工程流体力学 第二版 习题与解答
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提示：方程组 dx / dt= x + t ， dy / dt= y + t 的解为： x= c1et − t −1， y= c2et − t −1。
解：
(1) 由 vx = x + t, v y = y + t 得迹线微分方程为：：
dx = x + t， dy = y + t
dt
dt
一阶线性微分方程 y′ + p(t) y = q(t) 的通解形式为
1—3
解：固定圆盘表面液体速度为零，转动圆盘表面半径 r 处液体周向线速度速度 vθs = rω ；
设液膜速度沿厚度方向线性分布，则切应力分布为
=τ µ= ∂vθ µ vθ= s − 0 µrω
∂δ
δ
δ
所需力矩 M 为：
∫ ∫ = M
R 2π
τ r(= rdrdθ )
00
π= µω D4 32d
Aτ r=R / 2 R
=1−
p1 p2
1/ k
等温过程 k=1，所以
∆V = 1 − p1 / p2 = 1 −1/ 6 =83.33%
绝热过程 k=1.4，所以 ∆V = 1 − ( p1 / p2 )1/1.4 = 1 − (1/ 6)1/1.4 =72.19%
压缩终温为 78℃时，利用理想气体状态方程可得
解：（1）根据牛顿剪切定律有
τ
=
m du =m −4 dr
um
r R2
由上式可知，壁面切应力为τ 0 = −4mum / R ，负号表示τ 0 方向与 z 相反；
（2）由流体水平方向力平衡有： p R2Dp + τ 0p DL=0 ，将τ 0 表达式代入得
∆p =8mRu2m L
1-6 图 1-15 所示为两平行圆盘，直径为 D，间隙中液膜厚度为δ ，液体动力粘性系数 为 µ ，若下盘固定，上盘以角速度ω 旋转，求所需力矩 M 的表达式。
所以
ρg y=σ( 1 + 1 )
R1 R2
根据本题附图可知，如果取弯曲面曲线（x-y 平面内）曲率半径：1/ R1 = dy2/ dx2 ，则
与其正交的曲率半径 R2 → ∞ （因为自由液面⊥x-y 平面），于是有
σ
dy 2 dx2
−
ρg
y
=0
→
ρg x
− ρgx
y = C1e σ + C2e σ
∫ =y e−∫ pdt ( qe∫ pdtdt + c)
此处迹线微分方程中 p = -1，q = t；代入后得：
∫ y = et ( te−tdt + c) = et [−e−t (t +1) + c] = cet − t −1
即
x= c1et − t −1， y= c2et − t −1
∆V
=1−
V2 V1
=1−
p1T2 p2T1
=1− 1× 78 =80.03% 6 × 20
1-2 图 1-12 所示为压力表校验器，器内充满体积压缩系数= β p 4.75 ×10−10 m2/N 的油，
用手轮旋进活塞达到设定压力。已知活塞直径 D=10mm，活塞杆螺距 t=2mm，在 1 标准大 气压时的充油体积为 V0=200cm3。设活塞周边密封良好，问手轮转动多少转，才能达到 200 标准大气压的油压（1 标准大气压=101330Pa）。
普通高等教育“十一五”国家级规划教材 “过程装备与控制工程”专业核心课程教材
工程流体力学
（第二版）
习题与解答
黄卫星编
四川大学化工学院过程装备与安全工程系 2008 年 10 月 30 日
1—1
第 1 章 流体的力学性质
1-1 用压缩机压缩初始温度为 20℃的空气，绝对压力从 1 个标准大气压升高到 6 个标
其中 pi 是 x 处自由表面内的压力， R1 、 R2 是 x 处自由表面两个正交法截线的半径。
因为 x 轴为水平液面，所以根据静力学原理，x 轴对应的水平面上压力为 p0 ；设任意 x
处弯曲液面与水平液面的距离为 y，根据静力学关系有
p0= pi + ρ g y 即 ∆p = p0 − pi= ρ g y
1/ r = d2 y/dx2 ，接触角θ 和表面张力系数σ 已知。试确定平壁附近水面的形状和最大高度 h。
1—5
y
h θ
o
x
图 1-19 习题 1-11 附图
σ
hp θ
y x
p0
G
σ p0
水平液面以上流体受力分析
解：根据弯曲表面张力压差公式，任意 x 处自由表面内外压力差为
∆p=
p0− pi=
σ( 1 + 1 ) R1 R2
y
图 1-15 习题 1-6 附图
b
b′
t= 0 dy α
t= dt α−dα
a
a′
u (y)
x o
图 1-16 习题 1-7 附图
1-7 如图 1-16 所示，流体沿 x 轴方向作层状流动，在 y 轴方向有速度梯度。在 t=0 时， 任取高度为 dy 的矩形流体面考察，该矩形流体面底边坐标为 y，对应的流体速度为 u( y) ；
解：根据体积压缩系数定义积分可得：
βp
=
−1 V
dV dp
→ V = V0 exp[−β p ( p − p0 )]
因为 所以
p D2 nt
4
=
V0
−V
=
V0 1 − exp−βp ( p− p0 )
=n
p
4 D2t
V0
1
−
e−β
p
(
p2
−
p1
)
=
12.14
rpm
0.05mm 1kN
aa′= udt ， bb=′ (u+ du dy)dt dy
所以
da ≈ taa n d = bb′− aa′= du dt 即 dα = du
dy dy
dt dy
R
δ1
L
n
δ2
1—4
1-8 图 1-17 所示为旋转粘度测定仪。该测定仪由内外 两圆筒组成，外筒以转速 n（r/min）旋转，通过内外筒之间
准大气压。试计算等温压缩、绝热压缩、以及压缩终温为 78℃这三种情况下，空气的体积
减小率 ∆V = (V1 − V2 ) /V1 各为多少？
解：根据气体压缩过程方程： pV k = const ，有 (V2 /V1) = ( p1 / p2 )1/ k ，所以
∆V
=
(V1 −V2 ) V1
=1 −
V2 V1
解：根据牛顿剪切定律有
=τ µ= dvθ µ ωd /= 2 − 0 µωd ，= M A= τ R π dL µωd=d πµd 3Lω
dr
dd2
2d 2 d4
由此得轴功率为：
=N
M=ω
πµ
d 3L= ω2 πµd 3L 4dd4
nπ 30
2
=273.47W
1-5 如图 1-14 所示，已知圆形管道中流体
1—2
解：设油膜内速度呈线性分布，平衡时油膜内的速度梯度可计算为
= du dy
0= .0u5T ×−100−3
20000uT
1/s
由牛顿剪切定理可得滑块表面处流体受到的切应力τ 为
τ
=µ du dy
=7 ×10-2
×
20000uT
=1400 uT
Pa
滑块受到的切应力与τ 的大小相等方向相反，且滑块受到的摩擦力与滑块重力沿斜面分
由边界条件： x → ∞ ： y = 0 ，x=0：y=h，可得 C1 = 0 ， C2 = h ，所以
( ) =y hexp − ρ g /σ x
其中的 h 可根据边界条件： x = 0 ， y′ = −1/ tanθ ，表示为
h = (1/ tanθ ) ρ g /σ
或，取 z 方向为单位厚度，由 y 方向力平衡可得
µ
=
π
2δ1δ 2 M R3 (4Lδ2 +
Rδ1 )
30 nπ
1-9 空气中水滴直径为 0.3mm 时，其内部压力比外部大多少？
解：查附录表 C-1，水在常温空气中的表面张力系数σ =0.073N/m，所以
∆p=
σ
1 R1
+
1 R2
=
2σ= R
2 × 0.073 0.15 ×10−3=
面方向为单位厚度，写出液膜竖直方向力平衡方程 有
1mm h
θ
图 1-18 习题 1-10 附图
p0δ + 2s cos(p −θ ) = ( p0 + ρ gh)δ
由此得两平壁间的液膜爬升高度为
h = 2s cosθ = - 5.9 ×10−3 m= -5.9mm δρ g
1-11 如图 1-19 所示，一平壁浸入体积很大的水中。由于存在表面张力，在靠近壁面的 地方水的表面成为弯曲面，弯曲液面垂直于 x-y 平面。假定弯曲面曲率半径 r 可以表示成
层流流动时的速度分布为：
=u
2um
1
−
r2 R2
r z
uR
其中 um 为管内流体的平均速度。（1）设流体粘
度为 µ ，求管中流体的剪切应力τ 的分布公式；
（2）如长度为 L 的水平管道两端的压力降为 ∆p （进口压力-出口压力），求压力降 ∆p 的表 达式。
图 1-14 习题 1-5 附图
2π RL µRω=R δ1
µ
2π R3Lπ n δ1 30
筒体端部表面摩擦扭矩（相当于圆盘摩擦）为
∫ ∫ ∫ ∫ = M2
R 2π
τ= r(rdrdθ )
00
R
2= π τ r2dr
0
2π R µ= rω r2dr π µω R4 0 d 2 d2 2
由总扭矩 M= M1 + M 2 解出油液动力粘性系数为
图 1-17 习题 1-8 附图
的油液，将力矩传递至内筒；内筒上下两端用平板封闭，上端固定悬挂于一金属丝下，通过
测定金属丝扭转角度确定金属丝所受扭矩为 M。若内外筒之间的间隙为 δ1 ，底面间隙为 δ2 ，
筒高为 L，求油液动力粘性系数的计算式。
解：半径 R 的筒体表面磨擦扭矩为
= M1
A= τ R
20°
图 1-12 习题 1-2 附图
图 1-13 习题 1-3 附图
1-3 如图 1-13 所示，一个底边为 200mm × 200mm 、重量为 1kN 的滑块在 20°斜面的 油膜上滑动，油膜厚度 0.05mm，油的粘度µ= 7 ×10−2 Pa·s。设油膜内速度为线性分布，试求 滑块的平衡速度 uT 。
经过 dt 时间段后，矩形流体面变成如图所示的平行四边形，原来的α 角变为α− dα ，其剪 切变形速率定义为 dα/dt （单位时间内因剪切变形产生的角度变化）。试推导表明：流体的
剪切变形速率就等于流体的速度梯度，即
dα = du dt dy
பைடு நூலகம்
解：因为 a 点速度为 u，所以 b 点速度为 u+ du dy ；由此得 a - a′ 、 b - b′ 的距离为： dy
0
1—6
1-12 如图 1-20 所示，一圆形管内装有理想塑性流体，其剪切应力与变形速率的关系由
式（1-18）所描述。已知该流体屈服应力为τ 0 ，现从管的左端加压力 p，问该压力至少为多
大才能将该塑性流体挤出管外？已知管子直径为 D，塑性流体充满长度为 l 的管段，管外为 大气。
解：由压力 p 与壁面切应力τW 的平衡
量平衡，所以
Aτ = mg sinθ → 0.2 × 0.2 ×1400uT = 1000sin 20 → uT ≈ 6.11m/s
1-4 有一直径 d=150mm 的轴在轴承中转动，转速 n=400 r/min，轴承宽度 L = 300mm ， 轴与轴承间隙 δ = 0.25mm ，其间充满润滑油膜，油的粘= 度为 µ 0.049 Pa ⋅ s 。假定润滑油 膜内速度为线性分布，试求转动轴的功率 N（注：N=转轴表面积 A×表面切应力τ ×表面线速 度 vθ ）。
关系可得
p
p p D2 4
= τWp Dl
要实现流动，壁面切应力必须大于屈服应
力，即τW >τ 0 , 所以
p D2 p / 4 > τ 0p Dl 即
D l
图 1-20 习题 1-12 附图
p > 4lτ0 /D
第 2 章 流体流动的基本概念
2-1 已知直角坐标系中的速度场 v = vxi + vy j = (x + t)i + ( y + t)j 。（1）试求 t=0 时通过 点 x=a、y=b 的迹线方程和流线方程；（2）试求以拉格朗日变量表示的流体速度与加速度。
∞
s cosθ = G → s cosθ = ∫ ρ g ydx → h = cosθ ρ g /s 0
或，取 z 方向为单位厚度，由 x 方向力平衡可得
h
h
s sinθ + hp0 = ∫ pdy + s→s sinθ + hp0 = ∫ ( p0 − ρ g y)dy + s
0
0
h
即
s sinθ = -∫ ρ g ydy + s → h =2(1-sinθ ) ρ g /s
973Pa
1-10 图 1-18 所示为插入水银中的两平行玻璃 板，板间距 δ =1mm，水银在空气中的表面张力σ
=0.514N/m，与玻璃的接触角θ =140°，水银密度 ρ =13600kg/m3。试求玻璃板内外水银液面的高度
差 h。
解：对于两平板间的液膜，如图所示，液面下
侧压力 p0 + ρ gh ，液面上侧压力为 p0 ，取垂直书
解：
(1) 由 vx = x + t, v y = y + t 得迹线微分方程为：：
dx = x + t， dy = y + t
dt
dt
一阶线性微分方程 y′ + p(t) y = q(t) 的通解形式为
1—3
解：固定圆盘表面液体速度为零，转动圆盘表面半径 r 处液体周向线速度速度 vθs = rω ；
设液膜速度沿厚度方向线性分布，则切应力分布为
=τ µ= ∂vθ µ vθ= s − 0 µrω
∂δ
δ
δ
所需力矩 M 为：
∫ ∫ = M
R 2π
τ r(= rdrdθ )
00
π= µω D4 32d
Aτ r=R / 2 R
=1−
p1 p2
1/ k
等温过程 k=1，所以
∆V = 1 − p1 / p2 = 1 −1/ 6 =83.33%
绝热过程 k=1.4，所以 ∆V = 1 − ( p1 / p2 )1/1.4 = 1 − (1/ 6)1/1.4 =72.19%
压缩终温为 78℃时，利用理想气体状态方程可得
解：（1）根据牛顿剪切定律有
τ
=
m du =m −4 dr
um
r R2
由上式可知，壁面切应力为τ 0 = −4mum / R ，负号表示τ 0 方向与 z 相反；
（2）由流体水平方向力平衡有： p R2Dp + τ 0p DL=0 ，将τ 0 表达式代入得
∆p =8mRu2m L
1-6 图 1-15 所示为两平行圆盘，直径为 D，间隙中液膜厚度为δ ，液体动力粘性系数 为 µ ，若下盘固定，上盘以角速度ω 旋转，求所需力矩 M 的表达式。
所以
ρg y=σ( 1 + 1 )
R1 R2
根据本题附图可知，如果取弯曲面曲线（x-y 平面内）曲率半径：1/ R1 = dy2/ dx2 ，则
与其正交的曲率半径 R2 → ∞ （因为自由液面⊥x-y 平面），于是有
σ
dy 2 dx2
−
ρg
y
=0
→
ρg x
− ρgx
y = C1e σ + C2e σ
∫ =y e−∫ pdt ( qe∫ pdtdt + c)
此处迹线微分方程中 p = -1，q = t；代入后得：
∫ y = et ( te−tdt + c) = et [−e−t (t +1) + c] = cet − t −1
即
x= c1et − t −1， y= c2et − t −1
∆V
=1−
V2 V1
=1−
p1T2 p2T1
=1− 1× 78 =80.03% 6 × 20
1-2 图 1-12 所示为压力表校验器，器内充满体积压缩系数= β p 4.75 ×10−10 m2/N 的油，
用手轮旋进活塞达到设定压力。已知活塞直径 D=10mm，活塞杆螺距 t=2mm，在 1 标准大 气压时的充油体积为 V0=200cm3。设活塞周边密封良好，问手轮转动多少转，才能达到 200 标准大气压的油压（1 标准大气压=101330Pa）。
普通高等教育“十一五”国家级规划教材 “过程装备与控制工程”专业核心课程教材
工程流体力学
（第二版）
习题与解答
黄卫星编
四川大学化工学院过程装备与安全工程系 2008 年 10 月 30 日
1—1
第 1 章 流体的力学性质
1-1 用压缩机压缩初始温度为 20℃的空气，绝对压力从 1 个标准大气压升高到 6 个标
其中 pi 是 x 处自由表面内的压力， R1 、 R2 是 x 处自由表面两个正交法截线的半径。
因为 x 轴为水平液面，所以根据静力学原理，x 轴对应的水平面上压力为 p0 ；设任意 x
处弯曲液面与水平液面的距离为 y，根据静力学关系有
p0= pi + ρ g y 即 ∆p = p0 − pi= ρ g y
1/ r = d2 y/dx2 ，接触角θ 和表面张力系数σ 已知。试确定平壁附近水面的形状和最大高度 h。
1—5
y
h θ
o
x
图 1-19 习题 1-11 附图
σ
hp θ
y x
p0
G
σ p0
水平液面以上流体受力分析
解：根据弯曲表面张力压差公式，任意 x 处自由表面内外压力差为
∆p=
p0− pi=
σ( 1 + 1 ) R1 R2
y
图 1-15 习题 1-6 附图
b
b′
t= 0 dy α
t= dt α−dα
a
a′
u (y)
x o
图 1-16 习题 1-7 附图
1-7 如图 1-16 所示，流体沿 x 轴方向作层状流动，在 y 轴方向有速度梯度。在 t=0 时， 任取高度为 dy 的矩形流体面考察，该矩形流体面底边坐标为 y，对应的流体速度为 u( y) ；
解：根据体积压缩系数定义积分可得：
βp
=
−1 V
dV dp
→ V = V0 exp[−β p ( p − p0 )]
因为 所以
p D2 nt
4
=
V0
−V
=
V0 1 − exp−βp ( p− p0 )
=n
p
4 D2t
V0
1
−
e−β
p
(
p2
−
p1
)
=
12.14
rpm
0.05mm 1kN
aa′= udt ， bb=′ (u+ du dy)dt dy
所以
da ≈ taa n d = bb′− aa′= du dt 即 dα = du
dy dy
dt dy
R
δ1
L
n
δ2
1—4
1-8 图 1-17 所示为旋转粘度测定仪。该测定仪由内外 两圆筒组成，外筒以转速 n（r/min）旋转，通过内外筒之间
准大气压。试计算等温压缩、绝热压缩、以及压缩终温为 78℃这三种情况下，空气的体积
减小率 ∆V = (V1 − V2 ) /V1 各为多少？
解：根据气体压缩过程方程： pV k = const ，有 (V2 /V1) = ( p1 / p2 )1/ k ，所以
∆V
=
(V1 −V2 ) V1
=1 −
V2 V1
解：根据牛顿剪切定律有
=τ µ= dvθ µ ωd /= 2 − 0 µωd ，= M A= τ R π dL µωd=d πµd 3Lω
dr
dd2
2d 2 d4
由此得轴功率为：
=N
M=ω
πµ
d 3L= ω2 πµd 3L 4dd4
nπ 30
2
=273.47W
1-5 如图 1-14 所示，已知圆形管道中流体
1—2
解：设油膜内速度呈线性分布，平衡时油膜内的速度梯度可计算为
= du dy
0= .0u5T ×−100−3
20000uT
1/s
由牛顿剪切定理可得滑块表面处流体受到的切应力τ 为
τ
=µ du dy
=7 ×10-2
×
20000uT
=1400 uT
Pa
滑块受到的切应力与τ 的大小相等方向相反，且滑块受到的摩擦力与滑块重力沿斜面分
由边界条件： x → ∞ ： y = 0 ，x=0：y=h，可得 C1 = 0 ， C2 = h ，所以
( ) =y hexp − ρ g /σ x
其中的 h 可根据边界条件： x = 0 ， y′ = −1/ tanθ ，表示为
h = (1/ tanθ ) ρ g /σ
或，取 z 方向为单位厚度，由 y 方向力平衡可得
µ
=
π
2δ1δ 2 M R3 (4Lδ2 +
Rδ1 )
30 nπ
1-9 空气中水滴直径为 0.3mm 时，其内部压力比外部大多少？
解：查附录表 C-1，水在常温空气中的表面张力系数σ =0.073N/m，所以
∆p=
σ
1 R1
+
1 R2
=
2σ= R
2 × 0.073 0.15 ×10−3=
面方向为单位厚度，写出液膜竖直方向力平衡方程 有
1mm h
θ
图 1-18 习题 1-10 附图
p0δ + 2s cos(p −θ ) = ( p0 + ρ gh)δ
由此得两平壁间的液膜爬升高度为
h = 2s cosθ = - 5.9 ×10−3 m= -5.9mm δρ g
1-11 如图 1-19 所示，一平壁浸入体积很大的水中。由于存在表面张力，在靠近壁面的 地方水的表面成为弯曲面，弯曲液面垂直于 x-y 平面。假定弯曲面曲率半径 r 可以表示成
层流流动时的速度分布为：
=u
2um
1
−
r2 R2
r z
uR
其中 um 为管内流体的平均速度。（1）设流体粘
度为 µ ，求管中流体的剪切应力τ 的分布公式；
（2）如长度为 L 的水平管道两端的压力降为 ∆p （进口压力-出口压力），求压力降 ∆p 的表 达式。
图 1-14 习题 1-5 附图
2π RL µRω=R δ1
µ
2π R3Lπ n δ1 30
筒体端部表面摩擦扭矩（相当于圆盘摩擦）为
∫ ∫ ∫ ∫ = M2
R 2π
τ= r(rdrdθ )
00
R
2= π τ r2dr
0
2π R µ= rω r2dr π µω R4 0 d 2 d2 2
由总扭矩 M= M1 + M 2 解出油液动力粘性系数为
图 1-17 习题 1-8 附图
的油液，将力矩传递至内筒；内筒上下两端用平板封闭，上端固定悬挂于一金属丝下，通过
测定金属丝扭转角度确定金属丝所受扭矩为 M。若内外筒之间的间隙为 δ1 ，底面间隙为 δ2 ，
筒高为 L，求油液动力粘性系数的计算式。
解：半径 R 的筒体表面磨擦扭矩为
= M1
A= τ R
20°
图 1-12 习题 1-2 附图
图 1-13 习题 1-3 附图
1-3 如图 1-13 所示，一个底边为 200mm × 200mm 、重量为 1kN 的滑块在 20°斜面的 油膜上滑动，油膜厚度 0.05mm，油的粘度µ= 7 ×10−2 Pa·s。设油膜内速度为线性分布，试求 滑块的平衡速度 uT 。
经过 dt 时间段后，矩形流体面变成如图所示的平行四边形，原来的α 角变为α− dα ，其剪 切变形速率定义为 dα/dt （单位时间内因剪切变形产生的角度变化）。试推导表明：流体的
剪切变形速率就等于流体的速度梯度，即
dα = du dt dy
பைடு நூலகம்
解：因为 a 点速度为 u，所以 b 点速度为 u+ du dy ；由此得 a - a′ 、 b - b′ 的距离为： dy
0
1—6
1-12 如图 1-20 所示，一圆形管内装有理想塑性流体，其剪切应力与变形速率的关系由
式（1-18）所描述。已知该流体屈服应力为τ 0 ，现从管的左端加压力 p，问该压力至少为多
大才能将该塑性流体挤出管外？已知管子直径为 D，塑性流体充满长度为 l 的管段，管外为 大气。
解：由压力 p 与壁面切应力τW 的平衡
量平衡，所以
Aτ = mg sinθ → 0.2 × 0.2 ×1400uT = 1000sin 20 → uT ≈ 6.11m/s
1-4 有一直径 d=150mm 的轴在轴承中转动，转速 n=400 r/min，轴承宽度 L = 300mm ， 轴与轴承间隙 δ = 0.25mm ，其间充满润滑油膜，油的粘= 度为 µ 0.049 Pa ⋅ s 。假定润滑油 膜内速度为线性分布，试求转动轴的功率 N（注：N=转轴表面积 A×表面切应力τ ×表面线速 度 vθ ）。
关系可得
p
p p D2 4
= τWp Dl
要实现流动，壁面切应力必须大于屈服应
力，即τW >τ 0 , 所以
p D2 p / 4 > τ 0p Dl 即
D l
图 1-20 习题 1-12 附图
p > 4lτ0 /D
第 2 章 流体流动的基本概念
2-1 已知直角坐标系中的速度场 v = vxi + vy j = (x + t)i + ( y + t)j 。（1）试求 t=0 时通过 点 x=a、y=b 的迹线方程和流线方程；（2）试求以拉格朗日变量表示的流体速度与加速度。
∞
s cosθ = G → s cosθ = ∫ ρ g ydx → h = cosθ ρ g /s 0
或，取 z 方向为单位厚度，由 x 方向力平衡可得
h
h
s sinθ + hp0 = ∫ pdy + s→s sinθ + hp0 = ∫ ( p0 − ρ g y)dy + s
0
0
h
即
s sinθ = -∫ ρ g ydy + s → h =2(1-sinθ ) ρ g /s
973Pa
1-10 图 1-18 所示为插入水银中的两平行玻璃 板，板间距 δ =1mm，水银在空气中的表面张力σ
=0.514N/m，与玻璃的接触角θ =140°，水银密度 ρ =13600kg/m3。试求玻璃板内外水银液面的高度
差 h。
解：对于两平板间的液膜，如图所示，液面下
侧压力 p0 + ρ gh ，液面上侧压力为 p0 ，取垂直书