一类四阶Kirchhoff方程解的存在性

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2020年第 6 期下
TE SE YAN JIU／特色研究
引进图书馆、阅览室等地的图书资源，让这些图书资源走进教室，为学生读书提供更大的便利。

同时，可以通过竞赛、阅读分享等活动来使图书角的图书加快流通速度，学生读的多了自然就能够提高图书资源的更换频率，从而引进更多更丰富的图书资源。

三、真正地贯彻落实相关措施，提高农村图书管理的规范性
农村中小学图书资源优化供给是全民阅读的客观要求,有利于推动农村地区文化教育事业快速发展,促进社会公平。

新时代课程教育改革的创新，离不开图书资源的辅助作用。

图书是一种公共资源，是具有公共性质的教育资源。

不仅是学生，对于教师来说，其教育和科研工作都需要有丰富的图书资源的支撑力量。

因此，相关部门要加强对农村图书资源的投入力度，使相关场地提高现代化水平，引进具有现代化性质的硬件及软件设施，提高图书资源的数字化水平。

同时，要根据中小学生的学习需求，补充有益于其身心发展的课外知识，创新工作模式，不仅可以学生个人借阅图书，也可以以班级、小组等为单位集体借阅图书，为学生看书提供更多方便，提高图书资源的流通率，节约借阅图书手续的时间，在便利学生的同时提高学生阅读的实效性。

为了更好地使学生认识到图书资源的重要性并拓展学生的图书兴趣，学校可以开展一系列的图书活动，例如读书节等，让图书资源走进学生的学习。

也可以利用学校的广播、橱窗等实现图书资源的流通。

还可以采
取“诚信书屋”的形式，调动学生将个人所拥有的图书资源进行共享，这样的活动要求学生有高度的自觉性和较高的诚信素养，这样的“诚信书屋”一方面能够减轻农村图书资源的负担，另一方面能够教育学生，提高学生的思想道德水平。

在加强智力教育的同时，也实现德育水平的提高。

这样的活动需要教师的指引，设定补偿措施，一定要保证学生的图书资源不丢失，充分发挥“诚信书屋”的优势作用。

四、小结
中小学图书室,是广大师生获取知识信息,丰富个人知识储备的重要。

抓好基层中小学图书室的优化管理工作十分必要。

（通联：山东省邹城市大束镇付堂小学）
一类四阶Kirchhoff方程解的存在性
沈洪兵
本文考虑如下的四阶Kirchhoff 椭圆型方程：
2
241()()(,)(),,0,.
u a u dx u u f x u h x x u u x ελεΩ ∆−+∇∆=−++∈Ω
=∆=∈∂Ω
∫ (1)
方程中，)(2∆∆=∆为双调和算子，)4(>⊂ΩN R N 为有足够光滑边界且非空的有界区域，1λ表示算子∆−∆a 2的第一特征值，0>a 为实参数，
R R f →×Ω:是一个连续的函数。

一、预备知识定义符号如下：
1.1本文的N 在H 中是一个开集，且
},0;{1H u t u t u H u ∈>++=∈=Ν+
当ϕ,},0;{1H u t u t u H u ∈>+−=∈=Ν−
当ϕ.
1.2存在正常数α（这里1
1
λα=
）
22.u u α≤ (2)成立。

考虑泛函:I H R
→422
2
211()()((,)),.242
I u u u dx u dx F x u hu dx u H ελεΩΩ
Ω
−=
+∇−−+∀∈∫∫
∫ (3)
其中。

由于I 是Fréchet可微的，因此，方程
2
41()()((,))u v a u v dx u dx u vdx uvdx f x u v hv dx ελεΩ
Ω
Ω
Ω
Ω
∆∆+∇∇+∇∇∇−−−+∫
∫∫∫∫0=. (4)
对v H ∀∈成立时，称H u ∈为方程(1) 的弱解。

二、主要结论及证明
定理： 假设0>a 是实参，存在00>ε，使得00εε<<，f 满足了如下条件：
(A ) R R f →×Ω:是一个连续函数，存在一个12θ>，则当∞→u 时，
在Ω∈x 时一致成立。

(B ) 存在一个0>L ，对任意的Ω∈x ，L u ≥，有。

(C ) )()(2
Ω∈L x h 且。

则方程(1) 对0>∀ε时，至少存在三个解。

证明定理之前，先引入如下不等式和几个引理： , H H u −∈∀. (5)
, H u ∈∀. (6)
引理1 设0>a ，存在正的常数l ，0>∀ε时，I 在H 中是强制的，且
l I H
−≥inf 。

本文应用变分法中的极小极大定理，得到了一类四阶Kirchhoff 椭圆型方程 (1) 解的存在性，在一定条件下推广了四阶Kirchhoff 椭圆型方程解的存在性结果。

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证：由 {}2221inf ():1u H u a u dx u dx λΩ
Ω∈=∆+∇=∫∫，得到下面不等式, (7)
再由条件(A ) 和(B ) 有
321),(C u C u x F C +≤≤−κ, （这里12κθ=<）. (8)
对任意的Ω∈x ，R u ∈成立。

所以，由(7) 、(8)和H ölder不等式有
422
2
211()()((,))242
λεεΩΩ
Ω
−=
+∇−−+∫∫
∫I u u u dx u dx F x u hu dx
22
1
1(,)22
λε
Ω
Ω
Ω
−≥−−−∫
∫∫u u dx F x u dx hudx
22312u C u dx h u C κελΩ≥−−−Ω
∫2
431
2u C u h u C ελ≥
−−−Ω. (9) 因此，由(9) 知：I 是强制的。

同理，要证I 在H 中是下有界的，只需证I 在H 中是强制的既可。

由H ölder不等式知
4
222211()()((,))242
λεεΩΩΩ−=
+∇−−+∫∫∫I u u u dx u dx F x u hu dx 2211((,))22λ
Ω
Ω≥−−+∫∫u u dx F x u hu dx
2'
''
21232
2u C u C h u λλλ−≥−−Ω−2
'
''1234
u u u αααα≥−−−.
其中，21
212λλλα−=
，22
C =α
，h
=3α，Ω=34C α。

(10)
因此，由(10) 知：当0>ε充分小时， 存在0>l ，使得l I H
−≥inf 成立。

引理2 设0>a ，0>∀ε，I 满足条件。

则对任意l c −<，泛函I
也满足
Ν)和
Ν)。

证：可以让H u n ⊂}{是I 的序列，且满足
c u I n →)(, 0)(→n u I . (11)
当∞→n 时。

由(9) 和(10) 可得}{n u 在空间H 中定是有界，换言之存在}{n u 的子序列，为方便起见，记为}{n u ，且存在∈u H ，可使{
}u 在
空间H 中弱收敛于u ，在空间()
(22)∗Ω≤<P
L p 中强收敛于
u ，在区域
Ω上定是几乎处处强收敛于
u 。

由(8) 式有
1)1(),(−+≤κu C u x f . (12) 对任意的Ω∈x ，R u ∈
， (12) 都成立。

再由(11) 有
2
()()()()Ω
Ω
Ω
Ω
=∆∆−−∆∆−++∇∇∇−∫∫∫∫n n n n n n u u u dx u u u dx a b u dx u u u dx
2
2
2(())()()()Ω
Ω
Ω
Ω
=∆−+∇−∇−+∇
∇−∫∫∫∫n n n n n u u dx a u u u u dx b u dx u u dx
2
u u n −=
0≥. (13)
根据}{n u 在H 中是有界的知当∞→n 时
. (14)
再由(13) 及)()(:),(Ω→Ωp p n
L L u x f 是连续的有
. (15)
当∞→n 时。

因此，当∞→n 时，有
0lim 2
=−∞
→u u n n , 即0→−u u n . (16)
{}u 强收敛于u 。

即I 满足条件。

这里只证了对l c −<∀，I 满足
了)。

而)的证明同理也可得。

设+⊂N u n }{满足
l c u I n −<→)(, 0)(→n u I . (17) 则由{}u 强收敛于u ，且+∈N u （假设H N u =∂∈+，由
(9) 和(10) 有l c u I −≥=)(， 与l c −<矛盾）。

引理3 当0>a ，存在+−<<t t 0和00>ε，使得00εε<<，有l t I −<±)(1ϕ。

证：由条件(B ), 对于给定的L M >及充分小的0>ε，在],[M L ×Ω上有 ),(u x f u <ε. (18)
同理：对任意的Ω∈x ，标准化1ϕ使得101≤≤ϕ。

且当M L x >)(
1ϕ时，也有 )(,()(11x M x f x
M ϕϕε<. (19)
定义})(;{)
(1M L x x M
A
>Ω∈=ϕ 和 )()(M A M B −Ω=，有
(20)
因为在)(M B 上的积分是有界的，再由(A ) 和 Fatou引理有
. (21)
当
时。

如果L M −<，则当
时，。

因此，0>∀ε，有 l t I −<±)(1ϕ. (22)
定理的证明：对0>∀ε，由 (9) 、(10)和(22)有
m I N
−<<∞
−±
inf , (23)
又由 (16) 和 (17) 知：两个下界分别在++∈N u 和−−∈N u 处达到。

因为±N 是H 中的开集，因此，I 有两个不同临界点。

下面定义
)
((max inf ]
1,0[t I t γβ
γ∈Γ∈=, (24)
其中{}+−==∈=Γu u H C )1(,)0();
];1,0([γγγ，且β是I
的一个临界值。

由 (16)
和 (17) 有：0>∀ε，I 满足上述的
条件，由 (9) 和 (10) 知：Γ
∈∀γ，且φ
γ≠]
)1,0([H ，
l
I H −≥≥inf β，又由l
u
I −<±
)(，所以，
I
有一个临界
点。

作者简介：
沈洪兵（1982—），男，苗族，贵州思南人，硕士，讲师，主要研究方向：非线性分析。

（通联：贵州财经大学商务学院）。