新教材 人教A版高中数学必修第二册 第七章 复数 知识点汇总及解题规律方法提炼

第七章 复数
7．1.1 数系的扩充和复数的概念
1．复数的有关概念 (1)复数的定义
形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足i 2＝－1． (2)复数集
全体复数所构成的集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }叫做复数集． (3)复数的表示方法
复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部．
■名师点拨
对复数概念的三点说明
(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，其中0＝0＋0i.
(2)复数的虚部是实数b 而非b i.
(3)复数z ＝a ＋b i 只有在a ，b ∈R 时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．
2．复数相等的充要条件
在复数集C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等当且仅当a ＝c 且b ＝d ．
3．复数的分类
(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎨
⎧实数（b ＝0），
虚数（b ≠0）⎩⎨⎧纯虚数a ＝0，非纯虚数a ≠0Ｗ.
(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
■名师点拨
复数b i(b ∈R )不一定是纯虚数，只有当b ≠0时，复数b i(b ∈R )才是纯虚数．
典型应用1 复数的概念
下列命题：
①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数； ②若a ，b ∈R ，且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；
③若(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±2； ④实数集是复数集的真子集． 其中正确的命题是( ) A ．① B ．② C ．③
D ．④
【解析】 对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时，为纯虚数．对于①，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，即①错误；两个虚数不能比较大小，则②错误；对于③，若x ＝－2，则x 2－4＝0，x 2＋3x ＋2＝0，此时(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i ＝0不是纯虚数，则③错误；显然，④正确．故选D.
【答案】 D
判断与复数有关的命题是否正确的方法
(1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．
(2)化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a ＋b i 的形式，更要注意这里a ，b 均为实数时，才能确定复数的实部、虚部．
[提醒] 解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i 的性质． 典型应用2 复数的分类
当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m
＋(m 2
－2m )i ：(1)为实数？(2)
为虚数？(3)为纯虚数？
【解】 (1)当⎩⎨⎧m 2－2m ＝0，
m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数．
(2)当m 2－2m ≠0且m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数．
(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0，
即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．
解决复数分类问题的方法与步骤
(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．
(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可．
(3)下结论：设所给复数为z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， ①z 为实数⇔b ＝0； ②z 为虚数⇔b ≠0；
③z 为纯虚数⇔a ＝0且b ≠0. 典型应用3 复数相等
(1)(2019·浙江杭州期末考试)若z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－
m －6)i(m ，n ∈R )，且z 1＝z 2，则m ＋n ＝( )
A ．4或0
B ．－4或0
C ．2或0
D ．－2或0
(2)若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x 的值是________． 【解析】 (1)由z 1＝z 2，得n 2－3m －1＝－3且n 2－m －6＝－4，解得m ＝2，n ＝±2，所以m ＋n ＝4或0，故选A.
(2)因为log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，
所以⎩⎨⎧log 2（x 2－3x －2）>1，log 2（x 2
＋2x ＋1）＝0，即⎩⎨⎧x 2－3x －2>2，x 2＋2x ＋1＝1，解得x ＝－2. 【答案】 (1)A (2)－2
复数相等的充要条件
复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数．解决复数相等问题的步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，
利用实部与实部相等、
虚部与虚部相等列方程(组)求解．
[注意] 在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a ，b ，c ，d ∈R ，即当a ，b ，c ，d ∈R 时，a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .若忽略前提条件，则结论不能成立．
7．1.2 复数的几何意义
1．复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
2．复数的两种几何意义
(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )←――→一一对应
复平面内的点Z (a ，b )． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) ←――→一一对应平面向量OZ →. ■名师点拨
(1)复平面内的点Z 的坐标是(a ，b )，而不是(a ，b i)．也就是说，复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是i.
(2)当a ＝0，b ≠0时，a ＋b i ＝0＋b i ＝b i 是纯虚数，所以虚轴上的点(0，b )(b ≠0)都表示纯虚数．
(3)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中的z ，书写时应小写；复平面内的点Z (a ，b )中的Z ，书写时应大写．
3．复数的模
复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫做复数z 的模或绝对
值，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|
■名师点拨
如果b ＝0，那么z ＝a ＋b i 是一个实数a ，它的模等于|a |(a 的绝对值)． 4．共轭复数
(1)一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．
(2)虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
(3)复数z 的共轭复数用z －表示，即如果z ＝a ＋b i ，那么z －
＝a －b i ． ■名师点拨
复数z ＝a ＋b i 在复平面内对应的点为(a ，b )，复数z －＝a －b i 在复平面内对应的点为(a ，－b )，所以两个互为共轭复数的复数，它们所对应的点关于x 轴对称．
典型应用1
复数与复平面内的点
已知复数z ＝(a 2－1)＋(2a －1)i ，其中a ∈R .当复数z 在复平面内对应
的点Z 满足下列条件时，求a 的值(或取值范围)．
(1)在实轴上； (2)在第三象限．
【解】 (1)若z 对应的点在实轴上，则有 2a －1＝0，解得a ＝12.
(2)若z 对应的点在第三象限，则有 ⎩⎨⎧a 2－1<0，2a －1<0，
解得－1<a <12. 故a 的取值范围是⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－1，12.
[变条件]本例中复数z 不变，若点Z 在抛物线y 2＝4x 上，求a 的值． 解：若z 对应的点(a 2－1，2a －1)在抛物线y 2＝4x 上，则有(2a －1)2＝4(a 2－1)，即4a 2－4a ＋1＝4a 2－4，解得a ＝5
4.
利用复数与点的对应解题的步骤
(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )可以用复平面内的点Z (a ，b )来表示，是解决此类问题的根据．
(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．
典型应用2
复数与复平面内的向量
在复平面内，复数i ，1，4＋2i 对应的点分别是A ，B ，C .求平行四边
形ABCD 的顶点D 所对应的复数．
【解】 法一：由复数的几何意义得A (0，1)，B (1，0)，C (4，2)，则AC 的中点为⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，32，由平行四边形的性质知该点也是BD 的中点，设D (x ，y )，则
⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1
2＝2，y ＋02＝32
，所以⎩⎨
⎧x ＝3，
y ＝3，
即点D 的坐标为(3，3)，所以点D 对应的复数为3＋3i. 法二：由已知得OA
→＝(0，1)，OB →＝(1，0)，OC →＝(4，2)， 所以BA
→＝(－1，1)，BC →＝(3，2)， 所以BD
→＝BA →＋BC →＝(2，3)，所以OD →＝OB →＋BD →＝(3，3)， 即点D 对应的复数为3＋3i.
复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数，反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
典型应用3 复数的模
(1)设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i 且|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是
( )
A ．－1<a <1
B ．a <－1或a >1
C ．a >1
D ．a >0
(2)(2019·贵州遵义贵龙中学期中测试)已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 在复平面内对应点的集合是( )
A ．1个圆
B ．线段
C ．2个点
D ．2个圆
【解析】 (1)由题意得a 2＋22<（－2）2＋12，即a 2＋4<5(a ∈R )，所以－1<a <1.
(2)由题意知(|z |－3)(|z |＋1)＝0， 即|z |＝3或|z |＝－1， 因为|z |≥0，所以|z |＝3，
所以复数z 在复平面内对应点的集合是1个圆． 【答案】 (1)A (2)A
求解复数的模的思路
解决复数的模的求解问题，应先把复数表示成标准的代数形式，再根据复数的模的定义求解．
7．2 复数的四则运算
7．2.1 复数的加、减运算及其几何意义
1．复数加、减法的运算法则及加法运算律 (1)加、减法的运算法则
设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )是任意两个复数，则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i ．
(2)加法运算律
对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有 ①交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1．
②结合律：(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． ■名师点拨
两个复数相加就是这两个复数的实部与实部相加，虚部与虚部相加．对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形．
2．复数加、减法的几何意义
如图所示，设复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，则与z 1＋z 2对应的向量是OZ →，与z 1－z 2对应的向量是Z 2Z 1→.
典型应用1
复数的加、减法运算
(1)计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；
(2)设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，求z 1－z 2. 【解】 (1)原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i ＝－11i. (2)因为z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i ，z 1＋z 2＝5－6i ， 所以(3＋x )＋(2－y )i ＝5－6i ，
所以⎩⎨⎧3＋x ＝5，2－y ＝－6，所以⎩⎨⎧x ＝2，y ＝8，所以z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝(2－3)＋[2－
(－8)]i ＝－1＋10i.
解决复数加、减运算的思路
两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)．
典型应用2
复数加、减法的几何意义
已知平行四边形OABC 的三个顶点O ，A ，C 对应的
复数分别为0，3＋2i ，－2＋4i.
(1)求AO
→表示的复数； (2)求CA
→表示的复数． 【解】 (1)因为AO
→＝－OA →，
所以AO
→表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i. (2)因为CA
→＝OA →－OC →，
所以CA
→表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
1．[变问法]若本例条件不变，试求点B 所对应的复数．
解：因为OB
→＝OA →＋OC →，所以OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
所以点B 所对应的复数为1＋6i.
2．[变问法]若本例条件不变，求对角线AC ，BO 的交点M 对应的复数． 解：由题意知，点M 为OB 的中点，
则OM →＝12OB →，由互动探究1中知点B 的坐标为(1，6)，得点M 的坐标为
⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，所以点M 对应的复数为1
2＋3i.
复数加、减法几何意义的应用技巧
(1)复数的加减运算可以转化为点的坐标或向量运算．
(2)复数的加减运算转化为向量运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．
7．2.2 复数的乘、除运算
1．复数乘法的运算法则和运算律 (1)复数乘法的运算法则
设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )， 则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ． (2)复数乘法的运算律 对任意复数z 1，z 2，z 3∈C ，有
对复数乘法的两点说明
(1)复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行运算，但结果要将实部、虚部分开(i 2换成－1)．
(2)多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用． 2．复数除法的运算法则
设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i ≠0)(a ，b ，c ，d ∈R )，
则z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．
■名师点拨
对复数除法的两点说明
(1)实数化：分子、分母同时乘以分母的共轭复数，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．
(2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开． 典型应用1 复数的乘法运算
(1)(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12＋32i (1＋i)＝( )
A ．1＋3i
B ．－1＋3i C.3＋i
D ．－3＋i
(2)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( )
A ．5－4i
B ．5＋4i
C ．3－4i
D ．3＋4i
(3)把复数z 的共轭复数记作z －，已知(1＋2i) z －＝4＋3i ，求z . 【解】 (1)选B.(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12＋32i (1＋i)
＝(1－i)(1＋i)⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12＋32i
＝(1－i 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12＋32i
＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12＋32i ＝－1＋3i.
(2)选D.因为a －i 与2＋b i 互为共轭复数， 所以a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i. (3)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，
由已知得，(1＋2i)(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，由复数相等的条件知， 解得a ＝2，b ＝1，
所以z＝2＋i.
复数乘法运算法则的应用
复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将i2换成－1，并将实部、虚部分别合并．多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，如(a＋b i)2＝a2＋2ab i＋b2i2＝a2－b2＋2ab i，(a＋b i)3＝a3＋3a2b i＋3ab2i2＋b3i3＝a3－3ab2＋(3a2b－b3)i.
典型应用2
复数的除法运算
计算：
(1)（1＋2i）2＋3（1－i）
2＋i；
(2)（1－4i）（1＋i）＋2＋4i
3＋4i
.
【解】(1)（1＋2i）2＋3（1－i）
2＋i＝
－3＋4i＋3－3i
2＋i
＝
i
2＋i＝
i（2－i）
5＝
1
5＋
2
5i.
(2)（1－4i）（1＋i）＋2＋4i
3＋4i＝
5－3i＋2＋4i
3＋4i＝
7＋i
3＋4i
＝
（7＋i）（3－4i）
（3＋4i）（3－4i）
＝
21－28i＋3i＋4
25＝
25－25i
25＝1－i.
复数除法运算法则的应用
复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算．
典型应用3
i的运算性质
(1)复数z＝1－i
1＋i，则ω＝z
2＋z4＋z6＋z8＋z10的值为()
A．1 B．－1
C ．i
D ．－i
(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019等于________． 【解析】 (1)z 2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－1，所以ω＝－1＋1－1＋1－1＝－1. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤（1＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）2 019＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 2 2 019＝i 2 019＝(i 4)504·i 3＝1504·(－i)＝－i.
【答案】 (1)B (2)－i
(1)i 的周期性要记熟，即i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N *)．
(2)记住以下结果，可提高运算速度．
①(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i.
②1－i 1＋i ＝－i ，1＋i 1－i
＝i. ③1i ＝－i.
典型应用4
在复数范围内解方程
在复数范围内解下列方程．
(1)x 2＋5＝0；
(2)x 2＋4x ＋6＝0.
【解】 (1)因为x 2＋5＝0，所以x 2＝－5，
又因为(5i)2＝(－5i)2＝－5，
所以x ＝±5i ，
所以方程x 2＋5＝0的根为±5i.
(2)法一：因为x 2＋4x ＋6＝0，
所以(x ＋2)2＝－2，
因为(2i)2＝(－2i)2＝－2，
所以x ＋2＝2i 或x ＋2＝－2i ，
即x ＝－2＋2i 或x ＝－2－2i ，
所以方程x 2＋4x ＋6＝0的根为x ＝－2±2i.
法二：由x 2＋4x ＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8<0，
所以方程x 2＋4x ＋6＝0无实数根．
在复数范围内，设方程x 2＋4x ＋6＝0的根为x ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)， 则(a ＋b i)2＋4(a ＋b i)＋6＝0，
所以a 2＋2ab i －b 2＋4a ＋4b i ＋6＝0，
整理得(a 2－b 2＋4a ＋6)＋(2ab ＋4b )i ＝0，
所以⎩⎨⎧a 2－b 2＋4a ＋6＝0，2ab ＋4b ＝0，
又因为b ≠0，
所以⎩⎨⎧a 2－b 2＋4a ＋6＝0，2a ＋4＝0，
解得a ＝－2，b ＝± 2.
所以x ＝－2±2i ，
即方程x 2＋4x ＋6＝0的根为x ＝－2±2i.
在复数范围内，实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求解方法
(1)求根公式法
①当Δ≥0时，x ＝－b ±b 2－4ac 2a
. ②当Δ<0时，x ＝－b ±－（b 2－4ac ）i 2a
. (2)利用复数相等的定义求解
设方程的根为x ＝m ＋n i(m ，n ∈R )，将此代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．
7．3* 复数的三角表示
1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值
一般地，任何一个复数z ＝a ＋b i 都可以表示成r (cos θ＋isin θ)的形式，
其中，r 是复数z 的模；θ是以x 轴的非负半轴为始边，向量OZ
→所在射线(射线OZ →)为终边的角，叫做复数z ＝a ＋b i 的辐角，我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ
的值为辐角的主值，通常记作arg z .r (cos θ＋isin θ)叫做复数z ＝a ＋b i 的三角表示式，简称三角形式．a ＋b i 叫做复数的代数表示式，简称代数形式．
■名师点拨
(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．
(2)复数0的辐角是任意的．
(3)在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z ，且0≤arg z ＜2π.
(4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
2．复数三角形式的乘、除运算
若复数z 1＝r 1(cos θ1＋isin θ1)，z 2＝r 2(cos θ2＋isin θ2)，且z 1≠z 2，则
(1)z 1z 2＝r 1(cos θ1＋isin θ1)·r 2(cos θ2＋isin θ2)
＝r 1r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．
(2)z 1z 2＝r 1（cos θ1＋isin θ1）r 2（cos θ2＋isin θ2）
＝r 1r 2
[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]． 即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．
典型应用1
复数的代数形式与三角形式的互化
角度一 代数形式化为三角形式
把下列复数的代数形式化成三角形式： (1)3＋i ； (2)2－2i.
【解】 (1)r ＝3＋1＝2，因为3＋i 对应的点在第一象限，
所以cos θ＝32，即θ＝π6，
所以3＋i ＝2⎝
⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6.
(2)r ＝2＋2＝2，cos θ＝22，
又因为2－2i 对应的点位于第四象限，
所以θ＝7π4.
所以2－2i ＝2⎝
⎛⎭⎪⎫cos 7π4＋isin 7π4.
复数的代数形式化三角形式的步骤
(1)先求复数的模．
(2)决定辐角所在的象限．
(3)根据象限求出辐角．
(4)求出复数的三角形式．
[提醒] 一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值这既使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值．
角度二 三角形式化为代数形式
分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式．
(1)4⎝
⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6； (2)32(cos 60°＋isin 60°)；
(3)2⎝
⎛⎭⎪⎫cos π3－isin π3. 【解】 (1)复数4⎝
⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6的模r ＝4，辐角的主值为θ＝π6. 4⎝
⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6＝4cos π6＋4isin π6 ＝4×32＋4×12i ＝23＋2i. (2)32(cos 60°＋isin 60°)的模r ＝32，辐角的主值为θ＝60°.
32(cos 60°＋isin 60°)＝32×12＋32×32i
＝34＋34i.
(3)2⎝
⎛⎭⎪⎫cos π3－isin π3 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＋isin ⎝
⎛⎭⎪⎫2π－π3 ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫cos 53π＋isin 53π. 所以复数的模r ＝2，辐角的主值为53π.
2⎝ ⎛⎭
⎪⎫cos 53π＋isin 53π＝2cos 53π＋2isin 53π ＝2×12＋2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32i ＝1－3i.
复数的三角形式z ＝r (cos θ＋isin θ)必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i 跟sin ”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，如本例(3)．
典型应用2
复数三角形式的乘、除运算
计算：
(1)8⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 43π＋isin 43π×4⎝ ⎛⎭
⎪⎫cos 56π＋isin 56π； (2)3(cos 225°＋isin 225°)÷[2(cos 150°＋isin 150°)]；
(3)4÷⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4. 【解】 (1)8⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 43π＋isin 43π×4⎝ ⎛⎭
⎪⎫cos 56π＋isin 56π ＝32⎣⎢⎡⎦
⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫43π＋56π＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43π＋56π ＝32⎝ ⎛⎭
⎪⎫cos 136π＋isin 136π ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6
＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i ＝163＋16i.
(2)3(cos 225°＋isin 225°)÷[2(cos 150°＋isin 150°)]
＝32
[cos(225°－150°)＋isin(225°－150°)] ＝62(cos 75°＋isin 75°)
＝62⎝ ⎛⎭
⎪⎫6－24＋6＋24i ＝6－238＋6＋238i
＝3－34＋3＋34i.
(3)4÷⎝
⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4 ＝4(cos 0＋isin 0)÷⎝
⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4 ＝4⎣⎢⎡⎦
⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4 ＝22－22i.
(1)乘法法则：模相乘，辐角相加．
(2)除法法则：模相除，辐角相减．
(3)复数的n 次幂，等于模的n 次幂，辐角的n 倍．
典型应用3
复数三角形式乘、除运算的几何意义
在复平面内，把复数3－3i 对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转π3，求所得向量对应的复数．
【解】 因为3－3i ＝23⎝ ⎛⎭
⎪⎫32－12i ＝23⎝ ⎛⎭
⎪⎫cos 116π＋isin 116π
所以23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 116π＋isin 116π×⎝ ⎛⎭
⎪⎫cos π3＋isin π3 ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫116
π＋π3 ＝23⎝ ⎛⎭
⎪⎫cos 136π＋isin 136π ＝23⎝
⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6 ＝3＋3i ， 23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 116π＋isin 116π×⎣⎢⎡⎦
⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3 ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π－π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫116
π－π3 ＝23⎝ ⎛⎭
⎪⎫cos 32π＋isin 32π ＝－23i.
故把复数3－3i 对应的向量按逆时针旋转π3得到的复数为3＋3i ，按顺时
针旋转π3
得到的复数为－23i.
两个复数z 1，z 2相乘时，先分别画出与z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2
→，然后把向量OZ 1→绕点O 按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把OZ 1
→绕点O 按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r 2倍，得到向量OZ
→，OZ →表示的复数就是积z 1z 2.。