2023-2024学年浙江省高一下学期5月期中联考数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年浙江省高一下册5月期中联考数学模拟试题
选择题部分
一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若
()i 11
z -=，则z =（
）
A.1i +
B.1i
- C.1i
-+ D.1i
--【正确答案】A
【分析】根据复数的四则运算求解即可.【详解】由()i 11z -=得，11i i
z -==-，所以1i z =+.
故选：A.
2.若()1,2a = ，(),3b x = 且4a b ⋅= ，则x =（
）A.2- B.1
2
-
C.
12
D.10
【正确答案】A
【分析】由向量数量积的坐标运算可得答案.
【详解】因为()1,2a = ，(),3b x = 且4a b ⋅= ，所以12364a b x x ⋅=⨯+⨯=+= ，所以2x =-.
故选：A.
3.学生到工厂劳动实践，利用3D 打印机技术制作模型.设模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O EFGH -所得的几何体（如图），其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，6cm AB BC ==，13cm AA =，3D 打印所用的原料密度为30.5g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量是（
）
A.40.5g
B.45g
C.49.5g
D.54g
【正确答案】C
【分析】先求出四棱锥O −EFGH 和长方体1111ABCD A B C D -的体积，作差后得到该模型的体积，利用密度即可求出所需原料的质量.
【详解】由题意得，四边形EFGH 的面积为213
36439cm 22
S =⨯-⨯⨯⨯=，∵四棱锥O −EFGH 的高为3cm ，∴31
939cm 3
O EFGH V -=
⨯⨯=．又长方体1111ABCD A B C D -的体积为3
2366108cm V =⨯⨯=，所以该模型体积为3
2108999cm O EFGH V V V -=-=-=，
其质量为0.59949.5g ⨯=．故选：C.
4.在ABC 中，12
BD DC = ，E 为AD 中点，则EB = （）
A.4136AB AC +
B.2136AB AC -
C.5163
AB AC - D.7163
AB AC +
【正确答案】B
【分析】根据向量的减法法则和平行四边形法则对向量进行分解转化即可.
【详解】因为12
BD DC =
，E 为AD 中点，
所以12EB AB AE AB AD =-=- 121()233
AB AB AC =-+ 2136AB AC =-
.
故选：B.
5.在直三棱柱111ABC A B C -中，12,1AC AA BC ===，120ACB ∠=︒，E 是1BB 的中点，则异面直线CE 与1AC 所成的角的余弦值是（
）
A.34
-
B.
34
C.
18
D.18
-
【正确答案】B
【分析】根据异面直线所成角的定义，取1CC 中点M ，AC 中点N ，连接11,,,MN MB NB NB ，可得1NMB ∠为异面直线CE 与1AC 所成的角或其补角，结合余弦定理求解即可得答案.【详解】如图，取1CC 中点M ，AC 中点N ，连接11,,,MN MB NB NB
在直三棱柱111ABC A B C -中，12,1AC AA BC ===，所以1AA ⊥平面111A B C ，有11A C ⊂平面
111A B C ，所以111AA AC ⊥，则22111122AC AA A C =
+=因为,M N 分别为1,CC AC 中点，所以111
//,22
MN AC MN AC =
=又可得11//,MC B E MC B E =，则四边形1MCEB 为平行四边形所以1//CE MB ，则1NMB ∠为异面直线CE 与1AC 所成的角或其补角
由1CC ⊥平面111A B C ，11C B ⊂平面111A B C ，可得111CC C B ⊥，所以2211112MB C M C B =+=，
在BCN △中，120ACB ∠=︒，1,1NC BC ==，由余弦定理得
2212cos12011232NB NC BC NC BC ⎛⎫
=+-⋅⋅︒=+-⨯-= ⎪⎝⎭
，
所以1NB ===，
所以在1MNB
中，由余弦定理得22211113
cos 24MN MB NB NMB MN MB +-∠=
==-⋅所以异面直线CE 与1AC 所成的角的余弦值34
.故选：B .
6.在ABC 中，2,4AB AC ==，AD 平分BAC ∠交BC 于D 点，且4
3
AD =，则BC =（）
A.
B.
C.
743 D.
2743
【正确答案】A
【分析】设BAD CAD θ∠=∠=，由ABD ACD ABC S S S +=△△△，求得1cos 2θ=，得到π
3
θ=，结合余弦定理，即可求解.
【详解】如图所示，由ABC 中，2AB =，4AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D 点，且4
3
AD =，设BAD CAD θ∠=∠=，可得142sin 23ABD S θ=
⨯⨯ ，144sin 23ACD S θ=⨯⨯ ，且1
24sin 22
ABC S θ=⨯⨯ ，因为ABD ACD ABC S S S +=△△△，可得sin sin 2θθ=，即sin 2sin cos θθθ=，
因为π
(0,)2θ∈，所以sin 0θ>，可得1cos 2θ=，所以π3
θ=，
又由余弦定理得2
2
2
2π
24224cos 283
BC =+-⨯⨯=
，所以BC =.故选：
A.
7.在正四棱锥P ABCD -中，Q 是AB 上的动点（不包含端点）
，M 是AD 上的中点，点N 在线段AD 上且满足2AN ND =，分别记P MQ C --，P NQ C --，P AB C --的平面角为α，β，γ，则（
）
A.γαβ>>
B.γβα
>> C.βγα
>> D.βαγ
>>【正确答案】D
【分析】连对角线得底面的中心O ,则PO 垂直底面，根据二面角的定义，结合正切函数的性质进行
求解即可.
【详解】连接,AC BD 交于O ，因为四棱锥P ABCD -为正四棱锥，所以有PO ⊥平面ABCD ，
过O 作,OE QM OF QN ⊥⊥，垂足为,E F ，连接,PE PF ，
因为PO ⊥平面ABCD ，,MQ NQ ⊂平面ABCD ，所以,PO MQ PO NQ ⊥⊥，因为,,OE PO O OE PO ⋂=⊂平面POE ，所以MQ ⊥平面POE ，
而PE ⊂平面POE ，所以PE MQ ⊥，因此PEO ∠是二面角P MQ C --的平面角，即PEO α=∠，因此有tan OP
OE α=
，同理可证：PF QN ⊥，因此PFO ∠是二面角P NQ C --的平面角，即PFO β=∠，因此有tan OP
OF
β=
，设H 是AB 的中点，连接,PH OH ，则有AB PH ⊥，
OH AB ⊥，因此PHO ∠是二面角P AB C --的平面角，即PHO γ=∠，因此有tan OP
OH
γ=
，如图，H 是AB 的中点，所以1
2
OH AB AH ==，
Q 是AB 上的动点（不包含端点）
，M 是AD 上的中点，点N 在线段AD 上且满足2AN ND =，所以OF OE AH <<，所以OH OE OF >>，因此tan tan tan γαβγαβ<<⇒<<，故选：D .
8.若O 是ABC 的外心，且()()
22
2
2252AC AB AB AO AC AO AO AB AC
⋅⋅+⋅⋅= ，则sin 2sin B C +的
最大值是（）
A.
2
2+
B.
3
2
+ C.
52
D.【正确答案】C
【分析】将向量全部转化为三角形边角的关系，结合柯西不等式求解即可.【详解】如图所示：
设AB c =，AC b =，BAO θ∠=，CAO α∠=，
由()()
22
2
2252AC AB AB AO AC AO AO AB AC
⋅⋅+⋅⋅= ，
得()()
222
225cos cos 2
b c c AO b AO AO c b θα⋅⋅+⋅⋅= 化简得225cos cos 2
b c AO c b θα⋅+⋅= ，由O 是ABC 的外心可知，
O 是三边中垂线交点，得cos 2c AO θ=
，cos 2b
AO
α= 代入上式得2252
22b c c b AO c b AO AO ⋅+⋅= ，所以2225b c AO +=
，根据题意知，AO 是三角形ABC 外接圆的半径，可得sin 2b B AO =
，sin 2c C AO
= .所以22sin 2sin 222b c b c
B C AO AO AO
++=
+= ，由柯西不等式可得：()(
)
()2
2
2
2122b c b c ++≥+，
所以()
2
2
225b c AO +≤ ，所以25b c AO +≤ ，
所以525
2
22AO b c AO AO +≤=
，当且仅当“2b c =”时，等号成立.
所以sin 2sin B C +的最大值为52
.故选：C.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（
）
A.在ABC 中，若A B <，则sin sin A B
<B.在ABC 中，若45,5,4A a b === ，则这样的ABC 有两个
C.若a ，b 是非零向量，则a 在b
上的投影向量为2a b b
⋅
b
D.若()i ,R z a b a b =+∈，则22||z z =【正确答案】AC
【分析】A 选项，由大角对大边结合正弦定理可判断选项正误；B 选项，由余弦定理可判断选项正误；C 选项，由投影向量定义可判断选项正误；D 选项，由复数乘法，复数模定义可判断选项正误.【详解】A 选项，因A B <，由大角对大边，则a b <，又sin sin a b
A B
=，则sin sin A B <，故A 正确；
B
选项，由余弦定理，2222290cos a b c bc A c =+-⇒--=
，解得c =+
或c =-（舍去），即这样的ABC 有且只有一个，故B 错误；
C 选项，a 在b 上的投影向量为cos ,a a b e ，其中b e b
= 为与b 方向相同的单位向量，
则2cos ,a b b a b a a b e a b a b b b
⋅⋅=⋅⋅=⋅
，故C 正确；D 选项，()2
222i 2i z a b a b ab =+=-+，2
22z a b =+，故D 错误.
故选：AC
10.a ，b ，l 是不同的直线，α，β是不同的平面，下面条件中能证明a α⊥的是（
）
A.b α⊂，l ⊂α，a b ⊥r r
，a l ⊥，b l O ⋂=B.l αβ= ，αβ⊥，a l ⊥C.αβ⊥，//a βD.l α⊥，//a l 【正确答案】AD
【分析】由线面垂直定义，线面垂直判定定理，面面垂直性质定理可判断选项正误.【详解】A 选项，可知直线a 与平面α内两条相交直线垂直，则a α⊥，故A 正确；B 选项，缺少条件a β⊂，不能保证a α⊥，故B 错误；
C 选项，此时a 有可能与两平面交线不垂直，此时不能保证a α⊥，故C 错误；
D 选项，因l α⊥，a α，则a α⊥，故D 正确.故选：AD
11.在OAB 中，1,2,120OA OB AOB ==∠=︒，点P 是等边ABC （点O 与C 在AB 的两侧）
边上的一动点，若OP xOA yOB =+
，则有（
）
A.当1
2
x =
时，点P 必在线段AB 的中点处 B.x y +的最大值是
92
C.OP OA ⋅
的最小值是1
- D.PO PA ⋅
的最大值为
17
【正确答案】BC
【分析】对于A ，过AO 的中点作平行线即可判断；对于B ，先利用平面向量的性质得到x OE '=，
2
E P y ''
=，从而结合图形的性质推得x y +取得最大值时点P 的位置，从而利用余弦定理与三角函
数的和差公式求得,EC EO ，从而得以判断；对于C ，结合选项B 中的结论，推得点P 与点B 重合
时OP OA ⋅
取得最小值，由此判断即可；对于D ，举反例排除即可.
【详解】对于A ，记D 为AO 的中点，过D 作//DP OB 交BC 于P ，如图，
此时存在R λ∈，使得DP OB λ=
，则12
OP OD DP OA OB λ=+=+ ，
显然满足1
2
x =，但点P 不在线段AB 的中点处，故A 错误；
对于B ，延长OA ，在OA 上任一点E '作E P ''平行于OB ，如图，
则2OE E P E P OP OE E P OA OB OE OA OB OA OB ''''''''''=+=⋅+⋅=⋅+⋅ ，即x OE '=，2
E P y ''
=，易得60CBO ABO ∠=︒+∠大于120AOB ∠=︒的外角，则AO 与CB 的延长线必交于一点，故E P ''离OB 越远，其值越大，同时，OE '的值也越大，
显然，当P '到达P 点与C 点重合时，OE '与E P ''都取得最大值，此时x y +也取得最大值，此时，在OAB 中，2
2
2
12cos 142272AB OA OB OA OB AOB ⎛⎫
=+-⋅∠=+-⨯⨯-
= ⎪⎝⎭
，所以7AB =，则7AC =，222cos 2277
OA AB OB BAO OA AB +-∠===⋅⨯，
易知060BAO ︒<∠<︒，所以3sin 7
BAO ∠=，则
()cos cos 60cos cos60sin sin 60CAO BAO BAO BAO ∠=∠+︒=∠︒-∠︒133227727
=
=，故在OAC 中，2
2
2
2cos 1727927OC OA AC OA AP CAO ⎛
=+-⋅∠=+-= ⎝，
所以3OC =，2221971
cos 2232
OA OC AC AOC OA OC +-+-∠===⋅⨯，
又0120AOC ︒<∠<︒，所以60AOC ∠=︒，
又//EC OB ，120AOB ∠=︒，所以60CEO ∠=︒，则ECO 为正三角形，所以3EC EO OC ===，所以x y +的最大值为39
3222
EP OE +
=+=，故B 正确；对于C ，因为OP xOA yOB =+ ，1cos 1212OA OB OA OB AOB ⎛⎫
∠=⨯⨯-=-⋅=⎪⎝⎭
⋅ uu r uu u r uu r uu u r ，
所以()
22
E P OP OA OA x OA x xOA yO y OA y OE B OB '''⋅=⋅++⋅==-=- ，
由选项B ，结合图像易知OE '的增长速率要比E P ''大，
所以要使得2
E P OE ''
'-取得最小值，OE '要取得最小值，此时0OE '=，则2E P OB ''==，即点P 与点B 重合时OP OA ⋅
取得最小值，
此时2
0122
E P OE '''-
=-=-，即OP OA ⋅ 的最小值为1-，故C 正确；对于D ，当点P 与点C 重合时，cos 0
CAO ∠=<，60AOC ∠=︒，
所以90CAO ∠>︒，18030APO CAO AOC ∠=︒-∠-∠<︒，则3
cos cos302
APO ∠>︒=
，
则33211
cos 3227
P P O PA P O O PA A =∠>⋅=>
，故D 错误.故选：BC.
关键点睛：本题解决的关键是利用平面向量的三角形法则得到x OE '=，2
E P y ''
=
，从而确定,x y x y +-取得最值时点P 的位置，从而得解.
12.如图，在矩形ABCD 中，1AB =，BC =
E 为AD 的中点，将ABE 沿BE 翻折成A BE ' ，记二面角A BE C '--的平面角为θ，在翻折过程中，下列结论成立的是（
）
A.点A '在平面BCDE 的射影必在线段AC 上
B.存在点A '使得A E BD '⊥
C.π
A BA θ∠'+<D.记A E '和A
B '与平面BCDE 所成的角分别为α，β，则sin sin αβ-的取值范围是
0,3⎡⎢⎣⎦
【正确答案】AC
【分析】根据题意证得BE ⊥平面A MC '，得到平面A MC '⊥平面BCDE ，结合面面垂直的性质定理，可判定A 正确；由A N '⊥平面BCDE ，得到A N BD '⊥，由A E BD '⊥，证得BD ⊥平面
A NE '，得到所以BD NE ⊥，结合A '在平面ABCD 的射影不能时C 点，判定
B 不正确；由二面角
的定义，得到πA MA θ'+∠=，根据A MA A BA ''∠>∠，可判定C 正确；㓟线面角的定义求得
sin sin 1)A N αβ'-=-⋅
，结合0A N AM '<≤，可判定D 错误.
【详解】在矩形ABCD 中，1,AB BC ==
E 为AD 的中点，
连接AC ，交BE 于点M ，可得ABC EAB ∽，
则ABE ACB ∠=∠且90MBC ABE ∠+∠= ，所以90MBC ACB ∠+∠= ，所以,AM BE MC BE ⊥⊥，即,A M BE MC BE '⊥⊥，
因为A M MC M '= 且,A M MC '⊂平面A MC '，所以BE ⊥平面A MC '，又因为BE ⊂平面BCDE ，所以平面A MC '⊥平面BCDE ，
过点A '作A N '⊥平面BCDE 于点N ，则点N 必在AC 上，所以A 正确；由A N '⊥平面BCDE ，BD ⊂平面BCDE ，所以A N BD '⊥，
若A E BD '⊥，且A N A E A ''= 且,A N A E ''⊂平面A NE '，所以BD ⊥平面A NE '，又由NE ⊂平面A NE '，所以BD NE ⊥，显然EC BD ⊥，因为N 必在AC 上，所以点N 与C 重合，
由AME BMC ∽，可得3
231AM MC =
=
，且3
CM =在A MC ¢中，CM A M '>，所以A '在平面ABCD 上的射影不可能落在点C 处所以不存在点A '使得A E BD '⊥，所以B 不正确；
因为二面角A BE C '--的平面角为θ，即A MC θ'∠=，
又因为πA MA θ'+∠=，由.AB AM A B A M ''>>得A MA A BA ''∠>∠，所以πA BA θ∠'+<，所以C 正确；
因为A E '、A B '平面BCD 所成的角分别为,αβ，即,A EN A BN αβ''∠=∠=，可得sin ,sin A N A N
A E A B
αβ''=
=''，
所以sin sin 1)A N A N
N A N A N A E A B
αβ'''''-=
-=-=-⋅''，由AME BMC ∽，可得12AM AE MC BC ==，所以1
2AM MC =，
又由AC =
AM =
，
因为在翻折的过程中，可得0A N AM '<≤，即03
A N '<≤
，
所以63
(0,13
)A N '⋅∈，所以D 错误.故选：AC.
非选择题部分
三、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分.
13.用斜二测画法画水平放置的ABC 的直观图为直角边长是2的等腰直角三角形（如图）
，则ABC 的面积是___________.
【正确答案】42
【分析】根据斜二测画法法的规则，求得水平放置的ABC 的平面图形，结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】如图（1）所示，由水平放置的ABC 的直观图A B C ''' 为直角边长是2的等腰直角三角形，即2A B B C ''''==且90A B C '''∠= ，可得22A C ''=,如图（2）所示，根据斜二测画法法，可得ABC 的平面图形，可得2,42AB AC ==且90BAC ∠= ，所以1
242422
ABC S =⨯⨯= .故答案为.42
14.圆锥的底面半径为2，表面积为10π，则该圆锥为体积为___________.【正确答案】
453
π【分析】根据题意列出方程求得圆锥的母线长3l =，进而求得高为225h l r =-=，结合体积公式，即可求解.
【详解】设圆锥的高为h ，母线长为l ，
因为圆锥的底面半径为2，表面积为10π，所以2π2π210πl ⨯+⨯⨯=，可得3l =，所以圆锥的高2222253h l r =-=-=可得圆锥的体积为22115π
ππ25333
V r h =
⨯=⨯⨯=
.故答案为.
45π
3
15.方山双塔位于台州市黄岩区九峰公园内紫云峰之巅.南宋宝章阁直学士章雄飞《游九峰寺》诗中赞道：“九峰突地三千丈，双塔攒空十二层”.为了测量南塔高度，某同学设计了如下测量方法：先在
塔底平台A 点处测得塔底中心O 在北偏西70︒方向，塔顶仰角的正切值为3
2
，再走到距离A 点25米的点B 处，测得点O 在北偏东80︒方向，塔顶仰角为
6
π
，则该塔的高度为___________米.
【正确答案】
757
【分析】如图，设塔顶为P ，塔高为PO x =，由题目条件可表示出,OA OB ,可得AOB ∠.在AOB 中利用余弦定理可得答案.
【详解】如图，设塔顶为P ，则塔高为PO x =，因在A 点处塔顶仰角正切为
3
2
，在B 点处塔顶仰角为
π6，则3233233
,PO PO AO x BO x AO BO =⇒==⇒=.
过A 点作一条与东西方向同向的线段交BO 于C ，因点O 在点B 北偏东80︒方向，在A 点北偏西70︒方向，则10,20150ACO CAO AOC ∠=︒∠=︒⇒∠=︒.
又25AB =，则在AOB 中利用余弦定理有：2222cos AB OB OA OB OA AOB
=+-⋅⋅∠2224234975
62532362593297x x x x x x ⎛⎫⇒=+
-⋅⋅⋅-⇒=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭
.故
75
7
16.在三棱锥A BCD -中，底面BCD 是边长为3AB ⊥面BCD ，2AB =，三棱锥
A BCD -外接球与内切球球心分别为1,O O ，则1OO =___________.
【正确答案】
298
【分析】取等边BCD △的中心为2O ，根据球的截面的性质，求得21
12
OO AB ==，再由体积法，求得内切球的半径为38r =，在BG 上取一点P ，过点P 作1O P ⊥平面BCD ，使得13
8
O P =，得到
点1O 即为三棱锥A BCD -的内切球的球心，在直角1OO N 中，即可求解.【详解】如图所示，取等边BCD △的中心为2O ，
因为BCD △32BG =
，则22
13
BO BG ==，连接2OO ，根据球的性质，可得2OO ⊥平面BCD ，又由AB ⊥平面BCD ，且2AB =，所以21
12
OO AB ==，
由21333
244
ABC ABD BCD S S AB BC S ==
⋅==⨯=
，
连接AG ，因为G 为CD 中点，且AC AD ==，
所以AG CD ⊥，且52AG =
=
，所以153
24
ACD S CD AG =⋅= ，
所以棱锥的表面积为335344S =++
+=，体积为133234
V =⨯⨯
设内切球的半径为r ，可得112343
V r =
⨯⨯=⨯，解得38r =，
即1O 到平面BCD 和平面ABC 的距离为3
8
d r ==
，因为E 的中点，且BD CD =，所以DE BC ⊥，
又因为AB ⊥平面BCD 且，DE ⊂平面BCD ，所以DE AB ⊥，因为AB BC B ⋂=且,AB BC ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ，
在BG 上取一点P ，使得3
4
BP =
，过点P 作//PF DE ，可得PF ⊥平面ABC ，在直角BPF △中，可得3sin 308PF BP ==
，即点P 到平面ABC 的距离为38d =，
过点P 作1O P ⊥平面BCD ，使得13
8
O P =，则点1O 即为三棱锥A BCD -的内切球的球心，
过点1O 作12O N OO ⊥，可得12231
144
O N PO BO BP ==-=-=，
222135
188
ON OO NO OO PO =-=-=-=，
在直角1OO N 中，可得2222115129
()()848
OO ON O N =
+=+=
，故答案为.
29
8
方法点睛：解决与球有关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径：根据作出截面中的几何元素，利用球的截面的性质，运用公式222R r d =+（r 为底面多边形的外接圆的半径，R 为几何体的外接球的半径，d 表示球心到底面的距离）求得球的半径，建立关于球半径的方程，进行求解，该方法的实质是通过寻找外接球的一个轴截面，把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.
四、解答题：本题共6小题，共70分.
17.已知2,1,23a b a b ==-=
.
（1）求a 与b
的夹角；（2）求()()
3a b a b -⋅+
的值.
【正确答案】（1）2π
3
（2）1
-
【分析】（1）将2a b -= 两边同时平方可得1a b ⋅=- ，再利用向量数量积公式即可得夹角为2π
3
；
（2）根据平面向量运算法则即可求得()()
31a b a b -⋅+=-
.
【小问1详解】
由2a b -= 可得2212a b -= ，即22
4412a a b b -⋅+= ；将2,1a b == 代入可得1a b ⋅=-
，
设a 与b
的夹角为[],0,πθθ∈，则cos 1a b a b θ⋅==- ，解得1cos 2
θ=-，即2π3θ=，所以a 与b 的夹角为2π3
；
【小问2详解】
利用向量运算法则可知，
(
)()22
3234231a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=--=- ，
即()()3a b a b -⋅+
的值为1-.
18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，4AB =，60DAB ∠=︒，PA PD ==
PB =
M ，N 分别为PB ，DC 的中点.
（1）求证：//MN 平面PAD ；（2）求证：面PAD ⊥面ABCD ．【正确答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【分析】（1）取PA 中点E ，连接DE ，ME ，由题意可证得//MN DE ，再由线面平行的判定定理即可证明；
（2）取AD 中点O ，连接OP ，OB ，由题意可证得PO OB ⊥，PO AD ⊥，再由线面垂直的判定定理可证得PO ⊥面ABCD ，再由面面垂直的判定定理即可证明.
【小问1详解】
取PA 中点E ，连接DE ，ME
因为ME 是PAB 中位线，所以//ME AB ，且1
2
EM AB =；又ABCD 是菱形，则//DN AB 且1
2
DN AB =
，所以,//ME DN ME DN =，即MNDE 是平行四边形.所以//MN DE ，DE ⊂面PAD ，MN ⊄面PAD ，所以//MN 面PAD ．【小问2详解】
取AD 中点O ，连接OP ，OB ，因为460AD AB DAB ==∠=，°，
所以△ADB 是正角形，OB AD ⊥，且BO =
又因为△PAD 是等腰三角形，2PO AD PA AO ⊥==，，可知PO =
因为PB =，由勾股定理知PO OB ⊥又因为AD OB O ⋂=，BO ，AD ⊂面ABCD ，
所以PO ⊥面ABCD ，PO ⊂面PAD ，所以面PAD ⊥面ABCD.
19.已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且()
m a A =
与(,sin n b B =
）平行.
（1）若21
7
a C ==
，求c 的值；（2）若2BD DC =
，且||2AD =，求ABC 面积的最大值.
【正确答案】（1）
87
7
（2）
332
【分析】（1
）利用数量积的坐标运算得sin cos 0a B A =，利用正弦定理求出角A ，最后利用同角基本函数及正弦定理即可求解；
（2）利用向量减法运算得1233
AD AB AC =+
，两边平方得223642c b bc =++，利用基本不等式
求得6bc ≤，代入面积公式即可求解.【小问1详解】
因为()
m a A =
与(,sin n b B =
）
平行，所以sin cos 0,sin 0a B A B =>，
由正弦定理知sin sin cos 0A B B A =
，得tan A =0πA <<，所以π
3
A =，
所以sin 2
A =
，由()21cos ,0,π7C C =∈，得27sin 7C =
，
又a =，由正弦定理sin sin a c A C
=
得sin 2787sin 7732
a C c A ===；【小问2详解】
因为2BD DC =
，所以1233
AD AB AC =+ ，
所以222144999AD AB AB AC AC =+⋅+ ，所以22142
4999
c b bc =++，即223642c b bc =++，
由基本不等式知2236426c b bc bc =++≥
，当且仅当c b ==6bc ≤，
所以1333
sin 242
ABC S bc A bc =
=≤
.20.如图，点B 是AC 为直径的半圆上的一动点PA ⊥面ABC ，2,1AC PA ==
．
（1）若E 为PC 的中点，当ABC 的面积最大时，求AE 与面PBC 所成的角的正弦值；
（2）过点A 作平面α，分别交PB ，PC 于点M ，N ，当PC α⊥时，求三棱锥P AMN -外接球的体积．
【正确答案】（1）
15
（2）
π6
【分析】（1）由PA ⊥面ABC 得PA ⊥BC ，又BC ⊥AB ，则BC ⊥面PAB ，过点A 作⊥AF PB ，又BC ⊥AF ，可得AF ⊥面PBC ，所以∠AEF 就是AE 与面PBC 所成的角．当△ABC 的面积最大时，B 为弧 AC 中点，求出
AF ，AE ，即可得解；
（2）过A 作AM PB ⊥于M ，作AN PC ⊥于N ，可证得PC ⊥面AMN ，则面AMN 即为面α，取P A 的中点O ，在Rt PNA △，Rt PMA △中，求得ON ＝OP ＝OA ＝OM ＝
1
2
PA ，可知O 为三棱锥P AMN -外接球的球心，半径R ＝11
22
PA =，即可求出外接球的体积.
【小问1详解】
∵PA ⊥面ABC ，AB ，BC ⊂面ABC ，∴PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，又BC ⊥AB ，PA ∩AB ＝A ，PA ，AB ⊂面PAB ，∴BC ⊥面PAB ，过点A 作⊥AF PB ，垂足为F ，
∵BC ⊥面PAB ，AF ⊂面PAB ，∴BC ⊥AF ，
又,,PB BC B PB BC ⋂=⊂面PBC ，∴AF ⊥面PBC ，∴∠AEF 就是AE 与面PBC 所成的角．
当△ABC 的面积最大时，B 为弧 AC 中点，AB =，
在△PAB 中，1,PA AB PB ==
=，
∵PA AB PB AF ⋅=⋅，∴AF =
△PAC 中，122
AE PC =
=
，
所以sin
315AF AEF AE ∠=
==．【小问2详解】过A 作AM PB ⊥于M ，作AN PC ⊥于N ，连接MN ，
∵AM PB ⊥，,,,AM BC PB BC B PB BC ⊥⋂=⊂面PBC ，∴AM ⊥面PBC ，∵PC ⊂面PBC ，∴AM ⊥PC ，
又AN ⊥PC ，AM ∩AN ＝A ，AM ，AN ⊂面AMN ，
∴PC ⊥面AMN ，则面AMN 即为面α，
取PA 的中点O ，连接OM ，ON ，
在Rt PNA △中，ON ＝OP ＝OA ＝
12PA ，在Rt PMA △中，OM ＝12PA ，∴ON ＝OP ＝OA ＝OM ，∴O 为三棱锥P AMN -外接球的球心，半径R ＝1122PA =，∴三棱锥P AMN -外接球的体积36π4π3V R ==．21.已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足
2sin cos cos c os A b A A C =+
.
（1）求A 角的大小；
（2）若D 为AB 的中点，P 是AC 上的动点，且AP AC λ= .若BP DP +，当BP DP +取最小值时，求λ的取值范围.
【正确答案】（1）π3
（2）12,63⎛⎫ ⎪⎝⎭
【分析】（1）由正弦定理与诱导公式化简已知式子可得sin A A =，从而可求得角A 的大小；
（2）作B 关于边AC 的对称点B '，连接AB '，并取其中点D ¢，由堆成求得BP DP +的最小值，
结合正弦、余弦定理先确定AP 的长，再转化求λ的取值范围.
【小问1详解】
由正弦定理得2sin sin cos cos cos B A A A C C A
=+
所以(
)(
)sin sin sin cos sin cos sin sin B A A A C C A A A C A B =+=+=由于π0,2B ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0B ≠，
故sin A A =，
即tan A =，又π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，所以π3A =；【小问2详解】
如图，作B 关于边AC 的对称点B '，连接AB '，并取其中点D ¢
，
当BP DP BP D P D B '≥'+=+=120BAB '∠=︒，设AB c =，则2
c AD '=由余弦定理可得2
2714cos 222
c c BAB c c +-∠==-⋅⋅'，解得2c =，则在三角形AD B '中，2,1AB AD '==
，cos sin 1414D B ABD ABD =⇒∠==⇒∠'=''，则()(
)11sin sin 18060sin 120sin 22APB ABD D BA D BA D BA ∠=︒-∠-︒=︒-∠∠+∠''''2321
3211414AP =⇒=，
在ABC 中，π,23A c ==，设ππ,,62ABC θθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，由正弦定理()21,42πsin 3131sin 3222tan 2
AC AC θθθ=⇒==⎛⎫- ⎪⎝⎭,
所以12,63AP
AC λ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭.22.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，,2AB AC AB AC ⊥==，点D 为线段1CC 中点，侧面11
BCC B 为矩形，1A AB θ∠=.
（1）若1120A AB ∠=︒，求二面角1A AB C --的正弦值；
（2）若14AA =，[]60,120θ∈︒︒，求AD 与平面11BCC B 所成角的正弦值的取值范围.
【正确答案】（1）6
3
（2）36⎢⎥⎣⎦
【分析】（1）先证明线面垂直，找出二面角的平面角，结合三角形知识可求答案；
（2）先求出点A 到平面11BCC B 的距离，再求AD 的长度，利用线面角的定义可得答案.
【小问1详解】
分别取11,BC B C 的中点，连接11,//AA EF EF A A 且1EF A A =，所以1AA EF 是平行四边形，因为2AB AC ==，所以AE BC ⊥，
因为侧面11BCC B 是矩形，所以1BC BB ⊥，即BC EF ⊥，又AE EF E ⋂=，所以BC ⊥平面1AA EF ，
又因为BC ⊂平面ABC ，所以平面1AA EF ⊥平面ABC .延长EA ，过点1A 作1A O AE ⊥，垂足为O ，过O 作OG AB ⊥，垂足为G ，连接1A G ，由平面1AA EF ⊥平面ABC ，可知1A O ⊥平面ABC ，1OGA ∠就是二面角1A AB C --的补角的平面角.
因为1120A AB ∠= ，所以160A AG ∠= ，设11,2AA a AG a ==
，则12
A G a =，AE 是CA
B ∠的平分线，45OAG ∠= ，
所以2
AO a =
，从而12A O a =，故1116sin 3A O OGA A G ∠==.所以二面角1A AB C --的正弦值为
63
.【小问2详解】
由（1）知1A O ⊥平面ABC ，点O 在线段EA
或其延长线上，且11cos OA A AO A A θ∠==，又1A AO AEF ∠=∠
，所以1sin sin A AO AEF ∠=∠=点A 到平面11BB C C
的距离为sin h AE AEF =∠=，1A 的射影O 在BAC ∠的角平分线上，延长CA ，过O 作OH 垂直于CA 的延长线于H ，
由角平分线的性质可得OG OH =,由勾股定理可得1
1AG A H =，AG AH =;所以1
1Rt Rt AGA A HA ≌，所以11A AG A AH ∠=∠，即11A AB A AC θ∠=∠=，在ACD 中,
由余弦定理知AD =，所以直线AD 与平面11BB C C 所成的线面角α
的正弦值为
sin h AD α===令1cos t θ=+，60120θ︒≤≤︒，则13
[,]22t ∈，
所以sinα=，
13 [,]
22
t∈，
当且仅当
2
2
t=时，sinα取得最大值
2；当
3
2
t=时，sinα取得最大值
6；
所以sin[6
α∈.。