2012-2021年考研数学二历年真题答案-博乐

２０１２
年数学（二）试题答案一、选择题（１）Ｃ　（２）Ａ　（３）Ｂ　（４）Ｄ　（５）Ａ　（６）Ｄ　（７）Ｃ　（８）Ｂ二、填空题
（９）１．　（１０）π４．　（１１）０．　（１２）槡狓．　（１３）（－１，０）．　（１４）－２７．三、解答题（１５）（Ⅰ）方法１（等价无穷小）　１．（Ⅱ）犽＝１．（１６）１）得驻点为犕１（－１，０）和犕２
（１，０）．２）犳（－１，０）＝－ｅ－１２为极小值．犳
（１，０）＝ｅ－１２为极大值．（１７）犇的面积为２．
旋转体的体积为２３π（ｅ２－１）．（１８）１６１５（１９）（Ⅰ）方法１（特征根法）　通解为犳（狓）＝犆１ｅ－２狓＋犆２
ｅ狓犳
（狓）＝ｅ狓．（Ⅱ）曲线狔
＝ｅ狓２∫
狓０ｅ－狋２ｄ狋有唯一的拐点（０，０）．（２０）略．
（２１）（Ⅰ）方程狓狀＋狓狀－１＋…＋狓＝１在１２
，（）
１内有且仅有一个实根．（Ⅱ）方法１（单调有界准则）　ｌｉｍ狀→∞狓狀＝１２．（２２）（Ⅰ）１－
犪４．（Ⅱ）狓＝犽烄烆烌烎１１１１＋０－烄烆烌
烎１００（犽为任意常数）．（２３）（Ⅰ）故犪＝－１．（Ⅱ）１）故犃Ｔ犃的特征值为λ１＝０，λ２＝２，λ３
＝６．２）对应于λ１＝０的特征向量狆１
＝－１－烄烆烌
烎１１；济
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对应于λ３＝６的特征向量狆３
＝烄烆烌
烎
１１２．３）犲１＝狆１＝－１槡３－１槡３１槡烄烆烌烎３，　犲２＝狆２＝１槡２－１槡２烄烆烌烎０，　犲３＝１槡６１槡６２槡烄烆烌烎６．４）为标准形犳＝２狔２２＋６狔２３
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一、选择题（１）Ｃ　（２）Ａ　（３）Ｃ　（４）Ｄ　（５）Ａ　（６）Ｂ　（７）Ｂ　（８）Ｂ二、填空题（９）ｅ１２．　（１０）１１－ｅ－槡
１．　（１１）π１２．（１２）狔＝－狓＋π４＋ｌｎ２２
．　（１３）ｅ３狓－ｅ狓－狓ｅ２狓．　（１４）－１．三、解答题（１５）方法１（泰勒公式）　狀＝２，犪＝７．（１６）犪＝槡７７．（１７）４１６３．（１８）略．（１９）所以曲线上点（１，１）到原点的距离最长，而点（０，１）和（１，０）到原点的距离最短．
（２０）（Ⅰ）犳（狓）在（０，１）上单调递减，在（１，＋∞）上单调递增，犳
（狓）在狓＝１处取得极小值犳（１）＝１，且极小值犳（１）＝１也是犳（狓）在（０，＋∞）内的最小值．（Ⅱ）ｌｉｍ狀→
∞狓狀＝１．（２１）（Ⅰ）犔的弧长为ｄ狓＝ｅ２＋１４．（Ⅱ）方法１（定积分）　珚狓＝３４·ｅ４－２ｅ２－３ｅ３－７．（２２）２）方法１（观察消元法）　犆＝犮１＋犮２＋１－犮１
犮１犮（）
２，其中犮１，犮２
为任意常数．（２３）（Ⅰ）二次型矩阵为犃＝２ααＴ＋ββＴ．（Ⅱ）所以犃的特征值为２，１，０．从而，二次型犳在正交交换下的标准形为２狔２１＋狔２２
．济
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一、选择题（１）Ｂ　（２）Ｃ　（３）Ｄ　（４）Ｃ　（５）Ｄ　（６）Ａ　（７）Ｂ　（８）Ａ二、填空题（９）３８π．（１０）１．
（１１）－１２（ｄ狓＋ｄ狔）．（１２）狔＝－２π狓＋π２．（１３）１１２０．（１４）－２≤犪≤２．三、解答题（１５）１２．（１６）驻点为狓＝±１，得狔（－１）＝０，狔（１）＝１．方法１（一阶导数法）故狔
（狓）的极大值为１，极小值为０．（１７）方法１（利用轮换对称性）　ｄθ＝－３４
．（１８）（１） ２狕 狓２＝犳″（狌）·ｅ２狓ｃｏｓ２狔＋犳′（狌）·ｅ狓ｃｏｓ狔， ２狕 狔２＝犳″（狌）·ｅ２狓ｓｉｎ２狔－犳′（狌）·ｅ狓ｃｏｓ狔．（２）４）求函数为犳（狌）＝－１１６ｅ－２狌＋１１６ｅ２狌－狌４
．（１９）略．（２０）ｌｉｍ狀→
∞狀犛狀＝１．（２１）π４（８ｌｎ２－５）．（２２）（Ⅰ
）故犃狓＝０的同解方程组为狓１＝－狓４，狓２＝２狓４
，狓３＝３狓４
，狓４＝狓４烅烄
烆，济
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犅＝－犮１＋２－犮２＋６－犮３－１２犮１－１２犮２－３２犮３
＋１３犮１－１３犮２－４３犮３＋１犮１犮２犮烄烆烌烎３（犮１，犮２，犮３
均为任意常数）．（２３）（１）犃的特征值为λ１＝狀，λ２＝λ３＝…＝λ狀＝０．显然，上三角阵犅的特征值也为λ１＝狀，λ２＝λ３＝…＝λ狀
＝０．济南博乐图书音像专
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２０１５
年数学（二）试题答案一、选择题（１）Ｄ　（２）Ｂ　（３）Ａ　（４）Ｃ　（５）Ｄ　（６）Ｂ　（７）Ｄ　（８）Ａ二、填空题
（９）４８．　（１０）狀（狀－１）ｌｎ狀－２２．　（１１）２．　（１２）ｅ－２狓＋
２ｅ狓．（１３）－１３（ｄ狓＋２ｄ狔）．　（１４）２１．三、解答题
（１５）方法１（泰勒公式）　得犪＝－１，犫＝－１２，犽＝－１３
．（１６）犃＝８π．（１７）犳（狓，狔）有极小值犳
（０，－１）＝－１．（１８）所以
犇
狓（狓＋狔）ｄ狓ｄ狔＝π４－２５．（１９）所以犳（狓）在（－∞，＋∞）内有两个零点，其中一个零点在－∞，（）
１２之间
，一个零点为狓＝１．（２０）物体还需冷却３０ｍｉｎ，温度才降至２１℃．（２１）犪＜狓０＜犫．（２２）（Ⅰ）方法１（特征值）　
犪＝０．（Ⅱ）方法２　犡＝３１－２１
１－１２１－烄烆烌
烎１．（２３）（Ⅰ
）犃＝０２－３－１３－３１－烄烆烌
烎２４．（Ⅱ）方法１　（１）故犃的特征值为λ１＝λ２＝１，λ３
＝５．（２）对λ１＝λ２＝１，由可得对应的线性无关的特征向量为狆１＝烄烆烌烎２１０，狆２
＝－烄烆烌
烎３０１．对λ３＝５，由可得对应的线性无关的特征向量为狆３
＝１１－烄烆烌
烎
１．方法２　（２）犅的特征值为０，０，４．犅对应于特征值０
的线性无关的特征向量为－济
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可得犅对应于特征值４的特征向量为：狆３
＝α＝１１－烄烆烌
烎
１．（３）犃的特征值为１，１，５，特征向量为狆１，狆２，狆３
．（４）作相似变换矩阵犘＝（狆１，狆２，狆３
）和对角矩阵Λ＝１１烄烆烌烎
５，则犘－１犃犘＝Λ．济南博乐图书音像专
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２０１６
年数学（二）试题答案一、选择题（１）Ｂ　（２）Ｄ　（３）Ｂ　（４）Ｂ　（５）Ａ　（６）Ｄ　（７）Ｃ　（８）Ｃ二、填空题
（９）狔＝狓＋π２．（１０）ｓｉｎ１－
ｃｏｓ１．（１１）狔′－狔＝２狓－狓２．（１２）５·２狀－１．（１３）槡２２犞０．（１４）２．三、解答题
（１５）方法１　１３
．（１６）故当狓＞０时，犳（狓）的最小值为１４
．（１７）狕＝狕（狓，狔
）的极大值为狕（－１，－１）＝１．（１８）１－π２
．（１９）通解为狔＝犆１ｅ狓－犆２（２狓＋１）（犆１，犆２为任意常数）．（２０）旋转体体积为１８３５
π．所求旋转曲面面积为２π＝１６５
π．（２１）（Ⅰ）１３π
．（Ⅱ）犳（狓）在π２，３２（］
π上单调增加，故在０，３π（）
２
上只有犳（狓１）＝０，即犳（狓）在区间０，３２（）
π内存在唯一零点．（２２）（Ⅰ）犪＝０．（Ⅱ
）求通解为狓＝犽０－烄烆烌烎１１＋１－烄烆烌
烎
２０（犽为任意常数）．（２３）（Ⅰ）（１）故犃的特征值为λ１＝－２，λ２＝－１，λ３
＝０．对于λ１＝－２，由可得对应的特征向量狆１
＝（１，２，０）Ｔ．济
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（２）犃９９＝２９９－２－２９９＋１－２９８＋２２１００－２－２１００＋１－２９９＋
２烄烆烌烎０００．（Ⅱ）β１＝（２９９－２）α１＋（２１００－２）α２，β２＝（１－２９９）α１＋（１－２１００）α２，β
３＝（２－２９８）α１＋（２－２９９）α２烅烄烆．济南博乐图书音像专
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２０１７
年数学（二）试题答案一、选择题（１）Ａ　（２）Ｂ　（３）Ｄ　（４）Ｃ　（５）Ｄ　（６）Ｃ　（７）Ｂ　（８）Ｂ二、填空题
（９）狔＝狓＋２．　（１０）－１８
．　（１１）１．　（１２）狓狔ｅ狔．（１３）－ｌｎ（ｃｏｓ１）．　（１４）－１．三、解答题（１５）２３．（１６）ｄ狔ｄ狓狓＝０＝犳′１（１，１）＋犳″１１（１，１）－犳′２（１，１）．（１７）犐＝１４．（１８）故当狓＝１时，狔有极大值１；当狓＝－１时，狔有极小值０．（１９）（Ⅱ）方程犳（狓）·犳″（狓）＋［犳′（狓）］２＝０在区间（０，１）内至少存在两个实根．（２０）５４π．（２１）１２
ｌｎ狔２＋狓（）２＋ａｒｃｔａｎ狔狓＝０．（２２）（Ⅱ）所以方程组犃狓＝β的通解为狓＝犽ξ＋η
＝犽１２－烄烆烌烎１＋烄烆烌
烎
１１１，犽为任意常数．（２３）则犙＝－１槡
２１槡３１槡６０－１槡３２槡６１槡２１槡３１槡烄烆烌烎
６．济
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一、选择题（１）Ｂ　（２）Ｄ　（３）Ｄ　（４）Ｄ　（５）Ｃ　（６）Ｃ　（７）Ａ　（８）Ａ二、填空题
（９）１．　（１０）狔＝４狓－３．　（１１）１２ｌｎ２．　（１２）２３．　（１３）１４
．　（１４）２．三、
解答题（１５）即原式＝１２ｅ２狓ａｒｃｔａｎｅ狓－槡１－１６ｅ狓－（）１３２－１２ｅ
狓－槡１＋犆．（１６）（Ⅰ）犳
（狓）＝－２犪ｅ－狓＋２犪．（Ⅱ）犪＝ｅ２．（１７）３π２＋５π．（１８）略．（１９）最小值为１π＋４＋槡３３．（２０）此时犛关于时间狋的变化率为１０．（２１）即ｌｉｍ狀→
∞狓狀＝０．（２２）（Ⅰ
）当犪＝２时，方程组有非零解狓＝犽－２－１烄烆烌
烎
１，其中犽为任意常数．当犪≠２时，方程组只有零解．（Ⅱ）方法１（正交变换法）　规范形为犳（狕１，狕２，狕３）＝狕２１＋狕２２．（２３）（Ⅰ
）犪＝２．（Ⅱ）可逆矩阵犘＝３－６犽１４－６犽２４－６犽３－１＋２犽１－１＋２犽２－１＋２犽３犽
１犽２犽烄
烆烌烎３，其中犽２≠
犽３．济
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一、选择题（１）Ｃ　（２）Ｂ　（３）Ｄ　（４）Ｄ　（５）Ａ　（６）Ａ　（７）Ａ　（８）Ｃ二、填空题
（９）４ｅ２．　（１０）３π２
＋２．　（１１）狔犳狔２（）
狓或狕．　（１２）１２ｌｎ３．（１３）１４（ｃｏｓ１－１）．　（１４）－４．三、解答题
（１５）故狓＝１ｅ
为犳（狓）的极小值点，且极小值为犳１（）ｅ＝１（）
ｅ２ｅ＝ｅ－２ｅ；故狓＝－１为犳（狓）的极小值点，且极小值为犳（－１）＝１×ｅ－１＋１＝１－１ｅ
；所以狓＝０为犳（狓）的极大值点，且极大值为犳
（０）＝１．（１６）－２ｌｎ狓－１－３狓－１＋ｌｎ（狓２＋狓＋１）＋犆．（１７）（Ⅰ）狔（狓）＝槡狓ｅ１２狓２．
（Ⅱ）π２（ｅ４－ｅ）．（１８）４３１２０
槡２．（１９）ｌｉｍ狀→∞犛狀＝１＋ｅπ２（ｅπ－１）．（２０）得犪＝－３４，犫＝３４．（２１）略．（２２）则狓１α１＋狓２α２＋狓３α３＝β３的通解为狓＝犽（－２，１，１）Ｔ＋（３，－２，０）Ｔ＝（－２犽＋３，犽－２，犽）Ｔ，即β３＝－２犽＋（）３α１＋犽－（）２α２＋犽α３（犽为任意常数）．（２３）（１）狓＝３，狔＝－２．（２）特征值为：λ１＝２，λ２＝－１，λ３
＝－２．济
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一、选择题（１）Ｄ　（２）Ｃ　（３）Ａ　（４）Ａ　（５）Ｂ　（６）Ｂ　（７）Ｃ　（８）Ｄ二、填空题
（９）－槡２．　（１０）２９（槡２２－１）．　（１１）π－（）１ｄ狓－ｄ狔．（１２）１３ρ犵犪３．　（１３）１．　（１４）犪４－４犪２．三、
解答题（１５）斜渐近线方程为狔＝１ｅ狓＋１２ｅ．（１６）综上可得犵′（狓）＝１２狓＝０，犳（狓）狓－１狓２∫
狓０犳（）狌ｄ狌狓≠０烅烄烆
．所以犵
′（狓）在狓＝０处连续．（１７）所以（１６，１１２）为极小值点，极小值犳（１６，１１２）＝－１２１６．（１８）则犞狓＝π２６．（１９）
犇
狓２＋狔槡２狓ｄ狓ｄ狔＝３４槡２＋３４ｌｎ（槡２＋１）．（２０）（Ⅱ）犳（２）＝ｌｎ２·ηｅη２．（２１）所求曲线为狔＝犆狓３犆＞（）０．（２２）（Ⅰ）故犪＝－１２．（Ⅱ）犘＝１２２槡３
０１４槡３
烄烆烌烎０１０．（２３）（Ⅱ）犃的特征值也为λ１＝２，λ２
＝－３．济
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一、选择题（１）Ｃ　（２）Ｄ　（３）Ｃ　（４）Ａ　（５）Ｄ　（６）Ｃ　（７）Ｂ　（８）Ｂ　（９）Ｄ　（１０）Ｃ二、填空题
（１１）１ｌｎ３．　（１２）２３．　（１３）１．　（１４）π２ｃｏｓ２π
．（１５）犆１ｅ狓＋犆２ｅ－１２狓ｃｏｓ槡３２狓＋犆３ｅ－１２狓ｓｉｎ槡３２
狓（其中犆１，犆２，犆３
为任意常数）．（１６）－５．三、解答题（１７）１２．（１８）曲线狔＝犳（狓）有一条垂直渐近线狓＝－１，两条斜渐近线狔＝狓－１与狔＝－狓＋１．（１９）犛＝２２３犃＝４２５９
π．（２０）（Ⅰ）故狔（狓）＝１３狓６＋
１，（狓＞０）（Ⅱ）故狓＝１为函数唯一极小值点，且必为最小值点，当狓＝１时，１３狓６＋１＝４３
，所以此时点犘坐标１，（）
４３．（２１）１４８
．（２２）犘－１犃犘＝１１烄烆烌烎３．犘－１犃犘＝３３烄烆烌烎
１．济
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