山东省东明县第一高级中学09-10学年高二下学期期末考试(数学理)

2009—2010学年度第二学期高二年级期末考试
数学试题（理）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每个小题的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.） 1．2(1)z i =+，则z i -= ( )
A.i D.2
2．“因为四边形ABCD 是矩形，所四边形ABCD 的对角线相等”，补充以上推理的大前提是 （ ）
A ．矩形都是四边形；
B ．四边形的对角线都相等；
C ．矩形都是对角线相等的四边形；
D ．对角线都相等的四边形是矩形 3．5432(1)5(1)10(1)10(1)5(1)x x x x x -+-+-+-+-= ( ) A.5x B.51x + C.51x - D.5(1)1x -- 4．设随机变量ξ服从正态分布(,9)N u ，若(3)(1)p p ξξ>=<，则u = ( ) A.0 B.2 C.3 D.9 5．一只骰子掷n 次，至少出现一次1点的概率大于1
2
，则n 的最小值为( ) A.6 B.5 C.4 D.3
6. 已知函数(1)()y x f x '=-的图象如图所示，其中()f x ' 为函数()f x 的导函数，则()y f x =的大致图象是( ) 7．以下结论不正确．．．
的是
（ ）
A ．根据2×2列联表中的数据计算得出K 2≥6.635, 而P （K 2≥6.635）≈0.01，则有99%的把握认为两个分类变量有关系
B ．在线性回归分析中，相关系数为r ，|r|越接近于1，相关程度越大；|r| 越小，相关程度越小
C ．在回归分析中，相关指数R 2越大，说明残差平方和越小，回归效果越好
D ．在回归直线855.0-=x y 中，变量x =200时，变量y 的值一定是15
8、已知等差数列{}n a 的通项公式为35n a n =-，则()()()5
6
7
111x x x +++++的展开式中含4x 项的系数是该数列的 （ ）
A.第9项
B.第10项
C.第19项
D.第20项
9、将5件相同的小礼物全部送给3个不同的球迷，让每个球迷都要得到礼物，不同的分法种数是 （ ）
A ．2种
B ．10种
C ．5种
D ．6种
10、由曲线y=2x ,y=3x 围成的封闭图形面积为 （ ）
A.
112 B.14 C. 13 D.7
12
11、为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装了5个彩灯，他们闪亮的顺序不固定，每个彩灯只能闪亮红橙黄绿蓝中的一种颜色，且这个5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒，如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是 （ ） A.1205秒 B.1200秒 C.1195秒 D.1190秒
12. 函数3()2'(1)f x x xf =+-，则函数()f x 在区间[]23-，上的值域是 （ ）
A ．9⎡
⎤-⎣⎦
B ．⎡
-⎣
C ．4⎡⎣，
D ．[]49，
第Ⅱ卷（非选择题 满分90分）
二．填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分.）
13．复数611i
i i
++-在复平面上对应的点在第 象限。

14．若()x f x x e =-在点P 处的切线平行于x 轴，且点P 在()y f x =的图象上，则点P 的坐标为 。

15．来自北京、上海、天津、重庆四市的各2名学生代表排成一排照像，要求北京的两人相邻，重庆的两人不相邻。

所有不同的排法种数为 (用数字作答)。

16、某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中，选手若能连续．．正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于 .
三、解答题（本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(本题12分)某班从4名男同学和2名女同学中任选3人参加全校举行的“八荣八耻”教育演讲赛。

如果设随机变量ξ表示所选3人中女同学的人数. (1)若1ξ≤,求共有不同选法的种数; (2)求ξ的分布列和数学期望； (3)求“1ξ≥”的概率。

18.(本题12分)已知二项式1
()2
n x +的展开式中前三项的系数成等差数列．
(1)求n 的值;
(2)设20121
()2
n n n x a a x a x a x +=++++.
①求5a 的值; ②求0123(1)n n a a a a a -+-++-的值;
③求(0,1,2,
)i a i n =的最大值.
19、(本题12分)某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如
下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置． 若指针停在A 区域返券60元；停在B
区域返券30元；停在C 区域不返券． 例如：消费218元，可转动转盘2次，
所获得的返券金额是两次金额之和．
（1）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；
（2）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X （元）．求随机变量X 的分布列和数学期望．
20．(本题12分) 已知函数32()f x x bx cx d =+++在(,0)-∞上为增函数，在[0,2]上为减函数，
(2)0f =。

(1)求c 的值； (2)求证:(1)2f ≥。

21. (本题12分)函数数列{()}n f x
满足1()(0)f x x =>,1()n f x +=1[()]n f f x 。

(1)求23(),()f x f x ；
(2)猜想()n f x 的解析式，并用数学归纳法证明。

22．(本题14分)已知a 为实数，函数23()()()2
f x x x a =++．
（I ）若函数()f x 的图象上有与x 轴平行的切线，求a 的取值范围； （II ）若(1)0f '-=，
（ⅰ） 求函数()f x 的单调区间；
（ⅱ） 证明对任意的12,(1,0)x x ∈-，不等式125
()()16
f x f x -<
恒成立。

三、解答题（本
大题共6小题，共74分）
17.解: (1)1232
4416C C C +=,所以共有不同选法的种数为16; …………2分
(2) 易知ξ可能取的值为2,1,0．324
3
6
.(),0,1,2.k k C C P k k C ξ-===…………………4分 所以， ξ的分布列为
………………………8分
ξ的数学期望
为：
131
0121555
E ξ=⨯+⨯+⨯= ； ………………………10分
(3) “所选3人中女同学人数1ξ≥”的概率为：
4
(1)(1)(2)5
P P P ξξξ≥==+== 。

………………………12分
18.解:（1）由题设，得 02111C C 2C 42
n n n +⨯=⨯⨯， ………………………3分
即2980n n -+=，解得n ＝8，n ＝1（舍去）．……………………4分
(2) ①818
12r
r
r
r T C x
-+⎛⎫
= ⎪⎝⎭
,令578534r r a -=⇒=∴=………………………6分 ②在等式的两边取1x =-,得012381
256
a a a a a -+-+
+=
………8分 ③设第r ＋1项的系数最大，则188
11881
11C C 2211C C .22r
r r r r r r r ++--⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥，≥…………………10分
即1
182(1)
11.291r r r ⎧⎪-+⎪⎨⎪⎪-⎩
≥，≥ 解得r ＝2或
r ＝3． 所以i a 系数最大值为7．………………12分
11111111115
(0);(30)2;(60)2;
224233263318
111111
(90)2;(120).
3696636
P X P X P X P X P X ==⨯===⨯⨯===⨯⨯+⨯===⨯⨯===⨯= 所以，随机变量
X 的分布列为：
10分
其数学期望11511
0306090120404318936EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．………12分
20.解:(1)2()32f x x bx c '=++.由题(0)0f '=知0c =………………………3分 (2)由题又有4(2)d b =-+故由 2()320f x x bx '=+
=两根为122
0,3
b
x x ==-.………………………6分 结合题设条件有223
b
-≥,即3b ≤-.………………………8分 又(1)73f b =--
2=
即得证. (12)
分 21．解:(1)211()[()]f x f f x
==
=
………………………2分
312()[()]f x f f x =
=
=
………………………4分
(2)猜想()n f x =
,下面用数学归纳法证明
这就是说当
1n k =+时猜想也成立. ………………………10分 由1°,2°可知,猜想对*n N ∈均成立. 故()n f x =
.………………………12分
22． 解：(Ⅰ) ∵3233()2
2
f x x ax x a =+++，∴23()322
f x x ax '=++．……………2分 ∵函数()f x 的图象上有与x 轴平行的切线，∴()0f x '=有实数解． ∴2344302
a D =-⨯⨯≥，…………………4分
∴292a ≥．因此，所求实数a 的取值范围是32
(,(
,)-∞+∞．……6分 (Ⅱ) (ⅰ)∵(1)0f '-=，∴33202
a -+=，即94
a =．
∴231()323()(1)2
2
f x x ax x x '=++=++．
由()0f x '>，得1x <-或12
x >-； 由()0f x '<，得112
x -<<-． 因此，函数()f x 的单调增区间为(,1]-∞-，1[,)2
-+∞； 单调减区间为1
[1,]2
--．………………………10分 (ⅱ)由(ⅰ)的结论可知，
()f x 在1[1,]2--上的最大值为25(1)8f -=，最小值为149
()216f -=
； ()f x 在1[,0]2-上的的最大值为27(0)8f =
，最小值为149
()216
f -=． ∴()f x 在[1,0]-上的的最大值为27(0)8f =
，最小值为149()216
f -=． 因此，任意的12,(1,0)x x ∈-，恒有1227495
()()81616
f x f x -<-=．………14分。