2020高考理科数学二轮分层特训卷：热点练(二) Word版含解析

热点(二) 恒成立及参数
1．(参数范围＋单调性)已知函数f (x )＝ln a ＋ln x
x
在[1，＋∞)上为减函数，则实数a 的取
值范围是( )
A ．0<a <1
e
B ．0<a ≤e
C ．a ≤e
D ．a ≥e 答案：D
解析：函数f (x )＝ln a ＋ln x x 在[1，＋∞)上为减函数，f ′(x )＝1－ln a －ln x
x 2，
则f ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立， 即1－ln a －ln x ≤0在[1，＋∞)上恒成立， ∴ln x ≥1－ln a ＝ln e
a
恒成立，
∴ln e a ≤0，即e
a ≤1，
∴a ≥e.
2．(参数范围＋不等式恒成立)设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围是( )
A.⎣⎡⎦⎤0，π6
B.⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π
6，π C.⎣⎡⎦⎤5π6，π D.⎣⎡⎦⎤π6，5π6 答案：B
解析：根据题意有64sin 2α－32cos 2α≤0，即sin 2α≤1
4
，结合题中所给的角的范围，求
得α的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π
6，π，故选B. 3．(参数范围＋不等式恒成立)若关于x 的不等式x 3－3x 2－9x ＋2≥m 对任意x ∈[－2，
2]恒成立，则m 的取值范围是( )
A ．(－∞，7)
B ．(－∞，－20]
C ．(－∞，0]
D ．[－12，7] 答案：B
解析：设f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋2，则f ′(x )＝3x 2－6x －9， 令3x 2－6x －9＝0，得x 1＝－1，x 2＝3， ∵3∉[－2，2]，∴x 2＝3(舍)， 列表讨论：
Z ]
∵f (－2)＝－8－12＋18＋2＝0，f (－1)＝－1－3＋9＋2＝7，f (2)＝8－12－18＋2＝－20， ∴f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋2在x ∈[－2，2]上的最大值为7，最小值为－20，
∵关于x 的不等式x 3－3x 2－9x ＋2≥m 对任意x ∈[－2，2]恒成立，∴m ≤－20，故选B.
4．(参数范围＋单调性)已知函数f (x )＝a (x ＋1)ln(x ＋1)－x 2－ax (a >0)是减函数，则a 的值是( )
A ．－1
B ．1
C ．－2
D ．2 答案：D
解析：f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝a ln(x ＋1)－2x .
由f (x )是减函数得，对任意的x ∈(－1，＋∞)，都有f ′(x )＝a ln(x ＋1)－2x ≤0恒成立． 设g (x )＝a ln(x ＋1)－2x .
则g ′(x )＝－2⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫a 2－1x ＋1
，由a >0知a
2－1>－1，
∴当x ∈⎝⎛⎭⎫－1，a
2－1时，g ′(x )>0； 当x ∈⎝⎛⎭
⎫a
2－1，＋∞时，g ′(x )<0， ∴g (x )在⎝⎛⎭⎫－1，a 2－1上单调递增，在⎝⎛⎭⎫a
2－1，＋∞上单调递减， ∴g (x )在x ＝a
2
－1处取得最大值．
∵g (0)＝0，∴对任意的x ∈(－1，＋∞)，g (x )≤g (0)恒成立，即g (x )的最大值为g (0)． ∴a
2
－1＝0，解得a ＝2. 5．(参数范围＋恒成立)已知关于x 的不等式m cos x ≥2－x 2在⎝⎛⎭
⎫－π2，π
2上恒成立，则实数m 的取值范围为( )
A ．[3，＋∞)
B ．(3，＋∞)
C ．[2，＋∞)
D ．(2，＋∞) 答案：C
解析：变形得m ≥2－x 2cos x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，因为当x ∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x 2cos x ′＝－2x cos x ＋(2－x 2)sin x cos 2x
，
令f (x )＝－2x cos x ＋(2－x 2)sin x ，
则f ′(x )＝－x 2cos x ，可知在⎝⎛⎭⎫0，π
2上，f ′(x )<0， ∴f (x )<f (0)＝0，∴y ＝2－x 2cos x 在⎝⎛⎭⎫
0，π2上是减函数．
又y ＝2－x 2cos x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是偶函数，且连续，
所以2－x 2cos x 的最大值为2－0cos 0
＝2，∴m ≥2，故选C.
6．(参数范围＋单调性)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值
范围是( )
A ．(－∞，1)
B ．(1，＋∞)
C ．(－∞，1]
D ．[1，＋∞) 答案：D
解析：f ′(x )＝k －1
x
.
∵函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增， ∴f ′(x )≥0在区间(1，＋∞)上恒成立．
∴k ≥1x ，而y ＝1
x 在区间(1，＋∞)上单调递减，
∴k ≥1，∴k 的取值范围是[1，＋∞)，故选D.
7．(参数范围)已知函数f (x )＝x 2＋4x ＋a ln x ，若函数f (x )在(1，2)上是单调函数，则实数
a 的取值范围是( )
A ．(－6，＋∞)
B ．(－∞，－16)
C ．(－∞，－16]∪[－6，＋∞)
D ．(－∞，－16)∪(－6，＋∞) 答案：C
解析：f ′(x )＝2x ＋4＋a
x
，因为函数在区间(1，2)上具有单调性，所以f ′(x )≤0或f ′(x )≥0
在(1，2)上恒成立，则有2x ＋4＋a x ≤0或2x ＋4＋a
x ≥0在(1，2)上恒成立，所以a ≤－(2x 2＋
4x )或a ≥－(2x 2＋4x )在(1，2)上恒成立，令g (x )＝－(2x 2＋4x )，当1<x <2时，－16<g (x )<－6，所以a ≤－16或a ≥－6，所以a 的取值范围是(－∞，－16]∪[－6，＋∞)．
8．(参数范围＋分段函数恒成立)函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－(x －2)2(x <2)，
(3－a )x ＋5a (x ≥2)满足对任意x 1≠x 2都有
f (x 1)－f (x 2)
x 1－x 2
>0成立，则a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－2]
B ．(3，＋∞)
C ．[－2，3)
D ．[1，＋∞) 答案：C
解析：因为任意x 1≠x 2，都有
f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2
>0，所以函数f (x )是增函数，所以
⎩⎪⎨
⎪⎧
3－a >0，
2(3－a )＋5a ≥0，
解得－2≤a <3，故选C. 9．(参数范围＋不等式)若不等式3x 2－log a x <0在x ∈⎝⎛⎭⎫0，1
3内恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A ．a <127 B.1
27
<a <1
C ．a >1 D.1
27
≤a <1
答案：D
解析：由题意知：3x 2<log a x 在x ∈⎝⎛⎭⎫0，1
3内恒成立，在同一坐标系内，分别作出函数y ＝3x 2和y ＝log a x 的图象(图略)，观察两函数图象，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1
3时，若a >1，则函数y ＝log a x 的图象显然在函数y ＝3x 2图象的下方，不成立；若0<a <1，则log a 13≥13，∴a ≥127，∴1
27≤a <1，
故选D.
10．(参数范围＋不等式恒成立)函数f (x )＝e x －
1－12
ax 2＋(a －1)x ＋a 2在(－∞，＋∞)上单
调递增，则实数a 的范围是( )
A ．{1}
B ．(－1，1)
C ．(0，1)
D ．{－1，1} 答案：A
解析：由题意知f ′(x )＝e x －1－ax ＋(a －1)≥0恒成立， 即e x －1≥ax －(a －1)恒成立， 易知e x ≥x ＋1，即e x －1≥x ，
所以只需要x ≥ax －(a －1)，即(a －1)(x －1)≤0恒成立， 所以a ＝1，故选A.
11．(参数范围＋不等式)若存在x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e ，不等式2x ln x ＋x 2
－mx ＋3≥0成立，则实数m 的最大值为( ) A.1e ＋3e －2 B ．2＋e ＋3e
C ．4
D ．e 2－1
答案：A
解析：2x ln x ＋x 2－mx ＋3≥0，∴m ≤2ln x ＋x ＋3
x ，
设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x ，则h ′(x )＝2x ＋1－3x 2＝(x ＋3)(x －1)
x 2
.
当1
e ≤x <1时，h ′(x )<0，h (x )单调递减； 当1<x ≤e 时，h ′(x )>0，h (x )单调递增．
∵存在x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e ，m ≤2ln x ＋x ＋3
x
成立， ∴m ≤h (x )max .
∵h ⎝⎛⎭⎫1e ＝－2＋1e ＋3e ，h (e)＝2＋e ＋3e
， ∴h ⎝⎛⎭⎫1e >h (e)，∴m ≤1e
＋3e －2.故选A. 12．(参数范围＋分段函数)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－ln x ，0<x ≤1，1x ，x >1，若0<a <b 且满足f (a )＝
f (b )，则af (b )＋bf (a )的取值范围是( )
A.⎝⎛⎭⎫1，1e ＋1
B.⎝⎛⎦⎤－∞，1
e ＋1 C.⎝⎛⎦⎤1，1e ＋1 D.⎝⎛⎭⎫0，1
e ＋1 答案：A
解析：如图，由f (a )＝f (b )，得－ln a ＝1
b
.
因为0<1b <1，所以0<－ln a <1，得1
e
<a <1.
则af (b )＋bf (a )＝a ·1
b
＋b (－ln a )＝－a ln a ＋1⎝⎛⎭⎫1e <a <1， 令g (x )＝－x ln x ＋1⎝⎛⎭⎫1
e <x <1， 则g ′(x )＝－ln x －1， 令g ′(x )＝0，得x ＝1
e
.
当1
e
<x <1时，g ′(x )<0，g (x )在⎝⎛⎭⎫1e ，1上递减， ∴1<g (x )<1
e
＋1.故选A.
13．(参数范围＋不等式)当x ∈(1，2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________．
答案：(－∞，－5]
解析：当x ∈(1，2)时，由x 2＋mx ＋4<0得m <－x 2＋4x .令f (x )＝x 2＋4x ＝x ＋4
x ，则易知f (x )
在(1，2)上是减函数，∴x ∈[1，2]时，f (x )max ＝f (1)＝5，可得x ∈(1，2)时，－x 2＋4
x >－5，∴m ≤
－5.
14．(恒成立)当x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．
答案：[－6，－2]
解析：不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变形为ax 3≥x 2－4x －3. 当x ＝0时，不等式即为0≥－3，故实数a 的取值范围是R ；
当x ∈(0，1]时，a ≥x 2－4x －3x 3，记f (x )＝x 2－4x －3x 3，则f ′(x )＝－x 2＋8x ＋9
x 4
＝
－(x －9)(x ＋1)
x 4
>0，故函数f (x )递增，则f (x )max ＝f (1)＝－6，故a ≥－6；
当x ∈[－2，0)时，a ≤x 2－4x －3x 3，设f (x )＝x 2－4x －3
x 3
，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝
9(舍去)，当x ∈(－2，－1)时，f ′(x )<0；
当x ∈(－1，0)时，f ′(x )>0，故f (x )min ＝f (－1)＝－2，则a ≤－2. 综上所述，实数a 的取值范围是[－6，－2]．
15．(参数范围＋存在性问题)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2(2－x )，0≤x <k ，
x 3－3x 2＋3，k ≤x ≤a ，若存在实数k ，
使得函数f (x )的值域为[－1，1]，则实数a 的取值范围是________．
答案：[2，1＋3]
解析：由于y ＝log 2(2－x )在[0，k )上是单调递减函数，当x ＝0时，y ＝1，当x ＝3
2
时，y
＝－1，所以0<k ≤3
2，令g (x )＝x 3－3x 2＋3，则g ′(x )＝3x 2－6x ，令g ′(x )＝0，解得x ＝0
或x ＝2，可得g (x )在(0，2)上递减，在(2，＋∞)上递增，当x ＝2时，函数取得极小值－1，令x 3－3x 2＋3＝1，解得x ＝1或x ＝1＋3或x ＝1－3(舍)，所以2≤a ≤1＋ 3.
16．(参数范围＋恒成立)已知f (x )＝a ln x ＋1
2
x 2(a >0)，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2，
都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2
>2恒成立，则a 的取值范围是________．
答案：[1，＋∞) 解析：根据对任意两个不等的正实数x 1，x 2，都有f (x 1)－f (x 2)
x 1－x 2
>2恒成立，可知函数的导
数大于或等于2，所以f ′(x )＝a
x ＋x ≥2(x >0，a >0)，分离参数得a ≥x (2－x )，而当x >0时，
x (2－x )的最大值为1，故a ≥1.。