2005年高考辽宁省数学试题

2005年高考辽宁省数学试题
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式
P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π= 如果事件A 、B 相互独立，那么
P(A·B)=P(A)·P(B) 其中R 表示球的半径 如果事件A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式 P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 334R V π=球
次的概率k n k
k n n P P C k P --=)1()(
其中R 表示球的半径
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的. 1．复数.111-++-=i
i
z 在复平面内，z 所对应的点在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．极限)(lim 0
x f x x →存在是函数)(x f 在点0x x =处连续的（ ） A ．充分而不必要的条件 B ．必要而不充分的条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要的条件
3．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（ ）
A ．10
100
610480C C C ⋅ B ．10
100
410680C C C ⋅ C ．10
100620480C C C ⋅ D ．10
100
420680C C C ⋅ 4．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若βαβα//,,则⊥⊥m m ； ②若βααβγα//,,则⊥⊥； ③若βαβα//,//,,则n m n m ⊂⊂； ④若m 、n 是异面直线，βααββα//,//,,//,则n n m m ⊂⊂
其中真命题是（ ）
A ．①和②
B ．①和③
C ．③和④
D ．①和④
5．函数1ln(2++=x x y 的反函数是（ ）
A ．2x x e e y -+=
B ．2x x e e y -+-=
C ．2
x x e e y --= D ．2x
x e e y ---=
6．若011log 2
2<++a
a a
，则a 的取值范围是（ ）
A ．),2
1(+∞
B ．),1(+∞
C ．)1,2
1(
D ．)2
1,0(
7．在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立， 则（ ）
A ．11<<-a
B ．20<<a
C ．2
3
21<<-
a D ．2
1
23<<-
a 8．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的范
围是（ ）
A ．（1，2）
B ．（2，+∞）
C ．[3，+∞)
D ．（3，+∞）
9．若直线02=+-c y x 按向量)1,1(-=a 平移后与圆522=+y x 相切，则c 的值为（ ）
A ．8或－2
B ．6或－4
C ．4或－6
D ．2或－8
10．已知)(x f y =是定义在R 上的单调函数，实数21x x ≠，,1,12
1λ
λλ++=
-≠x x a
λ
λβ++=
11
2x x ，若|)()(||)()(|21βαf f x f x f -<-，则
（ ）
A ．0<λ
B ．0=λ
C ．10<<λ
D ．1≥λ
11．已知双曲线的中心在原点，离心率为3.若它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合， 则该双曲线与抛物线x y 42=的交点到原点的距离是（ ）
A ．23+6
B ．21
C ．21218+
D ．21
12．一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)
(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（ ）
A B C D
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13．n
x
x )2(212
1--的展开式中常数项是 .
14．如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点，A 、B 、M 是顶点，那么点M 到截面ABCD 的距离是 .
15．用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不．相邻，这样的八位数共有 个.（用数字作答）
16．ω是正实数，设)](cos[)(|{θωθω+==x x f S 是奇函数}，若对
每个实数a ，)1,(+⋂a a S ω的元素不超过2个，且有a 使)1,(+⋂a a S ω含2个元素，则ω的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
已知三棱锥P —ABC 中，E 、F 分别是AC 、AB 的中点,
△ABC ，△PEF 都是正三角形，PF ⊥AB. （Ⅰ）证明PC ⊥平面PAB ；
（Ⅱ）求二面角P —AB —C 的平面角的余弦值； （Ⅲ）若点P 、A 、B 、C 在一个表面积为12π的 球面上，求△ABC 的边长.
18．（本小题满分12分） 如图，在直径为1的圆O 中，作一关于圆心对称、 邻边互相垂直的十字形，其中.0>>x y
（Ⅰ）将十字形的面积表示为θ的函数；
（Ⅱ）θ为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？ 19．（本小题满分12分）
M
已知函数).1(1
3
)(-≠++=
x x x x f 设数列n a {}满足)(,111n n a f a a ==+，数列n b {}满足).(|,3|*
21N n b b b S a b n n n n ∈+++=-=
（Ⅰ）用数学归纳法证明1
2
)13(--≤n n
n b ； （Ⅱ）证明.3
3
2<
n S 20．（本小题满分12分）
某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A 、B 两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为A
（Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结 果为A 级的概率如表一所示，分别求生产 出的甲、乙产品为一等品的概率P 甲、P 乙； （Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、 η分别表示一件甲、乙产品的利润，在 （I ）的条件下，求ξ、η的分布列及 E ξ、E
η； （Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额 如表三所示.该工厂有工人40名，可用资. 金60万元.设x 、y 分别表示生产甲、乙产 品的数量，在（II ）的条件下，x 、y 为何 值时，
ηξyE xE z += （解答时须给出图示）
21．（本小题满分14分）
已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是
椭圆外的动点，满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF
（Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明x a
c
a F +=||1；
（Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；
（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ， 使△F 1MF 2的面积S=.2
b 若存在，求∠F 1MF 2
的正切值；若不存在，请说明理由.
22．（本小题满分12分）
函数)(x f y =在区间（0，+∞）内可导，导函数)(x f '是减函数，且.0)(>'x f 设
m kx y x +=+∞∈),,0(0是曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）得的切线方程，并设函数
.)(m kx x g +=
（Ⅰ）用0x 、)(0x f 、)(0x f '表示m ； （Ⅱ）证明：当)()(,),0(0x f x g x ≥+∞∈时；
（Ⅲ）若关于x 的不等式),0[2
3
132
2+∞≥+≥+在x b ax x 上恒成立，其中a 、b 为实数，
求b 的取值范围及a 与b 所满足的关系.
2005年高考数学辽宁卷试题及答案
参考答案
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.
1.B
2.B
3.D
4.D
5.C
6.C
7.C
8.B
9.A 10.A 11.B 12.A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题4分，满分16分
13．－160 14．3
2
15．576 16．2,(ππ
解： ①{|()cos[()]S f x x ωθωθ==+是奇函数}
⇒213113
{|,}{,,,,,}22222k S k Z ωθθπππππωωωωω
+==
∈=-- ②对每个实数a ，)1,(+⋂a a S ω的元素不超过2个，且有a 使)1,(+⋂a a S ω含2个元素，也就是说S ω中任意相邻的两个元素之间隔必小于1，并且S ω中任意相邻的三个元素的两间隔之和必大于等于1 ⇒
22
121222πππωπωω
<⨯≥⇒<≤且 三、解答题
17．本小题主要考查空间中的线面关系，三棱锥、球的有关概念及解三角形等基础知识，考
查空间想象能力及运用方程解未知量的基本方法，满分12分.
（Ⅰ）证明： 连结CF.
.,2
1
21PC AP AC BC EF PE ⊥∴==
= .,,PCF AB AB PF AB CF 平面⊥∴⊥⊥
..,PAB PC AB PC PCF PC 平面平面⊥∴⊥∴⊂ ……4分
（Ⅱ）解法一：,,CF AB PF AB ⊥⊥
PFC ∠∴为所求二面角的平面角. 设AB=a ，则AB=a ，则a CF a EF PF 2
3,2
===
.33
2
32cos ==∠∴a a
PFC ……………………8分
解法二：设P 在平面ABC 内的射影为O. PAF ∆ ≌PAB PAE ∆∴∆,≌.PAC ∆ 得PA=PB=PC. 于是O 是△ABC 的中心. PFO ∠∴为所求二面角的平面角. 设AB=a ，则.2331,2a OF a PF ⋅==
.3
3c o s ==∠∴PF OF PFO ………8分 （Ⅲ）解法一：设PA=x ，球半径为R. ,,PB PA PAB PC ⊥⊥平面
ππ124.232==∴R R x ，ABC x R ∆∴==∴.2.3得的边长为22.……12分
解法二：延长PO 交球面于D ，那么PD 是球的直径.
连结OA 、AD ，可知△PAD 为直角三角形. 设AB=x ，球半径为R.
,2
332,66tan .32,1242x OA x PFO OF PO PD R ⋅==
∠==∴= ππ 22.22).6
6
32(66)33(
2的边长为于是ABC x x x x ∆∴=-=∴.……12分 18．本小题主要考查根据图形建立函数关系、三角函数公式、用反三角函数表示角以及解和 三角函数有关的极值问题等基础知识，考查综合运用三角函数知识的能力. 满分12分.
（Ⅰ）解：设S 为十字形的面积，则2
2x xy S -=
).2
4
(
cos cos sin 22π
θπ
θθθ<
<-=………………4分
（Ⅱ）解法一：,2
1)2sin(25212cos 212sin cos cos sin 22--=--=-=ϕθθθθθθS 其中.5
52arccos =ϕ………8分 当S ,22,1)2sin(时即πϕθϕθ=-=-最大.……10分 所以，当S ,552arccos 214时+=
π
θ最大. S 的最大值为.2
1
5-…………12分 解法二： 因为,cos cos sin 22θθθ-=S 所以θθθθcos sin 2sin 2cos 222+-='S
.2sin 2cos 2θθ+=……………………8分
令S ′=0，即,02sin 2cos 2=+θθ
可解得)2arctan(21
2
-+
=
π
θ ………………10分 所以，当)2arctan(212
-+
=
π
θ时，S 最大，S 的最大值为.2
15- …………12分 19．本小题主要考查数列、等比数列、不等式等基本知识，考查运用数学归纳法解决有关问
题的能力，满分12分
（Ⅰ）证明：当.11
2
1)(,0≥++
=≥x x f x 时 因为a 1=1， 所以*).(1N n a n ∈≥ ………………2分
下面用数学归纳法证明不等式.2
)13(1
--≤n n
n b （1）当n=1时，b 1=13-，不等式成立，
（2）假设当n=k 时，不等式成立，即.2)13(1
--≤k k
k b
那么 k
k k k a a a b +--=
-=+-1|
3|)13(|3|11 ………………6分
k ≤ 所以，当n=k+1时，不等也成立
根据（1）和（2），可知不等式对任意n ∈N*都成立 …………8分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知， .2
)13(1
--≤n n n b 所以 1
2212)13(2)13()13(--+
+-+-≤+++=n n
n n b b b S 2131)
213(
1)13(----⋅-=n
…………10分 .3322
1311)13(=--
⋅-<
故对任意.33
2
,<
∈*
n S N n ………………（12分） 20．（本小题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的分布列及期望、线性规划模型的建
立与求解等基础知识，考查通过建立简单的数学模型以解决实际问题的能力，满分12 分.
（Ⅰ）解：.6.08.075.0,68
.085.08.0=⨯=⨯=乙甲P P …………2分
（Ⅱ）解：随机变量ξ、η的分别列是
,2.432.05.268.05=⨯+⨯=ξE .1.24.05.16.05.2=⨯+⨯=ηE …………6分
（Ⅲ）解：由题设知⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧≥≥≤+≤+.
0,0,4028,60105y x y x y x
目标函数为 .1.22.4y x yE xE z +=+=ηξ……8分 作出可行域（如图）： 作直线:l ,01.22.4=+y x
将l 向右上方平移至l 1位置时，直线经过可行域上
的点M 点与原点距离最大，
此时y x z 1.22.4+= …………10分
取最大值. 解方程组⎩⎨⎧=+=+.
4028,
60105y x y x
得.4,4==y x 即4,4==y x 时，z 取最大值，z 的最大值为25.2 .……………12分
21．本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应
用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分.
（Ⅰ）证法一：设点P 的坐标为).,(y x 由P ),(y x 在椭圆上，得
.
)()()(||22
222
2
2
2
1x a
c
a x
a b b c x y c x P F +=-++=++=
由0,>+-≥+
≥a c x a c a a x 知，所以 .||1x a
c
a F +=………………………3分 证法二：设点P 的坐标为).,(y x 记,||,||2211r F r F ==
则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=
由.||,4,2112
22121x a
c a r F cx r r a r r +
===-=+得
证法三：设点P 的坐标为).,(y x 椭圆的左准线方程为.0=+x a
c
a
由椭圆第二定义得a c c
a x F =
+|
|||2
1，即.||||||2
1x a c a c a x a c F +=+=
由0,>+-≥+
-≥a c x a c a a x 知，所以.||1x a
c
a P F +=…………………………3分 （Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为).,(y x
当0||=时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.
当|0||0|2≠≠TF 且时，由0||||2=⋅TF ，得2TF ⊥. 又||||2PF =，所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，a Q F OT ==
||2
1
||1，所以有.222a y x =+ 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+…………………………7分 解法二：设点T 的坐标为).,(y x 当0||=时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF 且时，由02=⋅TF ，得2TF ⊥.
又||||2PF =，所以T 为线段F 2Q 的中点.
设点Q 的坐标为（y x '',），则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧'=+'=.2,2y y c x x
因此⎩⎨⎧='-='.
2,
2y y c x x ①
由a Q F 2||1=得.4)(222a y c x ='++' ② 将①代入②，可得.2
22a y x =+
综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.2
22a y x =+……………………7分
（Ⅲ）解法一：C 上存在点M （00,y x ）使S=2
b 的充要条件是
⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||22
1,
2
022020b y c a y x ③ ④
由③得a y ≤||0，由④得.||20c b y ≤ 所以，当c b a 2≥时，存在点M ，使S=2b ； 当c b a 2<时，不存在满足条件的点M.………………………11分 当c b a 2≥时，),(),,(002001y x c MF y x c MF --=---=， 由2222022021b c a y c x MF MF =-=+-=⋅，
212121cos ||||MF F MF MF MF MF ∠⋅=⋅， 22121sin ||||2
1b MF F MF MF S =∠⋅=，得.2tan 21=∠MF F 解法二：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是
⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||22
1,
2022020b y c a y x 由④得.||20c b y ≤ 上式代入③得.0))((2224220≥+-=-=c b a c b a c b a x 于是，当c b a 2≥时，存在点M ，使S=2b ； 当c
b a 2<时，不存在满足条件的点M.………………………11分 当
c b a 2≥时，记c x y k k c x y k k M F M F -==+==00200121,， 由,2||21a F F <知︒<∠9021MF F ，所以.2|1|tan 2
12121=+-=∠k k k k MF F …………14分 22．本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想
判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.满分12分
（Ⅰ）解：).()(000x f x x f m '-=…………………………………………2分
（Ⅱ）证明：令.0)(),()()(),()()(00=''-'='-=x h x f x f x h x f x g x h 则
因为)(x f '递减，所以)(x h '递增，因此，当0)(,0>'>x h x x 时；
当0)(,0<'<x h x x 时.所以0x 是)(x h 唯一的极值点，且是极小值点，可知)(x h 的
最小值为0，因此,0)(≥x h 即).()(x f x g ≥…………………………6分
（Ⅲ）解法一：10≤≤b ，0>a 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 0)1(,12
2≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是 .)1(221
b a -≤ ③ ④
另一方面，由于322
3)(x x f =满足前述题设中关于函数)(x f y =的条件，利用（II ）的结果可知，3223x b ax =+的充要条件是：过点（0，b ）与曲线322
3x y =相切的直线的斜率大于a ，该切线的方程为.)2(21b x b y +=-
于是3223x b ax ≥+的充要条件是.)2(2
1b a ≥…………………………10分 综上，不等式32
2231x b ax x ≥+≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是
.)1(2)2(2121b a b -≤≤- ①
显然，存在a 、b 使①式成立的充要条件是：不等式.)1(2)2(2121b b -≤- ② 有解、解不等式②得.422422+≤≤-b ③ 因此，③式即为b 的取值范围，①式即为实数在a 与b 所满足的关系.…………12分 （Ⅲ）解法二：0,10>≤≤a b 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 0)1(,122≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是 .)1(221b a -≤………………………………………………………………8分 令32
23)(x b ax x -+=φ，于是3223x b ax ≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是
.0)(≥x φ 由.0)(331--==-='a x x a x 得φ 当30-<<a x 时;0)(<'x φ当3->a x 时，0)(>'x φ，所以，当3-=a x 时，)(x φ取最小值.因此0)(≥x φ成立的充要条件是0)(3≥-a φ，即.)
2(21-≥b a ………………10分 综上，不等式322231x b ax x ≥+≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是
.)1(2)2(2121b a b -≤≤- ①
显然，存在a 、b 使①式成立的充要条件是：不等式2121)1(2)2(b b -≤- ② 有解、解不等式②得.422422+≤≤-b
因此，③式即为b 的取值范围，①式即为实数在a 与b 所满足的关系.…………12分。