2004年中国数学奥林匹克暨第十九届冬令营试题

（第一天）
（2004年1月8日上午8：00～12：30 澳门）
1. 凸四边形EFGH 的顶点E ,F ,G ,H 分别在凸四边形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 上，满足1AE BF CG DH EB FC GD HA
⋅⋅⋅=，而点A ,B ,C ,D 分别在凸四边形E 1F 1G 1H 1的边E 1F 1, F 1G 1, G 1H 1, H 1E 1上，满足E 1F 1∥EF ，F 1G 1∥FG ，G 1H 1∥GH ，H 1E 1∥HE ．已知
11E A AH λ=，求11
F C C
G 的值．
2. 已知正整数c ，设数列12,,x x 满足： 1x c =，且()()112212,3,n n n x n x x n n ---+⎡⎤=++=⎢⎥⎣⎦
，
其中[x ]表示不大于x 的最大整数．
求数列{}n x 的通项公式．
3. 设M 是平面上n 个点组成的集合，满足：
（1）M 中存在7个点，是一个凸七边形的7个顶点； （2）M 中任意5个点，若这5个点是一个凸五边形的5个顶点，则此凸五边形内部至少含有M 中的一个点．
求n 的最小值．
（第二天）
（2004年1月9日上午8：00～12：30 澳门）
4. 给定实数a 和正整数n ，求证：
（1）存在唯一的实数数列011,,,n x x x +满足：
()()013311011,2,,2n i i i i x x x x x x a i n ++-==⎧⎪⎨+=+-=⎪⎩；
（2）（1）中的数列011,,
,n x x x +满足()0,1,,1i x a i n ≤=+．
5. 给定正整数n ≥2，设正整数()1,2,,i a i n =满足：
12n a a a <<<以及∑
=n
i i a 1
1≤1． 求证：对任意实数x ，有21221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=n i i x a ≤()21
11121x a a +-⋅．
6. 证明：除了有限个正整数外，其他的正整数n 均可表示为2004个正整数之和122004n a a a =+++，且满足：
()12200411,|1,2,,2003i i a a a a a i +≤<<<=。