相同的角可写成192,6π
απ=+∈k k Z 令2k =-,则56
πα=-故选:C
6．（2020·辉县市第二高级中学高一期中） 下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A ．2k π＋45°( k ∈Z)
B ．k ·360°＋π( k ∈Z)
C ．k ·360°－315°( k ∈Z)
D ．k π＋
( k ∈Z)
【正确答案】C 【详细解析】与
的终边相同的角可以写成2k π＋
( k ∈Z),但是角度制与弧度制不能混用,所以只有正确
答案C 正确.故正确答案为C
7．（2020·陕西大荔·高一月考）已知角2
α
是第一象限角,则α的终边位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第一或第二象限
D ．第一或第二象限或y 轴的非负半轴上
【正确答案】D 【详细解析】∵由角
2
α
是第一象限角,∴可得π
2π2π,22
k k k α
<
<+∈Z ,
∴4π4ππ,k k k α<<+∈Z .即α的终边位于第一或第二象限或y 轴的非负半轴上.故选:D.
8．（2020·宁县第二中学高一期中）已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界）,那么α∈________.
【正确答案】{}|180********,n n n αα⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈Z . 【详细解析】在0
360范围内,终边落在阴影内的角α满足:30150α<<或210330α<<
∴满足题意的角α为:
{}{}
30360150360210360330360k k k k αααα+⋅<<+⋅⋃+⋅<<+⋅
{}{}
302180150218021021803302180k k k k αααα=+⋅<<+⋅⋃+⋅<<+⋅
{
}()(){}
3021801502180302118015021180
k k k k αααα=+⋅<<+⋅⋃++⋅<<++⋅{
}
30180150180n n αα=+⋅<<+⋅,k Z ∈,n Z ∈
本题正确结果:{}
30180150180,n n n Z αα+⋅<<+⋅∈ 【题组四 象限的判断】
1．（2020·广东高一期末）下列各角中,与2019°终边相同的角为（ ） A ．41° B ．129°
C ．219°
D ．﹣231°
【正确答案】C
【详细解析】因为20195360219=⨯+,所以219与2019°终边相同.故选:C. 2．（2020·湖南隆回·高一期末）下列各角中,与60终边相同的角为（ ）
A ．30
B ．120
C ．420
D ．300
【正确答案】C
【详细解析】与60终边相同的角的集合是{}
60360,k k Z αα=+⋅∈,当1k =时,420α=.故选:C 3．（2020·河南项城市第三高级中学高一月考）设2
α
是第一象限角,且cos cos αα=-,则α是第（ ）象
限角 A ．一 B ．二
C ．三
D ．四
【正确答案】B
【详细解析】∵
2
α
是第一象限角,∴360903602
k k α
︒<
<︒+︒,k Z ∈,
∴720180720k k α︒<<︒+︒,k Z ∈,
∴α为第一象限角或第二象限角或终边在y 轴正半轴上的轴线角, ∵cos cos αα=-,∴cos 0α<,∴α是第二象限角.故选:B .
4．（2020·辉县市第二高级中学高一期中）角–2α=弧度,则α所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【正确答案】C
【详细解析】角–2α=弧度,2(,)2
π
π-∈--
,∴α在第三象限,故选:C .
5．（2020·全国高一课时练习）若θ＝－5,则角θ的终边在（ ） A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限
【正确答案】D
【详细解析】2π－5与－5的终边相同,∵2π－5∈0,2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
,∴2π－5是第一象限角,则－5也是第一象限角. 故选:D
6．（2020·浙江高一课时练习）若θ是第四象限角,则角2
θ
的终边在( ) A ．第一象限 B ．第一或第三象限 C ．第四象限
D ．第二或第四象限
【正确答案】D
【详细解析】取80θ=-︒,则402
θ
=-︒,在第四象限;取320θ=︒,则
1602
θ
=︒,在第二象限.
故选:D .
7．（2020·浙江高一课时练习）试求出终边在如图所示阴影区域内的角的集合．
【正确答案】
2
22,
34
k k k Z
ππ
βπβπ
⎧⎫-++∈
⎨⎬
⎭⎩
．
【详细解析】因为42
2
33
ππ
π
+=,所以
4
3
π的终边与
2
3
π
-的终边相同,
则终边在题图所示阴影区域内的角的集合为
2
22,
34
k k k Z
ππ
βπβπ
⎧⎫-++∈
⎨⎬
⎭⎩
．
8．（2020·上海高一课时练习）用弧度制写出终边在阴影部分的角的集合:（1）
（2）
【正确答案】（1）
2
22,
43
k k k Z
π
απαππ
⎧⎫
+<+∈
⎨⎬
⎩⎭
;（2）,
6
k k k Z
π
απαπ
⎧⎫
+∈
⎨⎬
⎩⎭
【详细解析】（1）边界对应射线所在终边的角分别为
2
22,() 43
k k k Z
π
πππ
++∈
，
所以终边在阴影部分的角的集合为
2
22,
43
k k k Z
π
απαππ
⎧⎫+<+∈
⎨⎬⎩⎭
（2）边界对应射线所在终边的角分别为222,2,()66
7
k k k k k Z π
ππππππ+++∈，
， 所以终边在阴影部分的角的集合为
722,22,66k k k Z k k k Z ππ
απαπαππαπ⎧⎫⎧⎫≤+∈⋃+≤+
∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
=,6
k k k Z π
απ
απ⎧⎫+∈⎨⎬⎩
⎭
【题组五 扇形】
1．（2020·山东潍坊·高一期末）已知某扇形的半径为4cm ,圆心角为2rad ,则此扇形的面积为（ ） A ．232cm B ．216cm
C ．28cm
D ．24cm
【正确答案】B
【详细解析】由题意,某扇形的半径为4cm ,圆心角为2rad , 根据扇形的面积公式,可得22211
241622
S r cm α=
=⨯⨯= 所以此扇形的面积为216cm .故选:B. 2．（2020·江西省铜鼓中学高一期末）一个扇形的圆心角为150°,面积为53
π
,则该扇形半径为（ ）
A ．4
B ．1
C D ．2
【正确答案】D
【详细解析】圆心角为51506πα==,设扇形的半径为R ,2
215152326
S R R ππα=⋅⇒
=⨯, 解得2R =.故选:D
3．（2020·武威第八中学高一期末）已知扇形的周长为8cm ,圆心角为2弧度,则该扇形的面积为（ ） A ．24cm B ．26cm
C ．28cm
D ．216cm
【正确答案】A
【详细解析】设此扇形半径为r ,扇形弧长为l=2r 则2r +2r ＝8,r=2,∴扇形的面积为
1
2
l r=224r cm =故选A 4．（2020·辉县市第二高级中学高一期中）已知扇形的圆心角为2,周长为8,则扇形的面积为（ ） A ．2 B ．4
C ．8
D ．16
【正确答案】B
【详细解析】设该扇形的半径为r ,弧长为l ,则2l
r =
,且28l r +=,所以有42
l r =⎧⎨=⎩,
所以,该扇形的面积为1
42
S lr =
=.故选:B. 5．（2020·河南宛城·南阳中学高一月考）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下,折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成,设扇形的面积为1S ,圆面中剩余部分的面积为2S ,当1S 与2S 的比值为
1
2
时,扇面看上去形状较为美观,那么此时扇形的圆心角的弧度数为（ ）
A ．(3π
B ．1)π
C ．1)π
D ．2)π
【正确答案】A
【详细解析】1S 与2S 所在扇形圆心角的比即为它们的面积比,
设1S 与2S 所在扇形圆心角分别为,αβ,则αβ=
,又2αβπ+=,解得(3απ=- 故选:A
6．（2020·永昌县第四中学高一期末） 如图,已知扇形AOB 的圆心角为120°,半径长为6,求弓形ACB 的面积．
【正确答案】12π-【详细解析】∵120°＝
π＝π,∴l ＝6×π＝4π,∴AB 的长为4π.
∵S 扇形OAB ＝lr ＝×4π×6＝12π,
如图所示,作OD ⊥AB ,有S △OAB ＝×AB ×OD ＝×2×6cos 30°×3＝9.
∴S 弓形ACB ＝S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－9
.
∴弓形ACB 的面积为12π－9
.
【题组六 生活中实际】 1．（2020·全国高一课时练习）将时钟拨快20分钟,则分针转过的度数是________．
【正确答案】－120°
【详细解析】将时针拨快20分钟,则分针顺时针转过120︒,即转过的度数为120-︒故正确答案为:120-︒ 2．（2020·全国高一课时练习）已知α＝30°,将其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为________.
【正确答案】1110°
【详细解析】一个角为30,其终边按逆时针方向旋转三周后的角的度数为:3603301110︒⨯+︒=︒． 故正确答案为:1110︒．
3．（2020·全国高一课时练习）写出下列说法所表示的角.
（1）顺时针拧螺丝2圈;
（2）将时钟拨慢2小时30分,分针转过的角．
【正确答案】（1）－720°;（2）900°.
【详细解析】
（1）顺时针拧螺丝2圈,即旋转了2360=720⨯︒︒,顺时针旋转得到的角为负角,故转过的角是720-︒; （2）拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转,时针拨慢2小时30分,是2.5周角,
角度数是2.5360900⨯︒=︒;又分针是逆时针旋转,转过的角是900︒．
4．（2020·浙江高一课时练习）在一昼夜中,钟表的时针和分针有几次重合?几次形成直角?时针、分针和秒针何时重合?请写出理由．
【正确答案】正确答案见详细解析.
【详细解析】时针每分钟走0.5°,分针每分钟走6°,秒针每分钟走360°,
（1）一昼夜有24601440⨯=（分钟）, 时针和分针每重合一次间隔的时间为36060.5
-分钟, 所以一昼夜时针和分针重合14402236060.5
=-（次）．
（2）假设时针不动,分针转一圈与时针两次形成直角,
但一昼夜时针转了两圈,则少了4次垂直,
于是时针和分针一共有242444⨯-=（次）形成直角．
（3）秒针与分针每重合一次间隔的时间为
360
3606
-
分钟,
由
360
3606
-
和
360
60.5
-
的“最小公倍数”为720,而720分钟=12小时,
所以一昼夜只有0:00与12:00这两个时刻“三针”重合．。