河北省廊坊市高二数学下学期期中试卷 理(含解析)-人教版高二全册数学试题

2016-2017学年河北省廊坊市高二（下）期中数学试卷（理科）
一、选择题（共12道题，每题5分，共60分）
1．复数等于（）
A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i
2．若y=lnx，则其图象在x=2处的切线斜率是（）
A．1 B．C．2 D．0
3．下列各式中正确的是（）
A．（log a x）′=B．（log a x）′= C．（3x）′=3x D．（3x）′=3x ln3
4．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2+y′2=0，则曲线C的方程为（）
A．25x2+9y2=0 B．25x2+9y2=1 C．9x2+25y2=0 D．9x2+25y2=1
5．函数y=x﹣e x的增区间为（）
A．（1，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，1）
6．若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y﹣8=0垂直，则l的方程是（）
A．4x﹣y﹣3=0 B．x+4y﹣5=0 C．4x﹣y+3=0 D．x+4y+3=0
7．己知f（x）=﹣x3﹣x，x∈[m，n]，且f（m）•f（n）＜0，则方程f（x）=0在区间[m，n]上（）
A．至少有三个实数根 B．至少有两个实根
C．有且只有一个实数根D．无实根
8．如图，阴影部分的面积为（）
A．2 B．2﹣C．D．
9．若圆的方程为（θ为参数），直线的方程为（t为参数），则直
线与圆的位置关系是（）
A．相交过圆心B．相交但不过圆心
C．相切 D．相离
10．数列1，，，，，，，，，，…的前100项的和等于（）A．B．C．D．
11．设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）A．（﹣3，0）∪（3，+∞）B．（﹣3，0）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）
12．已知a≥0，函数f （x）=（x2﹣2ax）e x，若f （x）在[﹣1，1]上是单调减函数，则a 的取值范围是（）
A．（0，） B．（，）C．（0，） D．[，+∞）
二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）
13．直角坐标P（﹣1，1）的极坐标为（ρ＞0，0＜θ＜π）．
14．观察下列等式：
①sin210°+cos240°+sin10°cos40°=；
②sin26°+cos236°+sin6°cos36°=．
由上面两题的结构规律，你是否能提出一个猜想？并证明你的猜想．
15．函数f（x）的定义域为R，且满足f（2）=2，f′（x）﹣1＞0，则不等式f（x）﹣x ＞0的解集为．
16．设曲线y=x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，令a n=lgx n，则a1+a2+…+a99的值为．
三．解答题（每题12分，共计70分）
17．已知圆O的参数方程为（θ为参数，0≤θ＜2π）．
（1）求圆心和半径；
（2）若圆O上点M对应的参数θ=，求点M的坐标．
18．己知下列三个方程x2+4ax﹣4a+3=0，x2+（a﹣1）x+a2=0，x2+2ax﹣2a=0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．
19．直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程
为ρ=4cosθ，直线l的方程为（t为参数），直线l与曲线C的公共点为T．
（1）求点T的极坐标；
（2）过点T作直线l1，若l1被曲线C截得的线段长为2，求直线l1的极坐标方程．20．设函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax+8，其中a∈R．
（1）若f（x）在x=3处取得极值，求常数a的值；
（2）若f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，求a的取值范围．
21．已知数列{a n}满足a1=a，a n+1=（n∈N*）．
（1）求a2，a3，a4；
（2）猜测数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．
22．已知函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0．
（1）求a的值；
（2）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求实数k的最小值；
（3）证明：（n∈N*）．
2016-2017学年河北省廊坊市固安三中高二（下）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12道题，每题5分，共60分）
1．复数等于（）
A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用两个向量的乘法法则化简．
【解答】解：复数===2+i，
故选C．
2．若y=lnx，则其图象在x=2处的切线斜率是（）
A．1 B．C．2 D．0
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出函数的导数，然后求解切线的斜率．
【解答】解：y=lnx，可得：y′=，则其图象在x=2处的切线斜率．
故选：B．
3．下列各式中正确的是（）
A．（log a x）′=B．（log a x）′= C．（3x）′=3x D．（3x）′=3x ln3
【考点】63：导数的运算．
【分析】根据题意，由导数的计算公式可得（log a x）′=，（3x）′=3x ln3，分析选项即可得答案．
【解答】解：根据题意，对于函数y=log a x，其导数y′=，
则A、B均错误；
对于函数y=3x，其导数y′=3x ln3，
则C错误，D正确；
故选：D．
4．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2+y′2=0，则曲线C的方程为（）
A．25x2+9y2=0 B．25x2+9y2=1 C．9x2+25y2=0 D．9x2+25y2=1
【考点】Q5：平面直角坐标轴中的伸缩变换．
【分析】把变换公式代入x′2+y′2=0即可得出变换前的曲线方程．
【解答】解：把代入方程x′2+y′2=0，得25x2+9y2=0，
∴曲线C的方程为25x2+9y2=0．
故选A．
5．函数y=x﹣e x的增区间为（）
A．（1，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，1）
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．
【解答】解：函数的导数f′（x）=1﹣e x，
由f′（x）＞0得f′（x）=1﹣e x＞0，即e x＜1即x＜0，
即函数的单调递增区间为（﹣∞，0），
故选：C．
6．若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y﹣8=0垂直，则l的方程是（）
A．4x﹣y﹣3=0 B．x+4y﹣5=0 C．4x﹣y+3=0 D．x+4y+3=0
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】欲求l的方程，根据已知条件中：“切线l与直线x+4y﹣8=0垂直”可得出切线的斜率，故只须求出切点的坐标即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切点坐标．从而问题解决．
【解答】解：设与直线x+4y﹣8=0垂直的直线l为：4x﹣y+m=0，
即曲线y=x4在某一点处的导数为4，
而y′=4x3，∴y=x4在（1，1）处导数为4，
将（1，1）代入4x﹣y+m=0，得m=﹣3，
故l的方程为4x﹣y﹣3=0．
故选A．
7．己知f（x）=﹣x3﹣x，x∈[m，n]，且f（m）•f（n）＜0，则方程f（x）=0在区间[m，n]上（）
A．至少有三个实数根 B．至少有两个实根
C．有且只有一个实数根D．无实根
【考点】52：函数零点的判定定理．
【分析】先根据导数判断函数f（x）在区间[m，n]上单调减，再由零点的判定定理可得答案．
【解答】解：∵f′（x）=﹣3x2﹣1＜0，
∴f（x）在区间[m，n]上是减函数，又f（m）•f（n）＜0，
故方程f（x）=0在区间[m，n]上有且只有一个实数根．
8．如图，阴影部分的面积为（）
A．2 B．2﹣C．D．
【考点】6G：定积分在求面积中的应用．
【分析】确定积分区间与被积函数，求出原函数，即可求得定积分．
【解答】解：由题意阴影部分的面积等于（3﹣x2﹣2x）dx
=（3x﹣x3﹣x2）|=（3﹣﹣1）﹣（﹣9+9﹣9）=，
故选：C
9．若圆的方程为（θ为参数），直线的方程为（t为参数），则直线与圆的位置关系是（）
A．相交过圆心B．相交但不过圆心
C．相切 D．相离
【考点】QK：圆的参数方程．
【分析】根据题意，将圆和直线的参数方程变形为普通方程，分析可得圆心不在直线上，再利用点到直线的距离公式计算可得圆心（﹣1，3）到直线y﹣3x﹣2=0的距离d＜2，得到直线与圆的位置关系为相交．
【解答】解：根据题意，圆的参数方程为，则圆的普通方程为：（x+1）2+（y﹣3）2=4，
其圆心坐标为（﹣1，3），半径为2，
直线的参数方程为，则直线的普通方程为：（y+1）=3（x+1），即y﹣3x﹣2=0，圆心不在直线上，
且圆心（﹣1，3）到直线y﹣3x﹣2=0的距离d==＜2，
即直线与圆相交，
故选：B．
10．数列1，，，，，，，，，，…的前100项的和等于（）A．B．C．D．
【考点】8E：数列的求和．
【分析】由于数列中，1有一项，和为1，有两项，和为1，前100项中，有13项，和为1，，代入求出前100项的和．
【解答】解：
=1×
故选A．
11．设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）A．（﹣3，0）∪（3，+∞）B．（﹣3，0）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】先根据f’（x）g（x）+f（x）g’（x）＞0可确定[f（x）g（x）]'＞0，进而可得到f（x）g（x）在x＜0时递增，结合函数f（x）与g（x）的奇偶性可确定f（x）g（x）在x＞0时也是增函数，最后根据g（﹣3）=0可求得答案．
【解答】解：设F（x）=f （x）g（x），当x＜0时，
∵F′（x）=f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＞0．
∴F（x）在当x＜0时为增函数．
∵F（﹣x）=f （﹣x）g （﹣x）=﹣f （x）•g （x）=﹣F（x）．
故F（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．
∴F（x）在（0，+∞）上亦为增函数．
已知g（﹣3）=0，必有F（﹣3）=F（3）=0．
构造如图的F（x）的图象，可知
F（x）＜0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．
故选D
12．已知a≥0，函数f （x）=（x2﹣2ax）e x，若f （x）在[﹣1，1]上是单调减函数，则a 的取值范围是（）
A．（0，） B．（，）C．（0，） D．[，+∞）
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】求出原函数的导函数，由导函数在[﹣1，1]上小于等于0恒成立可得x2+2（1﹣a）x﹣2a≤0对x∈[﹣1，1]恒成立．转化为关于a的不等式组求解．
【解答】解：由f （x）=（x2﹣2ax）e x，得f′（x）=（2x﹣2a）e x+（x2﹣2ax）e x=e x（x2﹣2ax+2x﹣2a）．
∵f （x）在[﹣1，1]上是单调减函数，
∴f′（x）=e x（x2﹣2ax+2x﹣2a）≤0对x∈[﹣1，1]恒成立．
即x2+2（1﹣a）x﹣2a≤0对x∈[﹣1，1]恒成立．
∴，解得a．
∴a的取值范围是[，+∞）．
故选：D．
二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）
13．直角坐标P（﹣1，1）的极坐标为（ρ＞0，0＜θ＜π）．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．
【分析】利用ρ=，tanθ=，且0＜θ＜π，即可得出点P的极坐标．
【解答】解：ρ==，tanθ==﹣1，且0＜θ＜π，∴θ=．
∴点P的极坐标为．
故答案为：．
14．观察下列等式：
①sin210°+cos240°+sin10°cos40°=；
②sin26°+cos236°+sin6°cos36°=．
由上面两题的结构规律，你是否能提出一个猜想？并证明你的猜想．
【考点】F1：归纳推理．
【分析】由①②可看出，两角差为30°，则它们的相关形式的函数运算式的值均为．猜想：若β﹣α=30°，则β=30°+α，sin2α+cos2β+sinαcosβ=．
【解答】解：由①②可看出，两角差为30°，则它们的相关形式的函数运算式的值均为．
猜想：若β﹣α=30°，则β=30°+α，
sin2α+cos2β+sinαcosβ=，
也可直接写成sin2α+cos2（α+30°）+sinαcos（α+30°）=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
下面进行证明：
左边=++sinαcos（α+30°）
=++sinα（cosα•cos30°﹣sinαsin30°）
=﹣cos2α++cos2α﹣sin2α+sin2α﹣
==右边．
故sin2α+cos2（α+30°）+sinαcos（α+30°）=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
15．函数f（x）的定义域为R，且满足f（2）=2，f′（x）﹣1＞0，则不等式f（x）﹣x ＞0的解集为（2，+∞）．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】令g（x）=f（x）﹣x，则g′（x）=f′（x）﹣1，由已知可判断函数g（x）的单调性及g（x）=0时的x值，由此不等式可解．
【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x，则g′（x）=f′（x）﹣1，
由f′（x）＞1，得g′（x）＞0，所以g（x）在R上为增函数，
又g（2）=f（2）﹣2=2﹣2=0，
所以当x＞2时，g（x）＞g（2）=0，即f（x）﹣x＞0，也即f（x）＞x．
所以不等式f（x）＞x的解集是（2，+∞）．
故答案为：（2，+∞）．
16．设曲线y=x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，令a n=lgx n，则a1+a2+…+a99的值为﹣2 ．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；8E：数列的求和．
【分析】由曲线y=x n+1（n∈N*），知y′=（n+1）x n，故f′（1）=n+1，所以曲线y=x n+1（n
∈N*）在（1，1）处的切线方程为y﹣1=（n+1）（x﹣1），该切线与x轴的交点的横坐标为x n=，故a n=lgn﹣lg（n+1），由此能求出a1+a2+…+a99．
【解答】解：∵曲线y=x n+1（n∈N*），
∴y′=（n+1）x n，∴f′（1）=n+1，
∴曲线y=x n+1（n∈N*）在（1，1）处的切线方程为y﹣1=（n+1）（x﹣1），
该切线与x轴的交点的横坐标为x n=，
∵a n=lgx n，
∴a n=lgn﹣lg（n+1），
∴a1+a2+…+a99
=（lg1﹣lg2）+（lg2﹣lg3）+（lg3﹣lg4）+（lg4﹣lg5）+（lg5﹣lg6）+…+（lg99﹣lg100）=lg1﹣lg100=﹣2．
故答案为：﹣2．
三．解答题（每题12分，共计70分）
17．已知圆O的参数方程为（θ为参数，0≤θ＜2π）．
（1）求圆心和半径；
（2）若圆O上点M对应的参数θ=，求点M的坐标．
【考点】QH：参数方程化成普通方程．
【分析】（1）圆O的参数方程消去参数，得圆的普通方程，由此能求出圆心和半径．
（2）当θ=π时，x=2cos θ=1，y=2sin θ=﹣．由此能求出点M的坐标．
【解答】解：（1）∵圆O的参数方程为（θ为参数，0≤θ＜2π）．
∴平方得圆的普通方程为x2+y2=4，
∴圆心O（0，0），半径r=2．…
（2）当θ=π时，x=2cos θ=1，y=2sin θ=﹣．
∴点M的坐标为（1，﹣）．…
18．己知下列三个方程x2+4ax﹣4a+3=0，x2+（a﹣1）x+a2=0，x2+2ax﹣2a=0至少有一个方程
有实根，求实数a的取值范围．
【考点】R9：反证法与放缩法．
【分析】至少有一个方程有实根的对立面是三个方程都没有根，由于正面解决此问题分类较多，而其对立面情况单一，故求解此类问题一般先假设没有一个方程有实数根，然后由根的判别式解得三方程都没有根的实数a的取值范围，其补集即为个方程 x2+4ax﹣4a+3=0，x2+（a﹣1）x+a2=0，x2+2ax﹣2a=0至少有一个方程有实根成立的实数a的取值范围．此种方法称为反证法
【解答】解：假设没有一个方程有实数根，则：
16a2﹣4（3﹣4a）＜0（1）
（a﹣1）2﹣4a2＜0（2）
4a2+8a＜0（3）
解之得：＜a＜﹣1
故三个方程至少有一个方程有实根的a的取值范围是：{a|a≥﹣1或a≤}．
19．直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程
为ρ=4cosθ，直线l的方程为（t为参数），直线l与曲线C的公共点为T．
（1）求点T的极坐标；
（2）过点T作直线l1，若l1被曲线C截得的线段长为2，求直线l1的极坐标方程．
【考点】QJ：直线的参数方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）先将曲线C的极坐标方程化成直角坐标方程，再将直线的参数方程代入直角坐标方程，然后求出交点T的直角坐标，最后化成极坐标即可．
（2）设直线l'的方程，由（1）得曲线C是以（2，0）为圆心的圆，且圆心到直线l'的距离为．利用圆的弦长公式结合点到直线的距离列出等式，求出K值，得直线l'的方程，最后将其化成极坐标方程即可．
【解答】解：（1）曲线C的直角坐标方程为x2﹣4x+y2=0．…．
将代入上式并整理得．
解得．∴点T的坐标为．…．
其极坐标为…
（2）设直线l'的方程为．…．
由（Ⅰ）得曲线C是以（2，0）为圆心的圆，且圆心到直线l'的距离为．
则，．解得k=0，或．
直线l'的方程为，或．…．
其极坐标方程为（ρ∈R）．…
20．设函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax+8，其中a∈R．
（1）若f（x）在x=3处取得极值，求常数a的值；
（2）若f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，求a的取值范围．
【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求出f′（x），由x=3取得极值得到f'（3）=0，求解得到a的值即可；（2）因为函数在（﹣∞，0）上为增函数令f'（x）=0得到函数的驻点，由a的取值范围研究函数的增减性得到函数为增函数时a的范围即可．
【解答】解：（1）f'（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a=6（x﹣a）（x﹣1）．
因f（x）在x=3取得极值，所以f'（3）=6（3﹣a）（3﹣1）=0．解得a=3．
经检验知当a=3时，x=3为f（x）为极值点．
（2）令f'（x）=6（x﹣a）（x﹣1）=0得x1=a，x2=1．
当a＜1时，若x∈（﹣∞，a）∪（1，+∞），则f'（x）＞0，所以f（x）在（﹣∞，a）和（1，+∞）上为增
函数，故当0≤a＜1时，f（x）在（﹣∞，0）上为增函数．
当a≥1时，若x∈（﹣∞，1）∪（a，+∞），则f'（x）＞0，所以f（x）在（﹣∞，1）和（a，+∞）上为增函
数，从而f（x）在（﹣∞，0]上也为增函数．
综上所述，当a∈[0，+∞）时，f（x）在（﹣∞，0）上为增函数．
21．已知数列{a n}满足a1=a，a n+1=（n∈N*）．
（1）求a2，a3，a4；
（2）猜测数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．
【考点】RG：数学归纳法；8H：数列递推式．
【分析】（1）由a n+1=，可求a2，a3，a4；
（2）猜测a n=（n∈N*），再用数学归纳法证明．
【解答】解：（1）由a n+1=，可得a2==，a3===，a4===．
（2）猜测a n=（n∈N*）．
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，左边=a1=a，
右边==a，猜测成立．
②假设当n=k（k∈N*）时猜测成立，
即a k=．
则当n=k+1时，a k+1==
==．
故当n=k+1时，猜测也成立．
由①，②可知，对任意n∈N*都有a n=成立．
22．已知函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0．
（1）求a的值；
（2）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求实数k的最小值；
（3）证明：（n∈N*）．
【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，求得函数的最小值，利用函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，即可求得a的值；
（2）当k≤0时，取x=1，有f（1）=1﹣ln2＞0，故k≤0不合题意；当k＞0时，令g（x）=f（x）﹣kx2，即g（x）=x﹣ln（x+1）﹣kx2，求导函数，令g′（x）=0，可得x1=0，，分类讨论：①当k≥时，，g（x）在（0，+∞）上单调递减，g（x）≤g（0）=0；②当0＜k＜时，，对于，g′（x）＞0，因此g（x）在上单调递增，由此可确定k的最小值；
（3）当n=1时，不等式左边=2﹣ln3＜2=右边，不等式成立；当n≥2时，
，在（2）中，取k=，得f（x）≤x2，从而可得
，由此可证结论．
【解答】（1）解：函数的定义域为（﹣a，+∞），求导函数可得
令f′（x）=0，可得x=1﹣a＞﹣a
令f′（x）＞0，x＞﹣a可得x＞1﹣a；令f′（x）＜0，x＞﹣a可得﹣a＜x＜1﹣a
∴x=1﹣a时，函数取得极小值且为最小值
∵函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，
∴f（1﹣a）=1﹣a﹣0，解得a=1
（2）解：当k≤0时，取x=1，有f（1）=1﹣ln2＞0，故k≤0不合题意
当k＞0时，令g（x）=f（x）﹣kx2，即g（x）=x﹣ln（x+1）﹣kx2，
求导函数可得g′（x）=
g′（x）=0，可得x1=0，
①当k≥时，，g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，因此g（x）在（0，+∞）上单调递减，从而对任意的x∈[0，+∞），总有g（x）≤g（0）=0，即对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立；
②当0＜k＜时，，对于，g′（x）＞0，因此g（x）在
上单调递增，
因此取时，g（x0）≥g（0）=0，即有f（x0）≤kx02不成立；
综上知，k≥时对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，k的最小值为
（3）证明：当n=1时，不等式左边=2﹣ln3＜2=右边，所以不等式成立
当n≥2时，
在（2）中，取k=，得f（x）≤x2，∴（i ≥2，i∈N*）．
∴=f（2）+＜2﹣ln3+=2﹣ln3+1﹣＜2
综上，（n∈N*）．。