高中数学必修二课后习题复数的三角表示式 7-3-2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义(含答案)

第七章复数
7.3* 复数的三角表示
7.3.1 复数的三角表示式
7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
课后篇巩固提升
必备知识基础练
1.(2021河南郑州期末)已知z=cos π
3+isin π
3,则下列结论正确的是( )
A.z 2的实部为1
B.z 2=z-1
C.z 2=z
D.|z 2|=2
解析z=cos π3+isin π3=12
+
√3
2
i .z 2=
12+√32i 2=14−34+√32i =-12+√32i,其实部为-12,故A 错误;z-1=-12
+√3
2
i =z 2,故B 正确;z =1
2−√3
2i ≠z 2,故C 错误;|z 2|=-122+√3
22=1,故D 错误.故选B .
2.将复数z=-2√3+2i 化成三角形式是 .
(cos 56π+isin 56
π)
|z|=√(-2√3)2+22=4,设辐角为θ,tan θ=-√3
3,且点(-2√3,2)在第二象限,得辐角主值为5
6π,故z=4(cos 56π+isin 56
π).
3.[2(cos 60°+isin 60°)]3= .
8
=23[cos(60°×3)+isin(60°×3)]
=8(cos 180°+isin 180°)=-8.
4.计算:4(cos 80°+isin 80°)÷[2(cos 320°+isin 320°)].
°+isin 80°)÷[2(cos 320°+isin 320°)]
=4
2[cos(80°-320°)+isin(80°-320°)] =2[cos(-240°)+isin(-240°)] =2(-1
2+√3
2i)=-1+√3i .
5.已知z 1=12(cos π3+isin π3),z 2=6cos π6+isin π
6,计算z 1z 2,并说明其几何意义.
解z 1z 2=1
2×6×cos (π
3+π
6)+isin π
3+π
6
=3(cos π
2+isin π
2)=3i .
首先作复数z 1对应的向量OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,然后将OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 绕点O 按逆时针方向旋转π6
,再将其长度伸长为原来的
6倍,得到的向量即为z 1z 2所对应向量.
6.已知复数z=r (cos θ+isin θ),r ≠0,求1
z 的三角形式.
=
(cos0°+isin0°)r (cosθ+isinθ)
=1r [cos(0°-θ)+isin(0°-θ)]=1r
[cos(-θ)+isin(-θ)].
关键能力提升练
7.复数
z=-1+(1+i 1-i )2 021
的辐角主值为
.
因为1+i 1-i =i,所以(1+i 1-i )2 021=i 2 021
=i .
所以z=-1+i =√2cos 3π
4+isin 3π
4, 所以复数z 的辐角主值为3π4
.
8.(12-√32i)
20
÷(3i)= .
-√3
6+1
6i
解析原式=[cos (-π3)+isin (-π
3)]20
÷3cos π2+isin π
2=cos (-20π3)+isin (-20π3)÷3cos π2+isin π
2=cos 4π3+isin
4π3÷3cos π2+isin π
2
=
13
cos
4π3−π2
+isin (
4π3-π2
)=
1
3
cos 5π6+isin
5π6
=13
(-
√3
2
+12i)=-√3
6+1
6i . 9.莱昂哈德·欧拉发现并证明了欧拉公式e i θ=cos θ+isin θ,从而建立了三角函数和指数函数的关系.若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式e πi +1=0,它是数学里令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个量联系起来:两个超越数(自然对数的底数e,圆周率π),两个单位(虚数单位i,自然数单位1)以及0.请你根据欧拉公式:e i θ=cos θ+isin θ,解决以下问题:
(1)试将复数e π
3
i写成a+b i(a,b∈R,i是虚数单位)的形式;
(2)试求复数e π
3
i+1
2
的模.
根据欧拉公式可得e π
3
i=cosπ
3
+isinπ
3
=1
2
+√3
2
i.
(2)由题意可知e π
3
i+1
2
=1
2
+√3
2
i+1
2
=1+√3
2
i,
因此,|e π
3
i+1
2
|=√12+(√3
2
)
2
=√7
2
.
10.已知复数z的模为2,实部为√3,求复数z的代数形式和三角形式.
,可设z=√3+b i(b∈R).
∵|z|=2,∴√3+b2=2,解得b=±1,
∴z=√3+i或z=√3-i.
化为三角形式,得z=2cosπ
6+isinπ
6
或z=2cos(-π
6
)+isin(-π
6
).
11.计算下列各式的值:
(1)(-1
2+√3
2
i)·2cosπ
3
+isinπ
3
;
(2)3(cos 63°+isin 63°)·2(cos 99°+isin 99°)·5(cos 108°+isin 108°).
解(1)(-1
2+√3
2
i)·2cosπ
3
+isinπ
3
=cos2π
3+isin2π
3
·2cosπ
3
+isinπ
3
=2(cos π+isin π)=-2.
(2)3(cos 63°+isin 63°)·2(cos 99°+isin 99°)·5(cos 108°+isin 108°) =30(cos 270°+isin 270°)=-30i.
12.求证:(cos3θ+isin3θ)3·(cos2θ+isin2θ)7
(cos4θ+isin4θ)6
=cos θ-isin θ.
=(cos9θ+isin9θ)·(cos14θ+isin14θ)
(cos24θ+isin24θ)
=(cos23θ+isin23θ)
(cos24θ+isin24θ)
=cos(-θ)+isin(-θ)
=cos θ-isin θ=右边.
学科素养创新练
13.已知k是实数,ω是非零复数,且满足arg ω=3π
4
,(1+ω)2+(1+i)2=1+kω.。