概率论与数理统计练习题(附答案)

练习题
1、设随机变量)6.0,10(b ~X ，则2
2
[()][(X)]
D X
E = ； 2、若随机变量X 的分布未知，但2
,EX DX μσ==,则X 落在区间(2,2)
μσμσ-+内的概率必不小于_________
3、设ˆˆ(,......)12
X X X n θ
θ=是未知参数θ的一个估计量，满足条件_________ 则称ˆθ
θ是的无偏估计。

4. 设X,Y 为随机变量，且D (X +Y )=7, D(X)=4, D(Y)=1，则相关系数XY ρ= 5. 设随机变量12,,
,n X X X 相互独立，且(1,2,
,)=i X i n 都服从区间[0，1]上的均匀分
布，则当n 充分大时，∑==
n
i i n
n X Y 1
1
近似服从
（写出具体分布与参数）
6．设(,)X Y 服从区域222:G x y R +≤上的均匀分布，其概率密度为：
222
(,)0
C
x y R f x y ⎧+≤=⎨
⎩其它
，则C=（ ）；
(A) 2
R π ； (B)
2
1R π； (C) R π2； (D) R π21。

7．设
,......12X X X n 为相互独立的随机变量，且2
(,())E X D X i i
μσ==（1,2......i n =），11
n
X X i i n ∑=
=，则DX =（ ） (A)
2
n
σ
(B)
2
n σ (C)
n
σ
(D)
22n σ
8．设一次试验中事件A 不发生的概率为p,独立重复n 次试验，A 发生了X 次则正确的是：（ ）
(A) ()()2
1p p X E -= ； (B)
()E X np = ；
(C)
(1)DX np p =- ； (D) 2
DX p p =-。

9．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（ ）
A ． X 与Y 独立； B. ()D X Y DX DY -=+； C ．()D X Y DX DY -=-； D. ()D XY DXDY =. 10. 任何一个连续型随机变量的概率密度)(x ϕ一定满足( )。

A 、1)(0≤≤x ϕ
B 、在定义域内单调不减
C 、
1)(=⎰
+∞
∞
-dx x ϕ D 、1)(>x ϕ
11 袋中有m 个红球，n 个白球，任取2球，求（1）取得两个同色球的概率；（2）至少取
得一个白色球的概率
12 已知(,)X Y 的联合分布率为：
求：（1） 关于X 的边缘分布律；
（2）2
Z X Y =的分布律及分布函数()Z F z
13 有朋自远方来，他乘火车、轮船、汽车、飞
机来的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4。

若他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别为
111
,,4312
，而乘飞机来不迟到，试求：（1）这位朋友迟到的概率；（2）如果他迟到了，求他乘火车的概率。

14 设A , B 为随机事件,且2
1)(,31)(,41)(===
B A P A B P A P ,令 ;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧= .,
,0,1不发生发生B B Y ⎩
⎨⎧=
求：(1) 二维离散型随机变量(X , Y )的概率分布表；
(2) X 和Y 是否相互独立
15 设随机变量X 的概率密度为0(,)0
Ax B
x f x y π+<<=⎧⎨
⎩其它
且
23EX π=求（1）A,B 的值；
（2）3()44P X ππ≤≤；（3）sin Z X =的密度 16 设总体2
~(,)X N μσ(2σ未知)有假设检验::0010H H μμμμ=↔<及
样本, (12X)
X X n （1）请指出所用统计量及其分布；
（2）指出并推导拒绝域（显
著水平为α）
17 某包装机包装物品重量服从正态分布)4,(2μN 。

现在随机抽取16个包装袋，算得平均
包装袋重为900=x ，样本均方差为22=S ，试检查今天包装机所包物品重量的方差是否
有变化？（05.0=α）（488.2715262.6)15(2
025
.02975.0==）（，χχ） 18 已知（X ，Y ）的联合概率密度为：
34120,0
(,)0其它x y e x y f x y --⎧>>=⎨
⎩
，
试求：（1）X ，Y 的边缘密度函数 （2）X,Y 是否相互独立（3）{}2Y 0,1X 0≤<≤<P
19 设,......12X X X n 为来自于总体
X 的一个样本，X 服从指数分布，概率密度为
,x 0
f (x,)0,x e λλλ-⎧>=⎨
⎩其他
, 求参数λ的矩法估计与最大似然估计。

20设随机变量X,Y 相互独立，且都服从正态分布
2
(,)N μσ，若
,312Z X Y Z X Y =+=-；求X 和Y 的函数12,Z Z 的相关系数12
z z ρ。

21从某种电子元件中随机抽取30只，测得平均寿命（单位h ）2500X h =，样本标准差
S ＝700h ，设该种电子元件的使用寿命服从正态分布2
(,)N μσ求2
σ的置信度为95％
的置信区间（上侧分位数(29)45.7,(29)16.00.0250.975χ
χ==）
22证明 设连续型随机变量X 的概率密度函数)(x f 是偶函数，其分布函数为
)(x F 。

证明对任意实数x ，有1)()(=-+x F x F 。

练习题
1、设随机变量)6.0,10(b ~X ，则2
2
[()][(X)]
D X
E = 0.16 ； 2、若随机变量X 的分布未知，但2
,EX
DX μσ==,则X 落在区间(2,2)
μσμσ-+内的概率必不小于___3/4______（切比雪夫不等式） 3、设
ˆˆ(,......)12
X X X n θθ=是未知
参数
θ的一个估计量，满足条件
____ˆ()E θθ=_____，则称ˆθ
θ是的无偏估计。

4. 设X,Y 为随机变量，且D (X +Y )=7, D(X)=4, D(Y)=1，则相关系数XY ρ= 0.5 5. 设随机变量12,,
,n X X X 相互独立，且(1,2,
,)=i X i n 都服从区间[0，1]上的均匀分
布，则当n 充分大时，∑==n
i i n
n X Y 1
1
近似服从
11
(,)212N n
（写出具体分布
与参数）（中心极限定理）
6．设(,)X Y 服从区域222:G x y R +≤上的均匀分布，其概率密度为：
222
(,)0
C
x y R f x y ⎧+≤=⎨
⎩其它
，则C=（ B ）；
(A) 2
R π ； (B)
2
1R π； (C) R π2； (D) R π21。

7．设
,......12X X X n 为相互独立的随机变量，且2
(,())E X D X i i
μσ==（1,2......i n =），11
n
X X i i n ∑=
=，则DX =（ A ） (A)
2
n
σ
(B)
2
n σ (C)
n
σ
(D)
22n σ
8．设一次试验中事件A 不发生的概率为p,独立重复n 次试验，A 发生了X 次。

则正确的是：（ C ） （注：~b(n,1p)X -）
(A) ()()2
1p p X E -= ； (B)
()E X np = ；
(C)
(1)DX np p =- ； (D) 2
DX p p =-。

9．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（ B ） A ． X 与Y 独立； B. ()D X Y DX DY -=+； C ．()D X Y DX DY -=-； D. ()D XY DXDY =. 10. 任何一个连续型随机变量的概率密度)(x ϕ一定满足( C )。

A 、1)(0≤≤x ϕ B 、在定义域内单调不减 C 、
1)(=⎰
+∞
∞
-dx x ϕ D 、1)(>x ϕ
11 袋中有m 个红球，n 个白球，任取2球，求（1）取得两个同色球的概率；（2）至少取
得一个白色球的概率
解：（1）2n
m 2n
2
n m 2m C C C C +++ （2）1—2n m 2m C C +
12 已知(,)X Y 的联合分布率为：
⎪⎪⎪
⎪⎩
⎪
⎪⎪
⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<≤<≤<=9x 19x 40.94x 10.81x 00.7
0x 1-0.3-1x 4-0.1-4x 0
)Z (F Z
13 有朋自远方来，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4。

若
他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别为
111
,,4312
，而乘飞机来不迟到，试求：（1）这位朋友迟到的概率；（2）如果他迟到了，求他乘火车的概率。

解：令1A 表示“朋友乘火车来”，2A 表示“朋友乘轮船来”，3A 表示“朋友乘汽车来”，
4A 表示“朋友乘飞机来”
；B 表示“朋友迟到”。

则（1） ()()()
20
3
1.0121
2.031
3.0414
1
=⨯+⨯+⨯=
=∑=k k k A P A B P B P
（2）()()()()21
20
33.041
111=⨯==B P A P A B P B A P
14 设A , B 为随机事件,且2
1)(,31)(,41)(===
B A P A B P A P ,令 ;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧= .
,
,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧=
求：(1) 二维离散型随机变量(X , Y )的概率分布表；
(2) X 和Y 是否相互独立
解：（1） 由于12
1
)()()(=
=A B P A P AB P ，,61)()()(==
B A P AB P B P 所以 12
1
)(}1,1{=
===AB P Y X P ， 61
)()()(}0,1{=-====AB P A P B A P Y X P ，
,12
1
)()()(}1,0{=-====AB P B P B A P Y X P
)(1)(}0,0{B A P B A P Y X P +-====3
2)()()(1=
+--=AB P B P A P （或3
2121611211}0,0{=---
===Y X P ） 故(X ,Y )的联合概率分布为 Y
X 1 0 1
121
6
1
121
3
2
(2) X , Y 的概率分布分别为
X 0 1 Y 0 1 p
43
41 p 65 6
1 由于P （X=1）P （Y=1）=
111=4624⋅， P （X=1，Y=1）= 1
12
P （X=1）P （Y=1）≠ P （X=1，Y=1）
故X 与Y 不相互独立
15 设随机变量X 的概率密度为0(,)0
Ax B
x f x y π+<<=⎧⎨
⎩其它
且
23EX π=求（1）A,B 的值；
（2）3()44
P X ππ≤≤；（3）sin Z X =的密度 解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⎰⎰πππ
032xdx )B Ax (1dx )B Ax ( 解得：⎪⎩⎪⎨⎧==0B 2A 2
π （2）21
xdx 2)43X 4(P 34
2==≤≤⎰π
ππππ
（3）⎪⎩
⎪
⎨⎧
≤<-=其他01
z 0z 12)z (f 2
z π （分布函数法！）
16 设总体2~(,)X N μσ(2
σ
未知)有假设检验::0010H
H μμμμ=↔<及
样本, (12X)
X X n （1）请指出所用统计量及其分布；
（2）指出并推导拒绝域（显
著水平为α） 解：（1）~(1)X t
t n μ-=
- 其中1
2
()1
1n
S
X X i i n ∑=
-=- （2）若0
H 成立~(1)t t n -
则((1))1P t
t n αα<-=- （注意：此处拒绝域形式应该与备择假设形式一致！）
从而拒绝域为{(1)}{(1)}1t
t n t t n αα<-=<---
17 某包装机包装物品重量服从正态分布)4,(2μN 。

现在随机抽取16个包装袋，算得平均
包装袋重为900=x ，样本均方差为22=S ，试检查今天包装机所包物品重量的方差是否
有变化？（05.0=α）（488.2715262.6)15(2
025
.02975.0==）（，χχ） 解：0H ：22024==σσ，1H ：202σσ≠
由于2
2
22
(1)=
～(1)n S n χχσ--，
拒绝域为2222
220.9750.025W={(15)或(15)}={ 6.262或27.488}χχχχχχ<
><>，
16=n ，22=S ，224=σ代入得 2152
=
1.87516
χ⨯= 由于262.6)15
(875.12
975.0=<χ 所以拒绝0H ，即认为其方差有变化。

18 已知（X ，Y ）的联合概率密度为：
34120,0
(,)0其它x y e x y f x y --⎧>>=⎨
⎩
，
试求：（1）X ，Y 的边缘密度函数 （2）X,Y 是否相互独立（3）{}2Y 0,1X 0≤<≤<P
解：（1）⎰+∞
∞
-=dy y x f x f X ),()(0,00,3-412其它+∞
-⎧>⎪=⎨⎪⎩
⎰x y e
dy y ,00,33其它-⎧>=⎨
⎩x e x ⎰+∞∞
-=dx y x f y f Y ),()(0,00,3-412其它+∞-⎧>⎪=⎨⎪⎩
⎰x y e
dy y 44,00,其他-⎧>=⎨
⎩y e y （2）因为()()()y x f y f x f Y X ,=，所以X 与Y 相互独立.
(3){}2
1
3-4380
X 1,0Y 2=12=（1-)(1-)
x y P e dxdy e e ---<≤<≤⎰
⎰
19 设,......12X X X n 为来自于总体
X 的一个样本，X 服从指数分布，概率密度为
,x 0
f (x,)0,x e λλλ-⎧>=⎨
⎩其他
, 求参数λ的矩法估计与最大似然估计。

解：（1）1.1求出总体X 的期望为0
1
(X)x E x e dx λλλ+∞
-=⋅=
⎰
1.2 令__
(X)E X =得，
__
1
X λ
=
解得__
1X
λ=
1.3 所以λ的矩法估计为__
1X λ∧
=
（2）2.1 写出似然函数
1
1212(x ,x ,x ,)(x ,)(x ,)(x ,)
,0,
n
i
i n n x n
i L f f f e
x λ
λλλλλ=-=∑=>
2.2 求最大值 先取对数：
121ln (x ,x ,
x ,)ln ,0,n
n i i i L n x x λλλ==->∑
再由121
ln (x ,x ,x ,)0,n
n i i d
n
L x d λλ
λ
==
-=∑
得最大值点__
1
1n
i
i n
x
x
λ==
=
∑，也即最大似然估计__
1
x
λ∧
= （最大值的验证可略）
20设随机变量X,Y 相互独立，且都服从正态分布
2
(,)N μσ，若
,312Z X Y Z X Y =+=-；求X 和Y 的函数12,Z Z 的相关系数12
z z ρ。

解：2
212)Y (3D )Y ,X (2Cov )X (D )3Y X ,Y X (Cov )Z ,Z (Cov σ-=--=-+= 因为 Y ,X 相互独立，0)Y ,X (Cov =
212)Y (D )X (D )Y X (D )Z (D σ=+=+=
2210)Y (9D )X (D )3Y X (D )Z (D σ=+=-= 5
1202)
Z (D )Z (D )Z ,Z (Cov 2
22121Z Z 21-
=-=
=
σ
σρ
21从某种电子元件中随机抽取30只，测得平均寿命（单位h ）2500X h =，样本标准差
S ＝700h ，设该种电子元件的使用寿命服从正态分布2
(,)N μσ求2
σ的置信度为95％
的置信区间（上侧分位数(29)45.7,(29)16.00.0250.975χ
χ==）
解：2
(1)22
~(1)2
n S n χχσ
-=-
222
((1)(1))1122
P n n χχχααα-<<-=--
置信区间为22
(1)(1)(,)2
2(1)(1)122n S n S
n n χχαα-----
即222929(,)2
2(29)(29)122
S S χχαα-
即222970029700(,
)45.7
16.0
⨯⨯
22证明 设连续型随机变量X 的概率密度函数)(x f 是偶函数，其分布函数为
)(x F 。

证明对任意实数x ，有1)()(=-+x F x F 。

证明： ⎰-∞-=-x
dt t f x F )()(令t u -=
⎰⎰∞
-∞
---==-x
x
du u f dt t f x F )()()(
)
(1)(1x F du u f x
-=-=⎰∞
-
即1)()(=-+x F x F。