吉林省吉林市实验中学2019届高三数学下学期第八次月考试题文(含解析)

吉林省实验中学2019届高三下学期第八次月考
数学（文）试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.若集合，，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
解：因为集合，则，选C
2.在复平面内与复数所对应的点关于实轴对称的点为A，则A对应的复数为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
用两个复数代数形式的乘除法法则，化简复数得到复数的共轭复数，从而得到复数在复平面内的对应点的坐标，得到选项．
【详解】复数，
复数的共轭复数是，就是复数所对应的点关于实轴对称的点为A对应的复数；故选：B．
【点睛】本题考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，考查复数与复平面内对应点之间的关系，是一个基础题．
3.命题“，”的否定是
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】
根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论.
【详解】依据题意，先改变量词，然后否定结论，可得原命题的否定是:“”，故选C.
【点睛】本题主要考查特称命题的否定，其方法是先改变量词，然后否定结论；全称性命题的否定的方法也是如此.
4.设，则“”是“”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
试题分析：“”是“”的充分不必要条件,故选A．考点：充要条件．
5.在中，，，，则的值为
A. 1
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
运用数量积公式则求解即可．
【详解】，，，
则
故选：A．
【点睛】本题考查了向量的数量积的运算，属于简单计算题，关键记住公式即可．
6.已知数列，点在函数的图象上，则的值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可得，由诱导公式及特殊角的三角函数值即可得解．
【详解】由题意可得：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值的应用，属于基本知识的考查．7.已知点在幂函数的图象上，设，则a，b，c的大
小关系为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由幂函数的定义可得n＝3，f（x）＝x3，且f（x）在R上递增，结合对数函数和幂函数的性质，即可得a，b，c的大小关系．
【详解】点（2，8）在幂函数的图象上，
可得2n＝8，n＝3，则f（x）＝x3，且f（x）在R上递增，
0＜＜＜1，lnπ＞1，
得即a＜c＜b，
故选：A．
【点睛】本题考查利用幂函数的单调性比较函数值的大小问题，属于基础题.
8.如图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
试题分析：从所给算法流程可以看出当时仍在运算,当时运算就结束了,所以应选C.
考点：算法流程图的识读和理解．
9.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金
分割均为，这一数值也可以表示为，若，则
A. 8
B. 4
C. 2
D. 1
【答案】C
【解析】
【详解】∵，,
∴。

∴。

选B。

10.在区间上随机取一个数x，则事件“”发生的概率为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：先根据题中所给的不等式解出x的范围，再结合几何概率模型的公式P=事件A包含区域(长度、面积、体积): 总的事件区域(长度、面积、体积)求出答案即可,根据
可知2sin（x+，那么解得sin（x+，可知得到，由几何
概型概率可知P=，故答案为C.
考点：几何概率
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握关于三角不等式的求解与几何概率模型的公式．
11.已知等比数列的公比，其前n项的和为，则与的大小关系是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将两个式子作差，利用等比数列的前n项和公式及通项公式将差变形，能判断出差的符号，从而得到两个数的大小．
【详解】根据等比数列的前n项和公式和数列的通项公式得到：两式作差
故选：A．
【点睛】解决比较数的大小的题目，一般利用作差比较或作商比较，关键是将差或商变形．或者可以两元化一元，转化为一元的函数问题.
12.已知，，若，，使得，则
实数m的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
要使命题成立需满足≥, 利用函数的单调性, 可求最值,可得到实数m的取值范围.
【详解】解：要使命题成立需满足≥，
函数在[0,3]上是增函数,所以=f(0)=0,
在[1,2]上是减函数,所以=g(2)=，
，解得.
故选A.
【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质及全称命题、特称命题，本题易出现两个易错点:一是不能正确对含有量词的命题进行转化, 转化为函数最值;二是函数最值求解错误.纠错方法是从本质上理解全称命题、特称命题与函数最大值、最小值之间的关系,同时熟练掌握求函数值域的常用方法.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知函数，则，______．
【答案】3
【解析】
【分析】
将代入对应的解析式；再将代入对应的解析式求出函数值．
【详解】
故答案为:3
【点睛】本题考查求分段函数的函数值关键判断出自变量属于哪一段就将自变量的值代入哪一点的解析式．
14.函数在其极值点处的切线方程为____________.
【答案】
，令，此时
函数在其极值点处的切线方程为
考点：：导数的几何意义.
15.已知偶函数满足条件，且当时，，则
的值等于______．
【答案】1
【解析】
【分析】
由可判断的周期为2，从而求得时的解析式，再由偶函数性质将可化为，代入已知表达式求出即可．
【详解】由f(x＋1)＝f(x－1)，知f(x＋2)＝f(x)，函数y＝f(x)是以2为周期的周期函数．
因为log5∈(－2，－1)，log5＋2＝log∈(0,1)，
又f(x)为偶函数且x∈[－1,0]，f(x)＝3x＋，
所以当x∈[0,1]时，f(x)＝3－x＋.
所以f(log5)＝f(log5＋2)＝f(log)＝3－log＋＝3log3＋＝＋＝1.
故答案为1.
【点睛】本题考查函数的周期性与函数的奇偶性，根据周期性可将函数变化至相近的定义区间，再由偶函数的性质求得结果，也可以根据偶函数性质求出对称区间内的解析式，再求值.
16.如果对定义在R上的函数，对任意两个不相等的实数，，都有
，则称函数为“H函数”给出下列函数
；；；以上函数是“H函数”的所有序号为______．
【答案】②③
试题分析：即，
所以函数在是增函数.
对于①，由得，即函数在区间是增函数，其不是“函数”；
对于②，由恒成立，所以其为“函数”；
对于③，由恒成立，所以其为“函数”；
对于④，由于其为偶函数，所以其不可能在是增函数.所以不是“函数”.
综上知，是“函数”的有②③.
考点：函数的单调性，应用导数研究函数的单调性.
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.如图所示，在四边形ABCD中，，，．
求BC边的长；
求四边形ABCD的面积．
【答案】(1) (2)
【解析】
试题分析：（1）先根据向量数量积求∠BAC,再根据余弦定理求BC边的长；（2）四边形ABCD 的面积等于两个三角形面积之和,而△ABC为直角三角形，可得其面积;根据∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°＋∠ACD,所以先由sin∠BCD＝求sin∠A CD,再根据三角形面积公式求S△ACD,最后相加得四边形ABCD的面积
试题解析：(1)∵AC＝CD＝AB＝1，∴＝2cos∠BAC＝1.
∴cos∠BAC＝，∴∠BAC＝60°.
在△ABC中，由余弦定理，有
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝22＋12－2×2×1×＝3，∴BC＝ .
(2)由(1)知，在△ABC中，有AB2＝BC2＋AC2.∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°.
∴S△ABC＝BC·AC＝
又∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°＋∠ACD，sin∠BCD＝，∴cos∠ACD＝.
从而sin∠ACD＝.
∴S△ACD＝AC·CD·sin∠ACD＝×1×1×＝.
∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝＋＝.
18.高三年级有500名学生，为了了解数学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：
根据上面图表，求处的数值
在所给的坐标系中画出的频率分布直方图；
根据题中信息估计总体平均数，并估计总体落在中的概率．
【答案】（1）；；；（2）见解析（3）122.5;
【解析】
【分析】
根据直方图可以看出对应的频率是，当频率是时，对应的频数是12，按照比例作出的结果，用1减去其他的频率得到的结果，是合计，每一个表中这个位置都是1;
根据上一问补充完整的频率分布表，画出频率分步直方图;估计总体落在中的概率，利用组中值算得平均数，总体落在上的概率为，得到结果．【详解】根据直方图可以看出对应的频率是，
当频率是时，对应的频数是12，按照比例作出的结果，
用1减去其他的频率得到的结果，处是合计1，
；；；
根据频率分布表得到频率分布直方图如图．
利用组中值算得平均数为：
；
故总体落在上的概率为．
【点睛】本题考查频率分步直方图，考查频率分布表，考查等可能事件的概率，是一个典型的统计问题，注意解题时不要在数字运算上出错．
19.圆锥PO如图所示，右图是它的正主视图已知圆O的直径为AB，C是圆周上异于A、B的一点，D为AC的中点
求该圆锥的侧面积S；
求证：平面平面POD；
若，在三棱锥中，求点A到平面PBC的距离．
【答案】（1）;（2）参考解析；（3）
【解析】
试题分析：由圆锥的正视图可知，圆锥的底面直径为2，高为2，（1）所以圆锥的母线长
，由圆锥的侧面积公式.本小题的关键是应用根据三视图得到圆锥的半径以及圆锥的高，从而运用圆锥的侧面积公式.
（2）欲证平面PAC平面POD.由判定定理可知，转化为线面垂直.通过观察确定直线AC垂直平面PDO.由已知即可得到结论.
（3）点A到平面PCB的距离，，利用，分别计算出.即可得到点A到平面PCB的距离.
试题解析：（1）由正（主）视图可知圆锥的高，圆的直径为，故半径．∴圆锥的母线长，
∴圆锥的侧面积．
（2）证明：连接，∵，为的中点，
∴．∵，，∴．又，
∴．又，平面平面
（3），又,利用等体积法可求出距离，
考点：1.圆锥的侧面积的计算.2.面面垂直的证明.3.棱锥的体积公式.4.等积法的应用. 20.已知，两点分别在x轴和y轴上运动，且，若动点满足
．
求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程；
一条纵截距为2的直线与曲线C交于P，Q两点，若以PQ直径的圆恰过原点，求出直线方程．
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）根据向量的坐标运算，以及|AB|=1，得到椭圆的标准方程．
（2）直线l1斜率必存在，且纵截距为2，根据直线与椭圆的位置关系，即可求出k的值，问题得以解决．
试题解析：
(Ⅰ) 因为
即
所以
所以
又因为,所以
即:,即
所以椭圆的标准方程为
(Ⅱ) 直线斜率必存在，且纵截距为,设直线为
联立直线和椭圆方程
得:
由,得
设
以直径的圆恰过原点
所以,
即
也即
即
将(1)式代入,得
即
解得,满足（*）式，所以
所以直线
21.函数，，
1若函数，求函数的极值．
2若在恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）极大值为，无极小值；（2）．
【解析】
试题分析：（１）当时分析函数的单调性，确定函数的最大值；（２）
在恒成立，通过变量分离转化为在
恒成立，进而构造新函数求最值即可．
试题解析：
解：（1）当时，
由得；由得，
在递增，在递减
所以，当时，的最大值为
当时，的最大值为
（2）在恒成立
在恒成立
设
则
当时，，且
当时，
设，则在递增
又
使得
时，时，
时，时，
函数在递增，在递减，在递增
由知，所以
又
又当时，
，即的取值范围是.
22.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
将的方程化为普通方程，将的方程化为直角坐标方程；
已知直线l的参数方程为t为参数，且，l与交于点A，l与交于点B，且，求的值．
【答案】（1）曲线：，曲线：（2）
【解析】
【分析】
（1）将曲线消去参数得的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式可得的直角坐标方程．（2）将直线l的参数方程代入曲线的普通方程,得到参数，把直线l的参数方程代入曲线的普通方程得到参数，利用计算即可答案.
【详解】解：（1）曲线消去参数得，曲线的极坐标方程为即
化为直角坐标方程为，即.
（2）把直线的参数方程代入曲线的普通方程得
.同理，把直线的参数方程代入曲线的普通方程得，
.,
.综上所述：
【点睛】本题考查直角坐标与极坐标的互化、参数方程化为普通方程、两点之间的距离、圆的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
23.已知
1已知关于x的不等式有实数解，求实数a的取值范围；
2解不等式．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由题意可得只需，利用绝对值三角不等式可得f(x)的最小值，从而得到a 的范围；（2）分类讨论，去掉绝对值，化为与之等价的三个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集即可．
【详解】解：（1）因为不等式有实数解，所以，
.
（2）
①当时，
②当时，
③当时，
综上得，
【点睛】本题考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于基础题.。