最新沪科版八年级数学上册精品教案14.2 第5课时 两个直角三角形全等的判定

14.2三角形全等的判定
第5课时两个直角三角形全等的判定
教学目标
【知识与能力】
学会判定直角三角形全等的特殊方法，发展合情推理能力。

【过程与方法】
经历探索直角三角形全等条件的过程，学会运用“HL”解决实际问题。

【情感态度价值观】
感受数学思想，激发学生的求知欲，使学生体会到逻辑推理的应用价值。

教学重难点
【教学重点】
掌握判定直角三角形全等的特殊方法。

【教学难点】
应用“HL”解决直角三角形全等的问题。

课前准备
课件、教具等。

教学过程
一、情境导入
路旁一棵被大风刮歪的小白杨，为了扶正它，需两边各固定一条长短一样的拉线或支柱．现工人师傅把一根已固定好(右侧一根AC)，之后小聪很快找到了另一根(左侧一根)在地面上的位置：只要BD＝CD，B点即是．
小聪找到的位置是对的吗？
二、合作探究
探究点一：利用“HL”判定直角三角形全等
例1 如图，已知CD⊥AB于D，现有四个条件：①AD＝ED；②∠A＝∠BED；③∠C＝∠B；④AC ＝EB，那么不能得出△ADC≌△EDB的条件是( )
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
解析：推出∠ADC＝∠BDE＝90°，根据“AAS”推出两三角形全等，即可判断A、B；根据“HL”即可判断C；根据“AAA”不能判断两三角形全等．
选项A 中，∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDE ＝90°.在△ADC 和△EDB 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠C ＝∠B ，∠ADC ＝∠EDB AD ＝DE ，，
∴△ADC ≌△EDB (AAS )；
选项B 中，∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDE ＝90°.在△ADC 和△EDB 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠A ＝∠BED ，∠ADC ＝∠BDE AC ＝BE ，，
∴△ADC ≌△EDB (AAS )；
选项C 中，∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDE ＝90°.在Rt △ADC 和Rt △EDB 中，⎩
⎪⎨⎪⎧AC ＝BE ，
AD ＝ED ，
∴Rt △ADC ≌Rt △EDB (HL )；
选项D 中，根据三个角对应相等，不能判断两三角形全等；故选D.
方法总结：本题考查了全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有“SAS ”，“ASA ”，“AAS ”，“SSS ”，在直角三角形中，还有“HL ”定理，如果具备条件“SSA ”和“AAA ”都不能判断两三角形全等．
例2 下列说法中，正确的个数是( )
①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等； ②有两边和它们的对应夹角相等的两个直角三角形全等； ③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等； ④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解析：根据HL 可得①正确；由“AAS ”或“ASA ”可得②、③正确；三个角相等的两个直角三角形不一定全等，故④错误．故选C.
方法总结：本题考查了直角三角形全等的判定，除了HL 外，还有一般三角形全等的四个判定定理，要找准对应关系．
探究点二：直角三角形全等的判定(“HL ”)与性质的综合运用
例3 如图，四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，E 是AB 上一点，AD ＝2，BC ＝4，且AE ＝BC ，DE ＝CE .
(1)Rt △ADE 与Rt △BEC 全等吗？请说明理由； (2)求AB 的长度；
(3)△CDE 是不是等腰直角三角形？请说明理由．
解析：(1)根据证明直角三角形全等的“HL ”定理证明即可；
(2)由(1)可得，AD ＝BE ，AE ＝BC ，所以，AB ＝AE ＋BE ＝BC ＋AD ；
(3)根据题意，∠AED ＋∠ADE ＝90°，∠BEC ＋∠BCE ＝90°，又∠AED ＝∠BCE ，∠ADE ＝∠BEC ，所以，∠AED ＋∠BEC ＝90°，即可证得∠DEC ＝90°，即可得出．
解：(1)Rt △ADE ≌Rt △BEC ，理由如下：∵在Rt △ADE 和Rt △BEC 中，⎩
⎪⎨⎪⎧DE ＝CE ，
AE ＝BC ，
∴Rt △ADE ≌Rt △BEC (HL )；
(2)∵Rt △ADE ≌Rt △BEC ，∴AD ＝BE ，
又∵AE ＝BC ，∴AB ＝AE ＋BE ＝BC ＋AD ，即AB ＝AD ＋BC ＝2＋4＝6； (3)△CDE 是等腰直角三角形，理由如下：∵Rt △ADE ≌Rt △BEC ， ∴∠AED ＝∠BCE ，∠ADE ＝∠BEC .
又∵∠AED ＋∠ADE ＝90°，∠BEC ＋∠BCE ＝90°，
∴2(∠AED ＋∠BEC )＝180°，∴∠AED ＋∠BEC ＝90°，∴∠DEC ＝90°. 又∵DE ＝CE ，∴△CDE 是等腰直角三角形． 方法总结：本题主要考查了全等三角形的判定与性质和直角三角形的判定，证明三角形全等时，关键是根据题意选取适当的条件．
例4 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝10cm ，BC ＝5cm ，一条线段PQ ＝AB ，P 、Q 两点分别在AC 上和过A 点且垂直于AC 的射线AQ 上运动，问P 点运动到AC 上什么位置时△ABC 才能和△APQ 全等？
解析：本题要分情况讨论：(1)Rt △APQ ≌Rt △CBA ，此时AP ＝BC ＝5cm ，可据此求出P 点的位置．(2)Rt △QAP ≌Rt △BCA ，此时AP ＝AC ，P 、C 重合．
解：根据三角形全等的判定方法“HL ”可知：(1)当P 运动到AP ＝BC 时，∠C ＝∠QAP ＝90°.在
Rt △ABC 与Rt △QPA 中，∵⎩
⎪⎨⎪⎧AP ＝BC ，
PQ ＝AB ，∴Rt △ABC ≌Rt △QPA (HL )，即AP ＝BC ＝5cm ；(2)当P 运动到与
C 点重合时，AP ＝AC .在Rt △ABC 与Rt △PQA 中，∵⎩
⎪⎨⎪⎧AP ＝AC ，
PQ ＝AB ，∴Rt △QAP ≌Rt △BCA (HL )，即
AP ＝AC
＝10cm ，∴当AP ＝5cm 或10cm 时，△ABC 才能和△APQ 全等．
方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．
三、板书设计
两个直角
三角形全等的判定⎩⎪⎨⎪⎧直角三角形全等的“HL ”判定：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
直角三角形全等的判定方法：“SAS ”，
“ASA ”，“SSS ”，“AAS ”，“HL ”.
教学反思
由于直角三角形是特殊的三角形，要求理解已经学过的判定全等三角形的四种方法均可以用来判定两个直角三角形全等，同时通过探索得出“有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”这一重要而又特殊的判定方法，并能熟练地利用这些方法判定两个直角三角形全等．在教学过程中，让学生充分体验到实验、观察、比较、猜想、归纳、验证的数学方法，逐步培养他们的逻辑推理能力．通过课堂教学，让学生充分认识特殊与一般的关系，加深对判定的多层次的理解。