高考物理综合复习 思想方法6 特殊值法与极限法

思想方法6特殊值法与极限法
[方法概述]
在中学物理问题中，有一类问题具有这样的特点，如果从题中给出的条件出发，需经过较复杂的计算才能得到结果的一般形式，并且条件似乎不足，使得结果难以确定，这时我们可以尝试采用极限思维的方法，将其变化过程引向极端的情况，就能把比较隐蔽的条件或临界现象暴露出来，从而有助于结论的迅速取得。

对于某些具有复杂运算的题目，还可以通过特殊值验证的方法排除错误选项，提高效率。

[典型例题]
典例1图示为一个内、外半径分别为R1和R2的圆环状均匀带电平面，其单位面积带电量为σ。

取环面中心O为原点，以垂直于环面的轴线为x轴。

设轴上任意点P到O点的距离为x，P点电场强度的大小为E。

下面给出E的四个表达式(式中k为静电力常量)，其中只有一个是合理的。

你可能不会求解此处的场强E，但是你可以通过一定的物理分析，对下列表达式的合理性做出判断。

根据你的判断，E的合理表达式应为()
A．E＝2πkσ(
R1
x2＋R21
－
R2
x2＋R22
)x
B．E＝2πkσ(
1
x2＋R21
－
1
x2＋R22
)x
C．E＝2πkσ(
R1
x2＋R21
＋
R2
x2＋R22
)x
D．E＝2πkσ(
1
x2＋R21
＋
1
x2＋R22
)x
解析当R1＝0时，带电圆环演变为带电圆面，则中心轴线上任意一点的电场强度的大小E不可能小于0，而A项中，E<0，故A错误；当x→∞时E→0，
而C 项中E＝2πkσ· (R21x2
x2＋R21＋R22x2
x2＋R22
)＝2πkσ·(
1
1
x2
＋1
R21
＋1
1
x2
＋1
R22
)，
x→∞时，E→2πkσ(R1＋R2)，同理可知D项中x→∞时，E→4πkσ，故C、D错误；所以正确选项只能为B。

答案 B
名师点评若题目提示不能用常规方法做，需要另辟蹊径：特殊值法验证，单位制检验，根据表达式的形式判断，定性分析。

(1)P点电场强度应该是完整的圆产生的电场强度与中间圆产生的电场强度之差，表达式在形式上应该是两式相减，排除C、D。

(2)A、C的单位是相同的，B、D的单位也相同的，根据单位制，A、C的单位不符合要求，只能选B。

[变式1]物理学中有些问题的结论不一定必须通过计算才能验证，有时只需要通过一定的分析就可以判断结论是否正确。

如图所示为两个彼此平行且共轴的半径分别为R1和R2的圆环，两圆环上的电荷量均为q(q>0)，而且电荷均匀分布。

两圆环的圆心O1和O2相距为2a，连线的中点为O，轴线上的A点在O点右侧与O点相距为r(r<a)。

试分析判断下列关于A点处电场强度大小E的表达式(式中k为静电力常量)正确的是()
答案 D
解析 当r ＝a 时，A 点位于圆心O 2处，带电圆环R 2由于对称性在A 点的电场强度为0，根据微元法可以求得此时的总场强为E ＝E 1＝∑k Δq (R 21＋4a 2)cos θ＝∑k Δq (R 21＋4a 2)·2a R 21＋4a
2＝，将r ＝a 代入各选项可知A 、B 、C 错
误，D 正确。

典例2 如图所示，滑轮质量不计，三个物体质量m 1＝m 2＋m 3，这时弹簧秤的读数为T ，若把m 2从右边移到左边的m 1上面，弹簧秤的读数T 将( )
A ．增大
B ．减小
C ．不变
D ．无法判断
解析 将滑轮和三个物体看成一个系统。

原来滑轮两侧处于平衡状态，弹簧
秤的读数T等于下面所挂三个物体的重力之和，即：T＝(m1＋m2＋m3)g，这是弹簧秤读数的最大值。

现在，把m2从右边移到左边的m1上面，左边物体的总重力大于右边物体的重力，即(m1＋m2)g>m3g，左边物体m1和m2将向下做加速运动，具有向下的加速度，处于失重状态；而右边的物体m3将向上做加速运动，具有向上的加速度，处于超重状态。

由于(m1＋m2)>m3，且两边物体的加速度大小相等，则在系统中失重部分物体的质量大于超重
部分物体的质量。

所以，在总体上，系统处于失重状态，弹簧秤受到向下的拉力将减小，极端情况下，若将右侧的物体全部放到左侧，三个物体做自由落体运动，系统完全失重，弹簧秤的示数为0，因此，正确答案为B。

答案 B
名师点评对系统应用牛顿第二定律列方程，设右侧物体的质量为m，左侧物体的质量为M，线上的拉力为F，则弹簧秤的读数T＝2F，根据牛顿第二定律有：Mg－F＝Ma，F－mg＝ma，联立各式可以求得弹簧秤的读数为T＝4Mmg
，
M＋m
M＋m为定值，M与m相等时，M与m的乘积最大，此时T＝2Mg，当式中的m 减为0时，M与m的乘积最小，T＝0。

[变式2]如图所示，在光滑的水平面上有一质量为M、倾角为θ的光滑斜面体，它的斜面上有一质量为m的物块沿斜面下滑。

关于物块下滑过程中对斜面压力大小的解答，有如下四个表达式。

要判断这四个表达式是否合理，你可以不必进行复杂的计算，而根据所学的物理知识和物理方法进行分析，从而判断解的合理性或正确性。

根据你的判断，下述表达式中可能正确的是()
A.Mmg sinθ
M－m sin2θB.
Mmg sinθM＋m sin2θ
C.
Mmg cosθ
M－m sin2θ
D.
Mmg cosθ
M＋m sin2θ
答案 D
解析用特殊值判断，当θ＝0时，物块下滑过程中对斜面压力大小应为mg，代入判断知选项C、D符合要求；当θ为一定值时，C项的分母可能为零，显然不符合实际情况，所以只有选项D可能正确。

配套作业
1．有一些问题你可能不会求解，但是你仍有可能对这些问题的解是否合理进行分析和判断。

例如从解的物理量的单位，解随某些已知量变化的趋势，解在一定特殊条件下的结果等方面进行分析，并与预期结果、实验结论等进行比较，从而判断解的合理性或正确性。

举例如下：如图所示，质量为M、倾角为θ的斜面体A放于水平地面上。

把质量为m的滑块B放在A的斜面上。

忽略一切摩擦，有人求得B相对地面的
加速度a＝
M＋m
M＋m sin2θ
g sinθ，式中g为重力加速度。

对于上述解，某同学首先分析了等号右侧量的单位，没发现问题。

他进一步利用特殊条件对该解做了如下四项分析和判断，所得结论都是“解可能是对的”。

但是，其中有一项是错误的。

请你指出该项()
A．当θ＝0时，该解给出a＝0，这符合常识，说明该解可能是对的
B．当θ＝90°时，该解给出a＝g，这符合实验结论，说明该解可能是对的C．当M≫m时，该解给出a＝g sinθ，这符合预期的结果，说明该解可能是对的
D．当m≫M时，该解给出a＝
g
sinθ，这符合预期的结果，说明该解可能是
对的
答案 D
解析当m≫M时，该解给出a＝
g
sinθ>g，这与实际不符，说明该解一定是
错误的，故选D。

2．如图所示，沿竖直杆以速度v匀速下滑的物体A通过轻质细绳拉光滑水平面上的物体B，细绳与竖直杆间的夹角为θ，则以下说法正确的是()
A．物体B向右匀速运动
B．物体B向右匀加速运动
C．细绳对A的拉力逐渐变小
D．细绳对B的拉力逐渐变大
答案 C
解析取极端情况，开始时θ＝90°，物体A的速度v垂直于绳，故v B＝0，当θ→0时，v B→v，几乎不变，加速度趋于零，而开始时v B＝0，故B向右做加速度减小的加速运动，A、B错误；由牛顿第三定律知细绳对A的拉力大小F A 等于对B的拉力大小F B，而F B＝m B a B，a B减小，则F A、F B逐渐减小，C正确，D错误。

定量分析如下：物体A沿绳的分速度与物体B运动的速度大小相等，有v B＝v cosθ，随物体A下滑，θ角减小，v B增加，但不是均匀增加，θ越小，cosθ增加越慢，v B增加越慢，即B的加速度越来越小，由T＝m B a B可知，细绳的拉力逐渐变小，故只有C正确。

3．(2019·吉林省长春市二模)如图所示，光滑地面上静置一质量为M的半圆形凹槽，凹槽半径为R，表面光滑。

将一质量为m的小滑块(可视为质点)，从凹槽边缘处由静止释放，当小滑块运动到凹槽的最低点时，对凹槽的压力为F N，F N的求解比较复杂，但是我们可以根据学过的物理知识和方法判断出可能正确
的是(重力加速度为g)()
A.(3M＋2m)mg
M B.
(3m＋2M)mg
M
C.(3M＋2)mg
M D.
(3m＋2)mg
M
答案 A
解析滑块和凹槽组成的系统水平方向上动量守恒，机械能守恒，当滑块运
动到最低点时有：m v＝M v′，mgR＝1
2m v
2＋12M v′2，由极限的思想，当M趋于无穷大时，v′趋近于0，凹槽静止不动，滑块速度为v＝2gR，且小滑块在最
低点时由牛顿第二定律得F N－mg＝m v2
R
，解得F N＝3mg，四个选项中当M趋于无穷大时，只有A、C选项符合上述结论，而C、D选项从量纲的角度分析是错误的，故A正确，B、C、D错误。

4．如图所示，细线的一端系一质量为m的小球，另一端固定在倾角为θ的光滑斜面体顶端，细线与斜面平行。

在斜面体以加速度a水平向右做匀加速直线运动的过程中，小球始终静止在斜面上，小球受到细线的拉力T和斜面的支持力F N分别为(重力加速度为g)()
A．T＝m(g sinθ＋a cosθ)，F N＝m(g cosθ－a sinθ)
B．T＝m(g cosθ＋a sinθ)，F N＝m(g sinθ－a cosθ)
C．T＝m(a cosθ－g sinθ)，F N＝m(g cosθ＋a sinθ)
D．T＝m(a sinθ－g cosθ)，F N＝m(g sinθ＋a cosθ)
答案 A
解析严格的求解需要分解力或加速度，然后应用牛顿第二定律列式求解，不过使用特殊值代入法可以定性分析判断，快速得到可能正确的选项。

当加速度a＝0时，T＝mg sinθ，F N＝mg cosθ，故A正确，B、C、D错误。

5．(多选)如图所示电路中，当可变电阻R的阻值增大时()
A．A、B两点间的电压U增大
B．A、B两点间的电压U减小
C．通过R的电流I增大
D．通过R的电流I减小
答案AD
解析假设可变电阻R的变化范围在零到无穷大之间连续变化。

当R＝0时，
A、B间短路，此时A、B两点间的电压U＝0，通过R的电流I＝
E
R1＋r
；当R→∞
时，R断路，通过R的电流I＝0，A、B间电压U＝E·R2
R1＋R2＋r。

可见，当R的阻值增大时，U增大，I减小，因此A、D正确。