2021年高三上学期期末教学统一检测数学(文科)试卷 含答案

2021年高三上学期期末教学统一检测数学（文科）试卷含答案
本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选
出符合题目要求的一项。

（1）已知集合，.若，则实数
（A）（B）
（C）（D）
（2）在复平面内，复数对应的点位于
（A）第一象限（B）第二象限
（C）第三象限（D）第四象限
（3）已知向量，.若与平行，则实数的值是
（A）（B）
（C）（D）
（4）经过圆的圆心且与直线平行的直线方程是
（A）（B）
（C）（D）
（5）给出下列函数：
①；②；③；④.
其中图象关于轴对称的是
（A）①②（B）②③
（C）①③（D）②④
（6）“”是“”的
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
（7）某程序框图如图所示，当输入的的值为时，输出的值恰好是，则在空白的处
理框处应填入的关系式可以是
（A）（B）
（C）（D）
（8）已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是
（A）（B）
（C）（D）
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）双曲线的离心率是_________.
（10）在△中，角,,所对边分别为,,，且,,面积，则
_________；=_________.
（11）如图是名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图，
则测试成绩落在中的学生人数是_________.
（12）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．
（13）已知点的坐标满足条件点为坐标原点,那么的最大值等于_________.
（14）纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸.现在我国采用国际标准，规定以，，，，，等标记来表示纸张的幅面规格. 复印纸幅面规格只采用系列和系列，其中系列的幅面规格为：
①，，，，所有规格的纸张的幅宽（以表示）和长度（以表示）的比例关系都为；
②将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格，纸张沿长度方向对开成两等分，
便成为规格，，如此对开至规格．
现有，，，，纸各一张.若纸的宽度为，则纸的面积为；这张纸的面积之和等于__________．
三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）
已知等差数列的前项和为，且满足，．
（I）求数列的通项公式；
（II）若成等比数列，求正整数的值．
（16）（本小题13分）
已知函数在一个周期内的部分对应值如下表：
（Ⅱ）求函数的最大值和最小值.
（17）（本小题13分）
某中学从高三男生中随机抽取名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如下所示.
（Ⅰ）求出频率分布表中①和②位置上相应的数据；
（Ⅱ）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第，，组中用分层抽样抽取名学生进行体能测试，求第，，组每组各抽取多少名学生进行测试？
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在名学生中随机抽取名学生进行引体向上测试，求：第组中至少有一名学生被抽中的概率.
（18）（本小题13分）
如图，在四棱锥中，， 平面, 平面，. （Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）在线段上是否存在一点,使平面？若存在,求出
的值；若不存在，说明理由.
（19）（本小题14分）
已知函数，.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线的方程；
（Ⅱ）若曲线与轴有且只有一个交点，求的取值范围；
（Ⅲ）设函数，请写出曲线与最多有几个交点.（直接写出结论即可）
（20）（本小题14分）
已知椭圆过点，且满足. (Ⅰ) 求椭圆的方程；
(Ⅱ) 斜率为的直线交椭圆于两个不同点，，点的坐标为，设直线与 的斜率分别为，．
① 若直线过椭圆的左顶点，求此时，的值； ② 试探究是否为定值？并说明理由.
东城区xx 学年第一学期期末教学统一检测 高三数学参考答案及评分标准 （文科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1） C （2）C （3）D （4）A
（5）B （6）B （7）C （8）D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9） （10） （11） （12） （13）
（14）
注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）
解：（Ⅰ）设数列的公差为，由题意知，即，
由 ，解得.
所以，即 ,. ………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得，所以. 又，，
由已知可得，即， 整理得 ，.
解得（舍去）或.
故. ………………………………
13分
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）由表格可知，的周期，
所以.
又由，且，所以.
所以. ………………………………6分 （Ⅱ）2
()()2sin cos 22sin 12sin 2sin g x f x x x x x x =+=+=-+ .
由，所以当时，有最大值；
当时，有最小值. ………………………………13分
（17）（共13分）
解：（Ⅰ）由题可知，第组的频数为人，第组的频率为.
即①处的数据为，②处的数据为. ………………………………3分
（Ⅱ）因为第，，组共有名学生,所以利用分层抽样,在名学生中抽取名学生,每组分别为:
第组:人；第组:人；第组:人.
所以第，，组分别抽取人，人，人. ………………………………6分 （Ⅲ）设第组的位同学为，，，第组的位同学为，，第组的位同学为，
则从位同学中抽两位同学有种可能，分别为: ，，，，，，，，，，，，，，.
其中第组的两位同学至少有一位同学被选中的有: ，，，，，，，，种可能. 所以第组的两位同学至少有一位同学被选中的概率. ………………………13分
（18）（共13分）
证明：（Ⅰ）因为平面，平面，
所以. 又因为，, 所以平面.
又因为平面，
所以平面平面. ………………………………7分
（Ⅱ）在线段上存在一点,且，使平面. 设为线段上一点, 且. 过点作交于，则. 因为平面,平面， 所以.
又， 所以. 因为，所以.
所以四边形是平行四边形. 所以. 又因为平面，平面，
所以平面. ………………………………13分
（19）（共14分） 解：（Ⅰ）当时，，.
当时，，又，
所以曲线在点处的切线方程为. ………………………………4分
（Ⅱ）由，得.
A
B
C
E
D F M
当时，，此时在上单调递增.
当时，，当时，，
所以当时，曲线与轴有且只有一个交点； …………………8分 当时，令，得.
与在区间上的情况如下：
若曲线与轴有且只有一个交点， 则有，即.解得.
综上所述，当或时，曲线与轴有且只有一个交点. …………………12分 （Ⅲ）曲线与曲线最多有个交点. …………………14分 （20）（共14分） 解：(Ⅰ)由椭圆过点，则.
又， 故.
所以椭圆的方程为. ………………………………4分 (Ⅱ)① 若直线过椭圆的左顶点，则直线的方程是， 由解得或
故，. ………………………………8分 ② 为定值，且. 设直线的方程为. 由消，得.
当，即时，直线与椭圆交于两点. 设.,则，. 又，， 故. 又，，
所以)2)(12
1()2)(121
(1221--++--+=x m x x m x
0)1(4)2)(2(422=----+-=m m m m .
故. ………………………………14分
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