吉林省高三数学寒假作业2

（函数与导数）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22小题，共150分，考试时间120分钟，考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

） 1.
)()
()(0000
lim
x f x
x f x x f x '=∆-∆+→∆，其中x ∆（ ）
（A ）恒取正值或恒取负值 （B ）有时可以取0
（C ）恒取正值 （D ）可以取正值和负值，但不能取0
2.设函数()y f x =在(0，+∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数
(),()(),()K f x f x K f x K f x K
≤⎧=⎨>⎩，取函数ln 1
()x
x f x e +=，恒有()()K f x f x =，则 A ．K 的最大值为
1e B ．K 的最小值为1
e
C ．K 的最大值为2
D ．K 的最小值为2
3.双曲线2
2
1y x m
-=的离心率大于2的充分必要条件是 （ ）
A ．12
m > B ．1m ≥ C ．1m > D ．2m >
4.函数32
()f x x bx cx d =+++的大致图象如图所示，则2212x x +等于（ ）
（A ）89
（B ）
109
（C ）
169
（D ）
289
5.“使lg 1m <”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. 0m >
B. {}1,2m ∈
C. 010m <<
D. 1m <
6.已知a ，b ，c ，d 为实数，且c>d ，则“a>b ”是“a+c>b +d”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
7.
已知复数z =
则“3
π
θ=”是“z 是纯虚数”的（ ）
A ．充要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条件
8.对12,(0,
)2
x x π
∀∈，若21x x >，且1111sin x y x +=
，2
22
1sin x y x +=，则( ) （A ）y 1＝y 2 （B ）y 1>y 2
（C ）y 1<y 2 （D ）y 1，y 2的大小关系不能确定
9.已知复数i i z 1)3(tan --=
θ,则“3
π
θ=”是“z 是纯虚数”的（ ）
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
10.设函数()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()14x
f x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，又函数()sin g x x x π=，则函
数()()()h x f x g x =-在1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上的零点的个数为( )个。

A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
11.函数()3x
f x x =+的零点所在的区间为 （ ） A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2
12.已知,()()()a b f x x a x b >=--函数的图象如图，则函数()log ()a g x x b =+的图象可能为
y
x
1
O
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13.已知函数
2
3
410(2)
()
log(1)6(2)
x x x
f x
x x
⎧-+-≤
⎪
=⎨
-->
⎪⎩
,若2
(6)(5)
f a f a
->，则实数a的取值
范围是__________________
14.不等式2560
x x
--≤的解集为．
15.函数f(x)＝log2(4x＋1)的值域为 .
16.对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数，例如[2]=2；[1.2]=2；[2.2
-]=3
-, 这个函数[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。

那么[][][][]16
log
3
log
2
log
1
log
2
2
2
2
+
+
+
+ 的值为
A．21 B．34 C．35 D．38
三、解答题：
17.(本小题满分10分)设函数()ln
f x x x
=(0)
x>.
（1）求函数()
f x的最小值；
（2）设2
()()
F x ax f x
'
=+()
a∈R，讨论函数()
F x的单调性；
18.（本小题满分14分）已知函数2
()e x
f x k x
=-（其中k∈R，e是自然对数的底数）．
（Ⅰ）若0k <，试判断函数()f x 在区间(0,)+∞上的单调性； （Ⅱ）若2k =，当(0,)x ∈+∞时，试比较()f x 与2的大小；
（Ⅲ）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <），求k 的取值范围，并证明10()1f x <<．
19. （本题满分10分）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()4f x f x +=，当[]0,4x ∈时， ()2
x m
f x n -=+，且()26f =。

（1）求,m n 的值；
（2）当[]0,4x ∈时，关于x 的方程()20x f x a -=有解，求a 的取值范围。

20.(本题满分l2分)设函数2
()(0)f x ax bx c a =++≠，曲线()y f x =通过点(0，2a+3)，且在1x =处的切线垂直于y 轴． (I)用a 分别表示b 和c ；
(II)当bc 取得最大值时，写出()y f x =的解析式； (III)在(II)的条件下，g(x)满足4
()6(2)()(2)3
f x x
g x x -=->，求g(x)的最大值及相应x 值．
21.（本小题满分12分）已知函数()()12
1,ln 2
-+=
=bx ax x g x x f ， （1）当0=a 且1=b 时，证明：对0>∀x ，()()x g x f ≤；
（2）若2=b ，且()()()x g x f x h -=存在单调递减区间，求a 的取值范围；
（3）数列{}n a ，若存在常数0>M ，*∈∀N n ，都有M a n <，则称数列{}n a 有上界。

已知n
b n 1
211+++= ，试判断数列{}n b 是否有上界．
22.（本小题满分12分） 设函数4()log (41)x f x ax =++（a ∈R ） （Ⅰ）若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，求a 的值；
（Ⅱ）若不等式()()f x f x mt m +-≥+对任意x ∈R ，[2,1]t ∈-恒成立，求实数m 的取值范围．
试卷答案1.D
2.B
3.C
4.C
5.B
6.A
7.C
8.B
9.C
10.C
11.B
12.C
13.()1,6-
14.[-1,6]
+∞
15.(0,)
16.D
17.
（1）解：f'（x）=lnx+1（x＞0），令f'（x）=0，得．
∵当时，f'（x）＜0；当时，
f'（x）＞0，
∴当时，．----------------- 5分
（2）F（x）=ax2+lnx+1（x＞0），．
①当a≥0时，恒有F'（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上是增函数；
②当a＜0时，
令F'（x）＞0，得2ax2+1＞0，解得；
令F'（x）＜0，得2ax2+1＜0，解得．
综上，当a≥0时，F（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＜0时，F（x）在上单调递增，在上单调递减．------------------------------------7分
18.
（Ⅰ）由()e 2x f x k x '=-可知，当0k <时，由于(0,)x ∈+∞，()e 20x f x k x '=-<， 故函数()f x 在区间(0,)+∞上是单调递减函数． ················ 3分 （Ⅱ）当2k =时，2()2e x f x x =-，则()2e 2x f x x '=-， ··········· 4分 令()2e 2x h x x =-，()2e 2x h x '=-，
由于(0,)x ∈+∞，故()2e 20x h x '=->，于是()2e 2x h x x =-在(0,)+∞为增函数， · 6分 所以()2e 2(0)20x h x x h =->=>，即()2e 20x f x x '=->在(0,)+∞恒成立，
从而2()2e x f x x =-在(0,)+∞为增函数，故2()2e (0)2x f x x f =->=． ······ 8分 （Ⅲ）函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，则1x ，2x 是()e 20x f x k x '=-=的两个根， 即方程2e x x k =
有两个根，设2()e x x x ϕ=，则22()e x
x
x ϕ-'=， 当0x <时，()0x ϕ'>，函数()x ϕ单调递增且()0x ϕ<； 当01x <<时，()0x ϕ'>，函数()x ϕ单调递增且()0x ϕ>； 当1x >时，()0x ϕ'<，函数()x ϕ单调递减且()0x ϕ>． 要使2e x x k =
有两个根，只需20(1)k e
ϕ<<=． 故实数k 的取值范围是2
(0,)e
． ······················ 10分
又由上可知函数()f x 的两个极值点1x ，2x 满足1201x x <<<， ········· 11分 由111()e 20x f x k x '=-=，得1
1
2e
x x k =， ∴11122
221111111112()e e (2)2(1)1e
x x x x f x k x x x x x x x =-=
-=-=-+=--+， 由于1(0,1)x ∈，故210(1)11x <--+<， 所以10()1f x <<． 14分
19.
（1）由已知()()04f f =，可得422
4,2m
m
n n m m m -+=+∴=-∴=
又由()26f =可知22
26,5n n -+=∴=
（2）方程即为2
2
52x x m -+=⨯在[]0,4有解。

当[]0,2x ∈时，()
22
4
52
5222x
x x x m m -+=⨯⇒=
+，令11,124x
t ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
则2
45m t t =+在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦
单增，3,92
m ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣
⎦
当(]2,4x ∈时，2
112
52542x x
x m m -+=⨯⇒=+⨯，令111,2164x
t ⎛⎫⎡⎫=∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭
则154m t =
+，93,162m ⎡⎫
∴∈⎪⎢⎣⎭ 综上：9,916m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
20.
21.
22.
（Ⅰ）由函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()f x f x =-恒成立，
即44log (41)log (41)x
x
ax ax -++=+-，所以44411
2log log 414
x x x ax x -+===-+，
所以(21)0a x +=恒成立，则210a +=，故1
2
a =-． ············· 4分
（Ⅱ）4444()()log (41)log (41)log (41)log (41)x x x x f x f x ax ax --+-=++++-=+++ 444log (41)(41)log (244)log (244)1x x x x x x ---=++=++≥+⨯=．
所以1mt m +≤对任意[2,1]t ∈-恒成立，令()h t mt m =+， 由(2)21,(1)1,
h m m h m m -=-+≤⎧⎨=+≤⎩解得112m -≤≤，
故实数m 的取值范围是1
[1,]2
． 12分。