2019届河北省衡水中学高三上学期三调考试数学(理)试题(word版)

2019届河北省衡水中学高三上学期三调考试
数学（理）试题（word 版）
、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的
2 2
y =kx 与双曲线 —1相交，则k 的取值范围是
9
4
B. 2,0
.3'
则 log 2 b n =()
5.已知直线ax y -^0与圆C: xy =1相交于A ，B ，且△ ABC 为等腰直角三角形,
a 的值为（）
A. 1
或-1 7
B. -1
C. 1
D.1 或-1
6.在ABC 中， a,b,c 分别是
角
A,B,C 的对边，若 2 2 2
a b =2014c ，则
2tanA tanB
的值为（）
tanC tan A tan B
A. 2013
B.1
C.0
D.2014
7.已知点M a,b ab =0是圆C :x 2 y^r 2
内一点，直线I 是以M 为中点的弦所在的直线，直线 m 的方
程为bx -ay =r ，那么（）
1.集合M 2x 2 -x —1c 0｝，N =｛x2x +a >q ｝，U =R ，
M ■ C U
•，则a 的取值范围是（）
A. a 1
B. a _1
C. a :::
1
D. a 乞1
2.若直线
3.在△ ABC 中, AB = 3 ， AC = 2 ， BD 1 —
BC ，贝U AD BD 2 =(
A. 5
2
B.§ 2
C. 5
4
D.§ 4
4.已知数列'a n 』的前n 项和为S
2
=n
，正项等比数列Ib n ［中,
=a i ， b n .|b n4 =4$ n 一 2,n N .，
A. n -1
B. 2n —1
C. n —2
D. n
则实数
A. I _m 且m 与圆C 相切
B. I // m 且m 与圆C 相切
C. I _m 且m 与圆C 相离
D. I // m 且m 与圆C 相离
11. 已知点A 是抛物线x 2 =4y 的对称轴与准线的交点，点
B 为抛物线的焦点， P 在抛物线上且满足
PA 二mPB ，当m 取最大值时，点 P 恰好在以A , B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为 （） A.迈 1
B.辽 1
C. 2 1
D. . 5 _1
2 2
12. 已知在R 上的函数f x 满足如下条件：①函数 f x 的图象关于y 轴对称；②对于任意 x ・R , f 2 • x - f 2 -X [=0 ；③当 x ：= 0,2 1 时，f x ]=x ；④函数 f n x 二 f 2心・x , n N ,若过点-1,0 的 直线l 与函数f4 x 的图象在0,2 1上恰有8个交点，则直线I 斜率k 的取值范围是（） A. '0—1
B. ‘0 i
C. 0-^1
D. ' 0 I 9 I ‘11
,8
,
19
「8
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13
在趣中，窗分别是角ABC 的对边，已知sin 织飞冷,心,△ABC 的面积为舟，则
—山一的值为 _____________________ . sin B sin C
T — —+
14. 已知平面上有四点 O,A,B,C ，向量OA , OB , OC 满足: OA OB =OB OC =OC OA = -1，则△ ABC 的周长是
15. 已知F 1、F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且/ F1PF2G ，则椭圆和双曲线的
8.若圆x 2 y 2 -ax 2y ^0和圆x 2 y 2 =1关于直线y = x -1对称，过点C ]—a, a 的圆P 与y 轴相切，则
圆心P 的轨迹方程是（）
2
A. y 4x 、4y 亠8 =0 C. y 4x -4y 8 =0 2
B. y 2x _2y 2 二0 2
D. y _2x _y 1 =0 9.平行四边形ABCD 中, AD - -1，点M 在边CD 上，则MA MB 的最大值为（
A. ,2 -1
B. , 3 -1
C.0
D.2
2 2
10. 已知椭圆笃 Z =1 a 0,b 0上一点A 关于原点的对称点为 a b / ABF ，且-二匸，则该椭圆的离心率 e 的取值范围是（
一6 4
B , F 为其右焦点，若 AF _ BF ，设
）
T —* —t 4
OA OB OC =0,
一3 3
离心率的倒数之和的最大值为
16. 已知数列⑴｝的前n项和S n=2a n—2讦，若不等式2n2—n — 3＜：(5 —&円对N*恒成立，则整数人的
最大值为_________________ .
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. 在厶ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，已知向量m= cos3A ,sin塑，n = cos- ,sinJA，且满
I 2 2丿J 2 2丿
足黑+片=J3.
(1) 求角A的大小；
⑵若b • c二3a，试判断△ ABC的形状.
18. 已知圆C经过原点O 0,0且与直线y =2x_8相切于点P 4,0 .
(1) 求圆C的方程；
(2) 在圆C上是否存在两个点M，N关于直线y =kx—1对称，且以线段MN为直径的圆经过原点？若存在，
写出直线MN的方程；若不存在，请说明理由.
19. 各项均为正数的数列曲中，4=1，S.是数列鮎」的前n项和，对任意n^N*，有
2
2S n ^2pa n pa n -p p R .
(1)求常数p的值；
⑵求数列的通项公式；
⑶记b n =兰^ 2，求数列仏［的前n项和T n .
n *3
x2y2J3 475
20. 已知椭圆C:x2 ^7 =1 a b 0的离心率，原点到过点A a,0 , B 0,-b的直线的距离是土二.
a b 2 5
(1)求椭圆C的方程；
⑵如果直线y =kx，1 k = 0交椭圆C于不同的两点E,F，且E,F都在以B为圆心的圆上，求k的值.
21. 已知定点F 0,1，定直线m: y - -1，动圆M过点F，且与直线m相切.
(1)求动圆M的圆心轨迹C的方程；
⑵过点F的直线与曲线C相交于A, B两点，分别过点A,B作曲线C的切线b，I2，两条切线相交于点P，
2
求△ PAB 外接圆面积的最小值• 22. 设函数 f x =ln x —fax 2
—bx.
(1)当a =b=f 时，求函数f x 的最大值；
1 2 a
i ⑵ 令F x 二f x ax bx , 0：：：x_3其图象上任意一点 P x o ,y o 处切线的斜率k "恒成立，求
2 x 2
实数a 的取值范围；
⑶当a =0 , b = _1，方程2mf x =x 2有唯一实数解，求正数 m 的值.
2018〜2019学年度上学期高三年级三调考试
数学(理)试卷答案
、选择题
、填空题
1-5:BCCDD
6-10:ACCDB 11
、12: CA
13.2
14.
3.6
15.
4.3
3
16.4
三、解答题
17.
2
片 2 3A 3A
解：⑴‘ m n 2m 心，代入z co 右S 巧
nUcosAsi n^，有 I 2 2丿
3A A . 3A .
A
1
3
A
A 1
1
cos —— cos sin sin
即 cos — - -cos A 二-
1 2 2 2
2
2 2
2 2
2
.2
2 2
⑵法一：•
A 1 cos A ,「.
b 一
c -a
1
①
2
2bc 2
联立①②
解得 b =2c 或 c =2b ，又 I b —c 二 3a ,若 b =2c ，贝U a 二 3c , 二a 2 c^ 3^ 2 -c 2 =4c 2二b 2 , △ ABC 为直角三角形，同理，若
c =2b ，则△ ABC 也为直角三角形 18.(1)由已知，得圆心在经过点 P 4,0且与y =2x -8垂直的直线
1
x 2上，它又在线段 OP 的中垂
线x=2上，所以求得圆心 C 2,1，半径为.5.
页
2
2 2
所以圆C 的方程为：X_2 y-1 =5.
⑵ 假设存在两点 M,N 关于直线y =kx _1对称，则y =kx _1通过圆心C 2,1，求得k=1 , 所以设直线 MN 为y - _x >b ，
代入圆的方程得 2x 2 - 2b 2 x b 2 - 2b = 0 ,
设 M X|, -^ b , N X 2, -X 2 b ，贝V
OM ON =2%x 2 -b x x 2
F ：； b 2 = b 2 - 3b = 0 ,
解得b =0或b =3，这时0，符合题意，所以存在直线 19.解：⑴ 由 a i =1 及 2S n =2pa ： • pa . -p n ・ N ，得:
⑵由 2S n -2a ^ a n -1 ①，得 2S n ^2a n 12 - am -1 ② 由②一①，得 2a n 1 =2
a n 1 _a
n !亠〔a n 1 -'a
n , 即：2 a n 1 - a n a n 1 —an ia n 1 - a n =0 ,
二 a n i a n 2a n i -2a n -1 =0 , 由于数列 给f 各项均为正数，••• 2a n 1 -2a n =1，即a n -a ••擞列G 堤首项为1，公差为2的等差数列, •••数列 惊？的通项公式是 外=1 • n -1
1
工口.
2 2
+1
得 ： Q
n(n +3 )
. _ 4S n n _ n
得：S n
，…b n
2 n 2 ，
2
4 n 3
二 T n =1 2 2 22 3 23
…n 2n
2T n =1 22
2 2
3 …n _1 2n n 2n 1 ,
_
-丄小2 丄小3 丄 丄_ n + 211
2
) _n + □ . , _
-
=2
+2 +2 卜…+2-n 2
=^^一〃2
=十少2
-2
T 二 n -1 2n 1 2 .
20.解：（1）因为-=
3
a 2 -
b 2 =
c 2，所以 a =2b , a
2
因为原点到直线AB : .x
-1 的距离 d ab 4 5
，解得 a - 4 , b - 2 , a
b —J a 2 +b 2
5
故所求椭圆C 的方程 为 2
X
2
1 4
Zp y =kx 1
⑵由题意 x 2 y 消去y ，整理得1 4k 2 x 2 8k^-1^0，可知.：0,
1
16 4
X 2 + X 3 4k
1 设 E X 2,y
2 , F X 3,y
3 , EF 的中点是 M X M ,Y M ，贝V X M - - ―2， y M = kx M 1
—2
，
% * * 丿 ' * 2 1+4k
1+4k
y 呻_ 2 1 4 k k
所以 k BM = — - ,所以 X M ky M 2k =0，即卩 2 2 • 2k =0，又因为 k = 0 ,
X M k 1 +4k 1 +4k
MN 为y = -x 或y = —x • 3符合条件•
2 =2p p _p ,
所以k2 J，所以k 2.
8 4
21.解：(1)设点M到直线l的距离为d，依题意M2| =d，设M (x,y )，则有J x2+(y—1 j = y+［，化简得x2 =4y.所以点M 的轨迹C的方程为x2 =4y.
、r 2 2
⑵设I AB： y =kx 1，代入x =4y 中，得x -4kx-4 =0,设 A X1, y1 ， B X2,y2 ，
2
则洛• x2=4k，x x2- -4，所以AB = 1 k2x^ x2= 4 k2 1 ，因为C : x2 = 4y，即y =中，所以Y，
所以直线h的斜率为k^X1，直线l2的斜率为k2二丝，因为k*2 =空--1，所以PA_PB，即△ PAB为
2 2 4
直角三角形.
所以△ PAB的外接圆的圆心为线段AB中点，线段AB是直径，因为AB =4 k21，
所以当k =0时线段AB最短，最短长度为4,此时圆的面积最小，最小面积为4:.
22.解：(1)依题意，知f x的定义域为0,；，
当 a 二b 二1时，f x =1 nx-1x2—1x，
2 4 2
. 1 1 1 —(x +2 (x —1 )
f ' X X —
x 2 2 2x
令 f ' x =0,解得x =1.( ••• x -0)
因为g x]=0有唯一解，所以g X2 =0，当0：：：x：：：1时，f ' x・0,此时fx单调递增;
当x 1时，f' x <0，此时f x单调递减,
所以f x的极大值为f 1 - -3，此即为最大值.
4
(2) F x =l nx，a, x"0,3〕，则有k二F'怡二匹乞1，在X。

可0,3】上恒成立,
x X0 2
所以 a - -1 x2 x0, x^ 0,3 1.
3 2
max
当X0 =1时，xo ' X0取得最大值1,所以a .
2 2 2
(3) 因为方程2mf x =x 2有唯一实数解, 所以x 2 -2mlnx _2mx =0有唯一实数解, 设 g x =x 2 -2mlnx _2mx ，
2
则 g ，x =2x -2mx -2m ，令 g'x =0，x 2
_mx_m=0,
当 x 三［0,X 2 时，g' x ：：：0 , g x 在0,X 2上单调递减;
当X 三［X 2,亠一|时，g ' X 广0，g x 在X 2,亠「］上单调递增； 当x = X 2时，g ' X 2 = 0，g x 取最小值g X 2 .
■ ■
.■ 2 g x 2
=0
X 2
-2mlnx 2 —2mx 2 =0 则
，即 2
，
g ' x
2 = 0
X 2 - mx 2 - m = 0
所以 2mln x 2 mx 2 -m =0，因为 m 0，所以 2ln x 2 x 2 -1=0(*)
设函数h x =21 nx x -1，因为当x . 0时, h x 是增函数，所以h x =0至多有一解,
因为hi =0，所以方程(*)的解为x 2 =1，即m m 4m =1，解得mJ . u
2
2
因为m .0 , x .0 ,所以x i
=归宁^：0(舍去)，-
-2
m 4m。