高二数学暑假补充练习 单元检测十一 综合试卷(1) 试题

高二数学暑假自主学习单元检测十一
综合试卷（1）
一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分． 1．已知集合{}
{}2|23,|1A x Z x x B x x =∈-<=≤，则A B =.
2．复数2＋i
1－2i
的共轭复数是.
3．已知直线l 的倾斜角为34
π,直线1l 经过点A (3,2)、B (a ,-1),且1l 与l 垂直,直线
2l :2x +by +1=0
与直线1l 平行,则a +b 等于.
4．已知命题p :x ∃∈R 2
20x ax a ,++≤.若命题p 是假命题,则实数a 的取值X 围是. 5．经问卷调查,某班学生对摄影分别执“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度,其中执“一般”态度的
比执“不喜欢”态度的多12人,按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影,如果选出的是
5位”喜欢”摄影的同学,1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学,那么全班学生中
“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多人.
6．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等 于.
7．某篮球队6名队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如 下表所示:
如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球 总数的流程图,则图中判断框应填.
第7题
第9题图
8．已知0<a <1,方程x a ||
=|log a x |的实根的个数是. 9．直线l 与函数sin y x =([0]x ∈π, )的图象相切于点A ， 且l ∥OP ，O 为坐标原点，P 为图象的极值点，直线l 与x 轴交于点B ，过切点A 作x 轴的垂线，垂足为C ， 则BA BC ⋅=.
10．设11(1n n b qb q n +=-+=,2,…),|q |>1,若数列{n b }有连续四项在集合
{-53,-23,19,37,82}中，则6q =.
11．已知三棱锥A BCO -，,,OA OB OC 两两垂直且长度分别为3、4、5，长为2的线段MN 的
一个端点M 在棱OA 上运动，另一个端点N 在BCO ∆内运动（含边界），则MN 的中点
P
的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的较小的体积为. 12．设函数()2x
f x x x =⋅+,0A 为坐标原点,n A 为
函数()y f x =图像上横坐标为*
()n n N ∈ 的点， 向量11
n
n k k k A A -==
∑a ,(1,0)=i ,设n θ为n a 与i 的
夹角,则
1
tan n
k
k θ
=∑=.
13．已知A 、B 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>和双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的公共顶点．
P 是双曲线上的动点，M 是椭圆上的动点（P 、M 都异于A 、B ）
，且满足 ()AP BP AM BM λ+=+，其中R λ∈，设直线AP 、BP 、AM 、BM 的斜率分别记
为1k 、2k 、3k 、4k , 125k k +=,则34k k +=. 14．已知,,x y z 均为正实数，则
222
1612xy yz
x y z +++的最大值为.
二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)
O
A
B
M N
C
P
• 第11题图
已知函数2()cos cos 444x x x
f x =+．
（1）若()1f x =，求2cos(
)3
x π
-的值； （2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足1
cos 2a C c b +=，求()
f B 的取值X 围．
16．(本小题满分14分)
如图，已知三棱锥P —ABC 中，AP ⊥PC ， AC ⊥BC ，M 为AB 中点，D 为PB 中点， 且△PMB 为正三角形． （1）求证：DM ∥平面APC ； （2）求证：平面ABC ⊥平面APC ；
（3）若BC =4，AB =20，求三棱锥D -BCM 的体积．
17．(本小题满分14分)
如图，将边长为3的正方形ABCD 绕中心O 顺时针旋转α(0＜α＜
π
2)得到正方形A ′B ′C ′D ′．根据平面几何知识，有以下两个结论：
①∠A ′FE ＝α；②对任意α(0＜α＜π
2)，△EAL ，△EA ′F ，△GBF ，△GB ′H ，△ICH ，△IC ′J ，
△KDJ ，△KD ′L 均是全等三角形．
（1）设A ′E ＝x ，将x 表示为α的函数；
（2）试确定α，使正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 重叠部分 面积最小，并求最小面积．
第16题
P
A
M
B
C D
18．(本小题满分16分)
如图，,A B 是椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右顶点，M 是椭圆上异于,A B 的
任
意一点，已知椭圆的离心率为e ，右准线l 的方程为x m =. （1）若1
2
e =
，4m =，求椭圆C 的方程； （2）设直线AM 交l 于点P ，以MP 为直径的圆交MB 于Q ，若直线PQ 恰过原点，求e .
19．(本小题满分16分)
设()ln a
f x x x x
=
+， 32()3g x x x =--． （1）当2a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；
（2）如果存在12,[0,2]x x ∈，使得12()()g x g x M -≥成立，求满足上述条件的最大整数
M ；
（3）如果对任意的1,[,2]2
s t ∈，都有()()f s g t ≥成立，某某数a 的取值X 围的取值X 围.
第18题图
20．(本小题满分16分)
已知数列{}n a 中，121,()a a a a Z ==∈, 112113()().
n n n n n n n n n a a a a a a a a a +++++-⋅⎧=⎨+⋅⎩为偶数，为奇数
（1）若2a =，求数列{}n a 的前6项和；
（2）是否存在k N *
∈，使12,,k k k a a a ++成等比数列？并说明理由.
高二数学暑假自主学习单元检测十一参考答案
一、填空题： 1．答案：{}0,1
2．答案：－i 解析：2＋i 1－2i
＝
i －2i ＋11－2i ＝i ，∴2＋i
1－2i
的共轭复数为－i.
3．答案：-2解析：l 的斜率为-1,则1l 的斜率为2(1)
113AB k a
--,==,-a 1l ∥2212l b b ,-=,=-,
所以a +b =-2.
4．答案：0<a <1 解析：p
为假,即”x ∀∈R 2
20x ax a ,++>”为
第9题图
真,∴∆=2
4a -4a <0,∴0<a <1.
5．答案：3解析：设全班人数为n,由题意,知311299
n n -=,得n=54.“喜欢”摄影的学生人
数有5549
⨯=30人,全班人数一半为27,所以“喜欢”摄影的学生人数比全班人数的一半还多
3人.
6．答案：1
5解析：假设正六边形的6个顶点分别为A 、B 、C 、D 、E 、F ，则从6个顶点中任取
4个顶点共有15种结果，以所取4个点作为顶点的四边形是矩形的有3种结果，故所求概率为15
. 7．答案：6i ≤(7i <)解析：因为是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的流程图,所以图中判断框应填6i ≤.
8．答案：2解析：设x y a y ||
=,=|log a x |,考察其图象交点的个数即可.
9．答案：214π- 解析：如图，(1)P π2, 为极值点，2
OP k =π
．
设点A (x 0，sin x 0)，则过点A 的切线l 的斜率为02
cos x =π
．
于是，直线l 的方程为002
sin ()y x x x -=-π．
令y =0，得00sin 2x x x π-=，从而BC =00sin 2
x x x π
-=．
BA BC ⋅=cos BA BC ABC ⋅⋅=BC 2
=2
0(sin )2
x π2224(1)144=ππ=--π．
10．答案：-9解析：由题意可知,11n n b qb q +=-+,11(1)n n b q b +-=-,∴{1n b -}是公比为q 的等比数列,且有连续四项在集合{-54, -24,18,36,81}中,四项-24,36, --54,81成等比数列,公比为q =-3692
q ,=-.
11．答案：
6
π解析：由题意知； 1
12OP MN ==,所以点P 的轨迹以O 为球心半径为1的球的
1
8
，3141.836V ππ∴==
12．答案：1
2
2n n ++-
解析：0(,2)n n n A A n n n ==⋅+a ,n θ即为向量0n A A 与x 轴的夹角,所以tan 21n
n θ=+,
所以211
tan (22...2)22n
n n k
k n n θ
+==++++=+-∑.
13．答案：5-解析：设(,)P m n 、(,)M s t ，22221m n a b -=，2222
2a n m a b
-=，
222
21s t a b +=，2222
2a t s a b
-=-，由()AP BP AM BM λ+=+. 得OP OM λ=，即n t
m s =. 21222
22225n n mn mnb k k m a m a m a n a +=+===+--， 2225n b m a ∴=，2222
34222222222225..52t t st stb b s b a k k s a s a s a a t a t a b
+=+==-=-=-=-+--. 14．答案：10解析：已知,,x y z 均为正实数，
2222
222222
222222
32181010161210()5510.x y z y xy yz
x y z x y z x y z x y z +
+++++∴
≤
==++++++
二、解答题：
15．解：（1）f (x )＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin(x 2＋π6)＋12
．………… 3分
由f (x )＝1，可得sin(x 2＋π6)＝1
2，
解法一：令θ＝x 2＋π6，则x ＝2θ－π
3
．
cos(2π3－x )＝cos(π－2θ)＝－cos2θ＝2sin 2
θ－1＝－12
． (6)
分
解法二：x 2＋π6＝2k π＋π6，或x 2＋π6＝2k π＋5π
6
，k ∈Z ．
所以x ＝4k π，或x ＝4k π＋
4π
3
，k ∈Z ． 当x ＝4k π，k ∈Z 时，cos(2π3－x )＝cos 2π3＝－1
2；
当x ＝4k π＋
4π3，k ∈Z 时，cos(2π3－x )＝cos(－2π3)＝－1
2
； 所以cos(2π3－x )＝－1
2
．
………………… 6分
（2）解法一：由a cos C ＋1
2
c ＝b ，得
a ·a 2＋
b 2－
c 22ab ＋12
c ＝b , 即b 2＋c 2－a 2＝bc ，
所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1
2
．
因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，B ＋C ＝2π
3． ………………… 10分
所以0＜B ＜2π3，所以π6＜B 2＋π6＜π
2
，
所以f (x )＝sin(B 2＋π6)＋12∈(1，3
2
)． (14)
分
解法二：由a cos C ＋1
2
c ＝b ，得
sin A cos C ＋1
2sin C ＝sin B ．
因为在△ABC 中，sin B ＝sin(A ＋C )，
所以sin A cos C ＋12sin C ＝sin(A ＋C )，sin A cos C ＋1
2sin C ＝sin A cos C ＋cos A sin C ，
所以1
2sin C ＝cos A sin C ，
又因为sin C ≠0，所以cos A ＝1
2
．
因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，B ＋C ＝2π
3． ………………… 10分
所以0＜B ＜2π3，所以π6＜B 2＋π6＜π
2
，
所以f (x )＝sin(B 2＋π6)＋12∈(1，3
2
)． ………………… 14分
16．证明：（1）由已知得，MD 是∆ABP 的中位线 ∴AP MD ∥
APC AP APC MD 面面⊂⊄,
∴APC MD 面∥ ………4分
（2）PMB ∆ 为正三角形，D 为PB 的中点
∴PB MD ⊥，∴PB AP ⊥
又
,AP PC PB
PC P ⊥=∴PBC AP 面⊥
PBC BC 面⊂ ∴BC AP ⊥
又
,BC AC AC
AP A ⊥=APC BC 面⊥∴
ABC BC 面⊂ ∴平面ABC⊥平面APC ……………9分
（3）由题意可知，PBC MD 面⊥，∴MD 是三棱锥D -BCM 的高，
∴7103
1
==-Sh V DBC M …………14分
17.解：（1）在Rt △EA ′F 中，因为∠A ′FE ＝α，A ′E ＝x ，
所以EF ＝x sin α，A ′F ＝x
tan α ．
由题意AE ＝A ′E ＝x ，BF ＝A ′F ＝x tan α
，
所以AB ＝AE ＋EF ＋BF ＝x ＋
x
sin α＋x
tan α
＝3．
所以x ＝3sin α1＋sin α＋cos α，α∈(0，π
2
) (6)
分
（2）S △A ′EF ＝12•A ′E •A ′F ＝12•x •x tan α＝x
2
2tan α
＝(
3sin α1＋sin α＋cos α)2•cos α2sin α＝9sin αcos α2(1＋sin α＋cos α)
2． ………………… 9分
令t ＝sin α＋cos α，则sin αcos α＝
t 2－1
2
．
因为α∈(0，π2)，所以α＋π4∈(π4，3π4)，所以t ＝2sin(α＋π
4)∈(1，2]．
S △A ′EF ＝9(t 2
－1)4(1＋t )2＝94(1－
2t ＋1)≤94(1－2
2＋1
)． 正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 重叠部分面积
S ＝S 正方形A ′B ′C ′D ′－4S △A ′EF ≥9－9 (1－
22＋1
)＝18(2－1)．
当t ＝2，即α＝π
4
时等号成立． ………………… 14分
18．解：（1）由题意：2
222124c a a
c a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=
+⎪⎩
，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩
∴椭圆C 的方程为22
143
x y +=． ………………………………6分
D'
(2)设2
(,),(,)a M x y P c
β，因为,,A M P 三点共线，
所以
2
2
(),a y a y c a
x a x a
a c
ββ+=⇒=+++……………………………9分 2
2222()
()1()()
OP BM
a cy a y y a c c k k a x a x a a x a ++∴-==⋅=
+--2222233
()()()0b a c a c a c c ac a a a
+-+==⇒+-=-- 210e e ∴+-=,
解得e =
.……………………………16分 19．解：（1）当2a =时，2()ln f x x x x =
+，22
'()ln 1f x x x
=-++， (1)2f =，'(1)1f =-，
所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为3y x =-+；…………………………5分
（2）存在12,[0,2]x x ∈，使得12()()g x g x M -≥成立
等价于：12max [()()]g x g x M -≥，
考察3
2
()3g x x x =--，2
2'()323()3
g x x x x x =-=-，
由上表可知：min max 285
()(),()(2)13
27
g x g g x g ==-
==， 12max
max min 112
[()()]()()27
g x g x g x g x -=-=， 所以满足条件的最大整数4M =；………………………………10分
（3）当1[,2]2
x ∈时，()ln 1a
f x x x x
=
+≥恒成立等价于2ln a x x x ≥-恒成立， 记2
()ln h x x x x =-，'()12ln h x x x x =--， '(1)0h =。

记()12ln m x x x x =--，'()32ln m x x =--，由于1[,2]2
x ∈，
'()32ln 0m x x =--<, 所以()'()12ln m x h x x x x ==--在1
[,2]2
上递减，当1
[,1)2
x ∈时，'()0h x >，(1,2]x ∈时，'()0h x <，
word
- 11 - / 11 即函数2()ln h x x x x =-在区间1[,1)2上递增，在区间(1,2]上递减， 所以max ()(1)1h x h ==，所以1a ≥.…………………………………16分
20．解： (1) 2a =，3213231a a a ∴=-=-=-，
43254365437,8,313,a a a a a a a a a =-=-=+=-=-=
所以数列{}n a 的前6项和为0. ………………………………………………6分
(2)先证明以下事实，数列{}n a 的任意相邻三项中有且仅有1项是偶数. 113()4,n n n n n a a a a a ++-=+-4n a 为偶数，13n n a a +∴-从而2n a +与1n n a a ++同奇偶， …………………………………………8分
①若a 为奇数，注意到 奇+奇=偶，奇+偶=奇，则{}n a 各项的奇偶性依次是奇，奇，偶，
奇，奇，偶…，数列{}n a 的任意相邻三项中有且仅有1项是偶数. ……………12分 ②若a 为奇数，同理可证：数列{}n a 的任意相邻三项中有且仅有1项是偶数.……13分
假若存在k N *∈，使12,,k k k a a a ++成等比数列，则212
()k k k a a a ++=*， 由已证事实可知，21k a +必为偶数，从而1k a +为偶数，则2,k k a a +为奇数，()*不成立，
故不存在k N *
∈，使12,,k k k a a a ++成等比数列. …………………………16分。