2020年北京市朝阳区高三四月联考(B卷)数学试卷-含答案

2020年北京市朝阳区高三四月联考（B 卷）数学试卷
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知命题
p ：x ∀∈R ，e 1>x ，那么命题p 的否定为
（A ）0x ∃∈R ，0e 1x ≤ （B ）x ∀∈R ，e 1<x （C ）0x ∃∈R ，0e 1x >
（D ）x ∀∈R ，e 1≤x
（2）设集合2
{|340}Z A x x x =∈--≤，2
{|e
1}x B x -=<，则A B I =
（A ）{1,0,1,2}- （B ）[1,2)- （C ）{1,0,1}- （D ）[1,2]- （3）下列函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是
（A ）3
()2f x x =-+ （B ）12
()log ||f x x =
（C ）3
()3=-f x x x （D ）()sin f x x =
（4）已知
2=a ，0.2log 0.3=b ，11tan 3
π
=c ，则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）<<c b a （B ）<<b a c （C ）<<c a b （D ）<<b c a
（5）为了宣传今年9月即将举办的“第十八届中国西部博览会”（简称“西博会”），组委会举办了“西博会”知识有奖问答活动. 在活动中，组委会对会议举办地参与活动的
1565:岁市民进行随机抽样，各年龄段人数情况如下：
组号 分组
各组人数
各组人数频率分布直方图
第1组 [15,25)
10
第2组 [25,35) a
第3组 [35,45) b
第4组 [45,55) c
第5组
[55,65]
d
a x （A ）20，0.15 （B ）15，0.015 （C ）20，0.015 （D ）15，0.15
（6）已知向量(2,23)=a ，若16
=3
⋅-a b ，则b 在a 上的投影是 （A ）
34 （B ）34- （C ） 43 （D ）43
- （7）某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥中最长的棱的长度为 （A ）5 （B ） 3 （C ）6 （D ）23
（8）已知△ABC ，则“sin cos A B =”是“△ABC
是直角三角形”的
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
（9）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.
如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记n a 为图中虚线上的
数1,3,6,10,⋅⋅⋅构成的数列{}n a 的第n 项，则100a 的值为 （A ）5049 （B ）5050 （C ）5051 （D ）5101
（10）关于函数2()(1)e x
f x x ax =+-，有以下三个结论： ①函数恒有两个零点，且两个零点之积为1-； ②函数的极值点不可能是1-； ③函数必有最小值.
其中正确结论的个数有
（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）在52()x x
-的二项展开式中，3
x
-的系数为________．（用数字作答）
（12）已知复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，且满足||5z =，6z z +=，则z 的实部为_________，
虚部为 ．
（13）设无穷等比数列{}n a 的各项为整数，公比为q ，且||1q ≠，2312a a a <+，写出数列
{}n a 的一个通项公式________．
（14）在平面直角坐标系中，已知点(0,1)A ，(1,1)B ，P 为直线AB 上的动点，A 关于直线OP 的对称点记为Q ，则线段BQ 的长度的最大值是________． （15）关于曲线2
2
:4C x xy y -+=，给出下列三个结论： ① 曲线C 关于原点对称，但不关于x 轴、y 轴对称； ② 曲线C 恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
③ 曲线C 上任意一点到原点的距离都不大于．
其中，正确结论的序号是________．
注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。

全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。

三、解答题共6小题，共85分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（16）（本小题13分）
已知：①函数1
()cos sin()(0)64
f x x x ωωωπ=+-
>；
②向量,cos 2)x x ωω=m ，11(cos ,)2
4
x ω=n ，且0ω>，()f x =⋅m n ； ③函数1()sin(2)(0,||)22f x x ωϕωϕπ=
+><的图象经过点1(,)62
π 请在上述三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知_________________，且函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2
π
． （Ⅰ）若02θπ<<
，且1
sin 2
θ=，求()f θ的值； （Ⅱ）求函数()f x 在[0,2]π上的单调递减区间. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
（17）（本小题14分）
体温是人体健康状况的直接反应，一般认为成年人腋下温度T （单位：C ︒）平均在36C 37C ︒︒:之间即为正常体温，超过37.1C ︒即为发热．发热状态下，不同体温可分成以下三种发热类型：低热：
>
T.
T；超高热（有生命危险）：40
<≤
≤≤
T；高热：3840
37.138
某位患者因患肺炎发热，于12日至26日住院治疗. 医生根据病情变化，从14日开始，以3天为一个疗程，分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热. 住院期间，患者每天上午8:00服药，护士每天下午16:00为患者测量腋下体温记录如下：
（Ⅱ）在19日—23日期间，医生会随机选取3天在测量体温的同时为该患者进行某一特殊项目“α项目”的检查，记X为高热体温下做“α项目”检查的天数，试求X的分布列与数学期望；（Ⅲ）抗生素治疗一般在服药后2-8个小时就能出现血液浓度的高峰，开始杀灭细菌，达到消炎退热效果.假设三种抗生素治疗效果相互独立，请依据表中数据，判断哪种抗生素治疗效果最佳，并说明理由．
（18）（本小题15分）
在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ．底面ABCD 为梯形，AB CD P ，AB AD ⊥，且1AB =，2PA AD DC ===，22PD =． （Ⅰ）求证：AB PD ⊥；
（Ⅱ）求二面角P BC D --的余弦值；
（Ⅲ）若M 是棱PA 的中点，求证：对于棱BC 上任意一点F ，
MF 与PC 都不平行.
（19）（本小题14分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12
，过椭圆右焦点F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两
点，当直线l 与x 轴垂直时，||3AB =. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）当直线l 与x 轴不垂直时，在x 轴上是否存在一点P （异于点F ），使x 轴上任意点到直线
PA ，PB 的距离均相等？若存在，求P 点坐标；若不存在，请说明理由.
（20）（本小题15分）
已知函数2()e ()x f x ax a =-∈R ．
（Ⅰ）若曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，求a ； （Ⅱ）已知()f x 在[0,1]上的最大值不小于2，求a 的取值范围；
（Ⅲ）写出()f x 所有可能的零点个数及相应的a 的取值范围．（请直接写出结论）
（21）（本小题14分） 已
知
集
合
12{|(,,,),{0,1},1,2,,}(2)
n n i S X X x x x x i n n ==∈=≥L L ，对于
12(,,,)n A a a a =L ∈n S ，
12(,,,)=∈L n n B b b b S ，定义A 与B 的差为1122(||,||,,||)n n A B a b a b a b -=---L ；A 与B 之
间的距离为1122(,)=||+||||--++-L n n d A B a b a b a b ． （Ⅰ）若(0,1)A B -=，试写出所有可能的A ，B ； （Ⅱ）,,n A B C S ∀∈，证明：(,)(,)d A C B C d A B --=；
（Ⅲ）,,n A B C S ∀∈，(,),(,),(,)d A B d A C d B C 三个数中是否一定有偶数？证明你的结论.
参考答案
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
（1） A （2） C （3）C （4） A （5） C （6） D （7） B （8）D （9） B （10） D
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11）80 （12）3, 4 （13）1*
2()n n a n -=-∈N （答案不唯一）
（141 （15）①③
三、解答题（共6小题，共85分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） （16）（本小题13分） 解：方案一：选条件①
因为1()cos sin()64
f x x x ωωπ
=+- 1cos (sin cos
cos sin )664
x x x ωωωππ=+-
211
cos cos 224
x x x ωωω=
+-
1
2cos24
x x ωω=+ …………3分
11
(2cos2)222
x x ωω=+ 1sin(2)26
x ωπ=+， 又22T ωπ==π ，所以1ω=，所以1()sin(2)26
f x x π
=+. …………5分
方案二：选条件②
因为,cos 2)x x ωω=m ，11(cos ,)24
x ω=n ，
所以11()cos cos 2sin(2)2426
f x x x x x ωωωωπ=⋅=+=+m n . 又22T ωπ
=
=π ，所以1ω=，所以1()sin(2)26
f x x π=+. …………5分 方案三：选条件③ 由题意可知，22T
ωπ=
=π ，所以1ω=，所以1()sin(2)26
f x x π
=+. …………1分 又因为函数()f x 图象经过点1(,)62π，所以11sin(2)226
ϕπ
=⨯+. …………3分 因为||2ϕπ<
，所以 6ϕπ=，所以1()sin(2)26
f x x π
=+. …………5分 （Ⅰ）因为02θπ<<，1sin 2θ=，所以 6
θπ
=. …………7分 所以11
()()sin 6222
f f θππ===. (9)
分
（Ⅱ）由3222,262
k x k k πππ
+π≤+≤
+π∈Z ， 得2,63
k x k k ππ
+π≤≤
+π∈Z …………12分 令0k =，得
263x π≤≤π，令1k =，得7563
x ππ
≤≤， 所以函数()f x 在[0,2]π上的单调递减区间为2[,]63ππ，75[,]63
ππ
. …………13分
（17）（本小题14分）
解:（Ⅰ） 由表可知，该患者共6天的体温不低于39C o ，记平均体温为x ，. (1)
分
·
·········4分 所以，患者体温不低于39C ︒的各天体温平均值为39.55C o . （
Ⅱ
）
X 的所有可能取值为
0,1,2． ·
····························5分 30
323
51
(0)10
C C P X C ===, ······························6分
21323
563
(1)105
C C P X C ====, ····························7分
1232353
(2)10
C C P X C ===． (8)
分 则
X 的分布列
为： ················································9分
所
以
1336
()012105105
E X =⨯
+⨯+⨯=． ·
········································11分
（Ⅲ）“抗生素C ”治疗效果最佳可使用理由：
① “抗生素B ”使用期间先连续两天降温1.0C o 又回升0.1C o ，“抗生素C ”使用期间持续降温共计1.2C o ，说明“抗生素C ”降温效果最好，故“抗生素C ”治疗效果最佳．
② 抗生素B ”治疗期间平均体温39.03C o ，方差约为0.0156；“抗生素C ”平均体温38C o ，方差约为0.1067，“抗生素C ”治疗期间体温离散程度大，说明存在某个时间节点降温效果明显，故“抗生素C ”治疗效果最佳． ········································14分
“抗生素B ”治疗效果最佳可使用理由：
（不说使用“抗生素B ”治疗才开始持续降温扣1分）
自使用“抗生素B ”开始治疗后，体温才开始稳定下降，且使用“抗生素B ”治疗当天共降温0.7C o ，是单日降温效果最好的一天，故“抗生素B ”治疗效果最佳． ············14分
（开放型问题，答案不唯一，但答“抗生素A ”效果最好不得分，理由与结果不匹配不得分，不用数据不得分）
（18）（本小题14分）
解:（Ⅰ）因为平面ABCD ⊥平面PAD ， …………1分 平面ABCD I 平面PAD AD =, …………2分
AB ⊂平面ABCD , AB AD ⊥， …………3分
所以AB ⊥平面PAD , …………4分 又因为PD ⊂平面PAD ，
所以AB PD ⊥． …………5分 （Ⅱ）因为2PA AD ==，22PD =，所以PA AD ⊥． 由（Ⅰ）得AB ⊥平面PAD ，所以AB PA ⊥， 故,,AB AD AP 两两垂直．
如图,以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线分别为,,x y z 轴， 建立空间直角坐标系A xyz -，
则(0,0,2)P ，(1,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ． …………6分
因为PA ⊥平面BCD ，所以平面BCD 的一个法向量是(0,0,1)=n ．
而(1,0,2)PB =-u u u r ，(2,2,2)PC =-u u u r
，
设平面PBC 的一个法向量为(,,)x y z =m
则由0,0,
PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r m m 得20, 2220.x z x y z -=⎧⎨
+-=⎩ 取1z =，有(2,1,1)=-m ， …………8分 所以6cos ,66
⋅〈〉=
==n m n m n m ． …………10分 M
F
由题知，二面角P BC D --为锐角，
所以二面角P BC D --
…………11分
（Ⅲ）假设棱BC 上存在点F ，//MF PC ，设,[0,1]BF BC λλ=∈u u u r u u u r
． …………
12分
依题意，可知(0,0,1)M ，(1,2,0)BC =u u u r
，(1,2,0)F λλ=+， …………13分
所以(1,2,1)MF λλ=+-u u u r ，(2,2,2)PC =-u u u r
． …………14分
根据假设，有12,22, 12,λμλμμ+=⎧⎪
=⎨⎪-=-⎩
而此方程组无解，故假设错误，问题得证． …………15分
（19）（本小题14分） 解：（Ⅰ）由题意得：
2
22223,1
,
2,⎧=⎪⎪
⎪=⎨⎪
⎪=+⎪⎩
b a
c a a b c ……………………1分 解得
:2,1a b c === ． ……………………2分
所以椭圆的标准方程为：
22
143
x y += ……………………3分 （II ）依题意，若直线l 的斜率不为零，可设直线:1(0)l x my m =+≠，1122(,),(,)A x y B x y ． 假设存在点P ，设0(,0)P x ，由题设，01x ≠，且01x x ≠，02x x ≠. 设直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ， 则12
121020
,y y k k x x x x =
=
--． …………4分 因为1122(,),(,)A x y B x y 在1x my =+上，
故11221,1x my x my =+=+． …………5分 而x 轴上任意点到直线,PA PB 距离均相等等价于“PF 平分APB ∠”，
继而等价于120k k +=． …………………6分
则12
121020
y y k k x x x x +=
+--
12210121020()
()()
x y x y x y y x x x x +-+=
--
1201210202(1)()
0()()
my y x y y x x x x +-+=
=--． ……………………8分
联立22
143
1x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，消去x ，得：22(34)690m y my ++-=， 有121222
69
,3434
m y y y y m m --+
=
=++． ……………………10分 则00
1222
1020102018662460(34)()()(34)()()
m m mx m mx k k m x x x x m x x x x --+-++==
=+--+--， 即040m mx -+=，故04x =或0m =（舍）． … …………………13分 当直线l 的斜率为零时，(4,0)P 也符合题意．
故存在点(4,0)P ，使得x 轴上任意点到直线,PA PB 距离均相等． …………14分 （20）（本小题15分）
解：（Ⅰ） 因为2
()e ()x
f x ax a =-∈R ， 故
()e 2x f x ax '=-． …………1分
依
题
意
(1)e 20
f a '=-=，即
e
2
a =
． …………2分 当e 2a =时，e (1)02f =≠，此时切线不与x 轴重合，符合题意，因此e 2
a =．…………3分
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，
()e 2x f x ax '=-,
当0a ≤时，因为[0,1]x ∈,e 0x >,20ax -≥，
故()0f x '>，即()f x 单增，因此max ()(1)e f x f a ==-．
依题意，当0a ≤时，max ()=e e 2f x a -≥>，所以0a ≤符合题意． …………5分
当0a >时，
()e 2x f x a ''=-，令()0f x ''=，有ln 2x a =． …………6分
()f x '',()f x '变化如下：
故
min ()22f x a '=-． …………7分
当1ln 20a -≥时，即e
02
a <≤
时，()0f x '≥，()f x 单调递增， 因此max ()(1)e f x f a ==-．
依题意，令e 2a -≥，有0e 2a <≤-． …………8分 当1ln 20a -<时，即e
2
a >时，(1)e 20f a '=-<,(0)10f '=>， 故存在唯一0(0,1)x ∈使
0()0f x '=． …………9分
此时有00e 20x ax -=，即00e 2x ax =，()f x ',()f x 变化如下： …………10分
所以0
2
0max 00e ()()e e 2
x x x f x f x ax ==-=-，0(0,1)x ∈． …………11分
依题意，令e ()e 2x x
x g x =-，(0,1)x ∈，则(1)e ()02
x
x g x -'=>，()g x 在(0,1)单调递增，
所以e
()(1)22
g x g <=<， 所以
max ()2f x <，此时不存在符合题意的a ．
综上所述，当(,e 2]a ∈-∞-，()f x 在[0,1]上的最大值不小于2， 若(,e 2]a ∈-∞-/，则()f x 在[0,1]上的最大值小于2，
所以a 的取值范围为(,e 2]-∞-． …………………12分 解法二：
（Ⅱ）当[0,1]x ∈时，()f x 最大值不小于2，等价于
2()e 2x f x ax =-≥在[0,1]x ∈上有解，显然0x =不是解,
即2e 2x a x -≤在(0,1]x ∈上有解， ……………………4分
设2e 2
()x g x x
-=，(0,1]x ∈, 则3e 2e 4
()x x x g x x
-+'=． ……………………5分 设()e 2e 4x x h x x =-+ ，(0,1]x ∈， 则()e (1)0'=-≤x
h x x ．
所以()h x 在(0,1]单调递减， ()(1)4e 0h x h ≥=->， …………7分 所以()0g x '>，所以g()x 在(0,1]单调递增， ……………………9分 所以max
g()(1)e 2x g ==-． ……………………10分
依题意需e 2a ≤-,
所以a 的取值范围为(,e 2]-∞-． ……………………12分 解法三:
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()e 2x f x ax '=-,
（1）当e 2
a ≤时，'()e 2e e x x
f x ax x =-≥-, 设()e
e [0,1]x
h x x x =-∈，()e e 0x h x '=-≤,
所以()h x 在[0,1]单调递减，故()(1)0h x h ≥=． …………5分 所以
()0f x '≥，所以()f x 在[0,1]单调递增，
因此max ()(1)e f x f a ==-． …………7分
依题意，令e 2a -≥，得e 2a ≤-． …………8分 （2）当e
2
a >时，22e ()e e 2x x f x ax x =-≤-,
设2e
()e
2
ϕ=-x
x x ,[0,1]x ∈, 则()e
e ()0x
x x h x ϕ'=-=≥,
所以()x ϕ在[0,1]单调递增， …………10分
故max
e e
()(1)e 222
x ϕϕ==-=<，即()2f x <，不符合题意． …………11分
综上所述，a 的取值范围为(,e 2]-∞-． ············12分
（III ）当0a ≤时，()y f x =有0个零点；当2e 04
a <<时，()y f x =有1个零点
当2e 4a =时，()y f x =有2个零点；当2
e 4
a >时，()y f x =有3个零点．. (15)
分
（21）（本小题14分） 解：（Ⅰ） (0,0),
(0,1)A B ==；
(0,1),(0,0)A B ==； …………1分 (1,0),(1,1)A B ==； …………2分 (1,1),(1,0)A B ==. …………3分
（Ⅱ） 令121212(,,,),(,,,),(,,,)===L L L n n n A a a a B b b b C c c c ， 对1,2,,=L
i n ，
当0i c =时，有||||||||i i i i i i a c b c a b ---=-； …………4分 当1i c =时，有|||||||1(1)|||i i i i i i i i a c b c a b a b ---=---=-． …………5分 所以
11222222(,)||||||+||||||++||||||
--=---------L n n n n d A C B C a c b c a c b c a c b c 1122||||||(,)=-+-++-=L n n a b a b a b d A B ． …………6分
（Ⅲ）,,n A B C S ∀∈，(,),(,),(,)d A B d A C d B C 三个数中一定有偶数. 理由如下： 解法一：
设121212(,,,),(,,,),(,,,)n n n n A a a a B b b b C c c c S =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈，
(,),(,),(,)d A B k d A C l d B C h ===，
记0(0,0,0)n S =⋅⋅⋅∈由（Ⅱ）可知: (,)(,)(0,)d A B d A A B A d B A k =--=-=，
(,)(,)(0,)d A C d A A C A d C A l =--=-=，(,)(,)d B C d B A C A h =--=. …………8分
所以(1,2,,)i i b a i n -=⋅⋅⋅中1的个数为k ,(1,2,,)i i c a i n -=⋅⋅⋅中1的个数为l .
设t 是使1i i i i b a c a -=-=成立的i 的个数，则2h l k t =+-. …………10分 由此可知，,,k l h 三个数不可能都是奇数，
即(,),(,),(,)d A B d A C d B C 三个数中一定有偶数. …………14分 解法二：
因为()()()0i i i i i i a b b c c a -+-+-=，
且()()()i i i i i i a b b c c a -+-+-与||||||i i i i i i a b b c c a -+-+-奇偶性相同. …………8分 所以||||||i i i i i i a b b c c a -+-+-为偶数，
故(,)(,)(,)d A B d B C d A C ++为偶数， …………10分 所以(,),(,),(,)d A B d A C d B C 三个数不可能都是奇数，
即(,),(,),(,)d A B d A C d B C 三个数中一定有偶数. …………14分。