第三章矩形截面金属波导

引言 金属波导中电磁场解的一般形式 矩形截面波导场方程的求解 矩形截面波导传输模式 矩形截面波导中的TE10模 矩形截面波导的工程应用
一 引言
波导管作为定向导引电磁波传输的机构， 是微波传输线的一种典型类型，它已不再 是普通电路意义上的传输线。虽然电磁波 在波导中的传播特性仍然符合本书第二章 中关于传输线的概念和规律，但是深入研 究导行电磁波在波导中的存在模式及条件， 横向分布规律等问题，则必须从场的角度 根据电磁场基本方程来分析研究。
mπ 2 nπ 2 2 β 2 = ω 2 ε ( k x2 + k y ) = ω 2 ε + a b mπ 2 nπ 2 kc2 = + = ωc 2 ε a b fc = 1 2π ε 1 m n + 2 a 2b
三 矩形截面波导场方程的求解
矩形截面波导结构和坐标如图所示，结构 参数内腔宽a和高b，电磁参数：腔内填充 介质介电常数和磁导率。 求解思路：先求纵场，再求横场。
y
b 0 z
、 ε
x a
矩形截面波导结构和坐标图
1 纵场满足方程和边界条件 很容易推导纵向场所满足的方程如下， TE波中Ψ表示磁场，TM波中Ψ表示电场。
模式存在的条件
对于一种模式，并不是所有的频率电磁波 都能以这种模式存在，或者说每一种模式 存在是有条件的。 这个条件就是这种模式一定能以行波的形 式在波导中传播。 相位常数是实数，其模平方要大于0。
β >0
2
截止频率和截止波长
根据相位常数和模式之间的关系，一种频率 电磁波能在矩形波导中以一种模式传播，则 其频率要大于某一个临界值，这个临界值称 为这种模式存在的截止频率。 截止频率对应波长称为截止波长，截止频率 和截止波长的乘积数值上等于电磁波在波导 填充介质为无界时的相速度。 根据模式截止特性容易判定矩形波导具有高 通的选频特性。
导行电磁波的传输形态受导体或介质边 界条件的约束，边界条件和边界形状决 定了导行电磁波的电磁场分布规律、存 在条件及传播特性。常用金属波导有矩 形截面和圆截面两种基本类型。 和无界空间中平面电磁波相比教，金属 波导中电磁波传输特性存在较大差异。
二 金属波导中电磁场解的一般形式
1 讨论问题的前提 如图所示一般均匀直行理想波导，理想： 波导内壁面为理想导体；均匀：沿其管长 方向，波导内横截面形状、尺寸及填充介 质分布状况及其电磁参量均不变化；直行： 波导管无弯曲、无分支，波导管为无限长。 我们讨论截面规则的均匀直行理想波导， 其截面为矩形和圆形。波导内部无电荷和 电流。
波导内的全电流波导测量线位置确定当波导工作在te模时在波导宽壁面中心线即处开纵向窄缝或称开槽对壁电流影响最小从而对波导内场结构也影响最小根据这个道理可以做成专用测量用波导称为测量线来实现对波导这种封闭系统中场量沿传输方向的变化情况的探测
§3.3 矩形截面金属波导
Wave guide
一 二 三 四 五 六
d2X d 2Y 2 2 + k x X = 0, 2 + k yY = 0, 2 dx dy sin ( k x x ) sin ( k y y ) X ∝ ,Y ∝ cos ( k x x ) cos ( k y y ) sin ( k x x ) sin ( k y y ) j ( ωt β z ) Ψ ( x , y , z; t ) ∝ e cos ( k x x ) cos ( k y y )
TEM波Ez =0Hz=0
2 2 + k 2 ) E = 0 T ET ( rT ) = 0 (
k 2 = β 2 , ET ( rT , z; t ) = ET ( rT ) e j (ωt β z )
2 2 + k 2 ) H = 0 T H T ( rT ) = 0 (
此时其解等效为横向二维静场的解，如果没 有内导体，加上腔内没有电荷和电流，这种 情况不可能存在二维静电场和静磁场，所以 波导管中不能传输TEM波，而同轴线中可以 传输TEM波。
模式标志
用TEmn标志TE波的模式，m,n=1,2,3,… 用TMmn标志TM波的模式，m,n=0,1,2,…m=n=0 标数m和n决定场量幅值x和y方向分布的半 驻波数（从波节到波节，或从波腹到波 腹）。 每一组m、n的取值就确定了一个独立的模 式，m,n较大称为高阶模式，反之为低阶。 模式是同一频率的电磁波的不同存在形态， 它们之间不是基波与谐波的关系。
2 2 x 2 + y 2 + ( k β ) Ψ ( x, y , z ) = 0
2 2
Ψ ( x , y , z; t ) = Ψ ( x , y ) e
j ( ωt β z )
边界条件确定
利用理想导体表面的边界条件：电场只能 有法向分量，磁场只能有切向分量，可以 得到纵向场量的边界条件。 TM波的边界条件：在边界处纵向场量均为 切向分量，所以都应为0。 TE波的边界条件：由于边界处均为切向分 量，所以需要用电场横向分量来确定，比 较麻烦。
m和n取正和取负结果相同 m和n不能同时为零
模式
在TM、TE波解中，m,n取不同的值，纵 场横向分布规律不同，当然横场横向分布 规律不同，我们称之为电磁波不同的模式， TM和TE本身就是两大类不同模式的电磁波。
mπ 2 nπ 2 2 β 2 = ω 2 ε ( k x2 + k y ) = ω 2 ε + a b mπ 2 nπ 2 kc2 = + a b
2 波导中解的一般形式 无限长的均匀直线波导管中只能传播沿 波导管方向（设为z方向）的波。 场的分布特点： 沿z方向行波，分布已知； 沿横向分布待求，可以肯定是驻波。
E ( r , t ) = E ( rT , z; t ) = E ( rT , z; t ) e
j ( ωt β z ) j ( ωt β z )
TE模（H波）
∞ cos( mπ x ) cos( nπ y )e jβ z H z = ∑ H0 a b m ,n ∞ = ∑ 1 j β mπ H sin( mπ x ) cos( nπ y )e jβ z H x 0 2 a a b m ,n k c ∞ 1 nπ mπ nπ H y = ∑ 2 jβ H 0 cos( x )sin( y )e j β z b a b m ,n k c ∞ = ∑ 1 jω nπ H cos( mπ x )sin( nπ y )e jβ z Ex 0 kc 2 b a b m ,n ∞ = ∑ 1 jω mπ H sin( mπ x ) cos( nπ y )e jβ z Ey 0 kc 2 a a b m ,n
TE波边界条件
jω ET = 2 T × a z H z 2 k β jω H z H z = 2 ax + a y × az 2 k β x y jω H z H z = 2 ay + ax 2 k β x y ET Σ = 0 H z x
x =0,a
H z = 0, y
纵向场量满足方程
= T + a z , → j β z z 2 T + ( k 2 β 2 ) E z = 0
2 T + ( k 2 β 2 ) H z = 0
E z ( rT , z; t ) = E z ( rT ) e
j (ωt β z ) j ( ωt β z )
2 2 k x + k y = ( k 2 β 2 ) , Ψ ( x , y , z , t ) = Ψ ( x , y ) e j ( ωt β z )
2 2 2 2 x 2 + y 2 + k x + k y Ψ ( x, y ) = 0 Ψ ( x, y ) = X ( x ) Y ( y ) d2X d 2Y 2 2 + k x X = 0, 2 + k yY = 0 2 dx dy
H z ( rT , z; t ) = H z ( rT ) e
4 波导中可能传播的电磁波模式
TM波Hz=0
jβ jωε ET = 2 T E z , H T = 2 T × aห้องสมุดไป่ตู้z E z 2 2 k β k β
TE波Ez=0
jω jβ ET = 2 T × a z H z , H T = 2 T H z 2 2 k β k β
四 矩形截面波导传输模式
1 TM模（E波）和TE模（H波） 2 模式与模式图 3 波导的传输特性
1 TM模（E波）和TE模（H波）
∞ sin( mπ x )sin( nπ y )e jβ z E z = ∑ E0 a b m ,n ∞ = ∑ 1 j β mπ E cos( mπ x )sin( nπ y )e jβ z Ex 0 2 kc a a b m ,n ∞ 1 nπ mπ nπ E y = ∑ 2 jβ E0 sin( x ) cos( y )e j β z kc b a b m ,n ∞ = ∑ 1 jωε nπ E sin( mπ x ) cos( nπ y )e jβ z H x 0 kc 2 b a b m ,n ∞ = ∑ 1 jωε mπ E cos( mπ x )sin( nπ y )e jβ z H y 0 2 kc a a b m ,n
2 2
mπ nπ + = a b
满足边界条件TM波解
sin ( k x x ) sin ( k y y ) j (ωt β z ) Ψ ( x , y , z; t ) ∝ e cos ( k x x ) cos ( k y y ) Ψ Ψ
x = 0,a y =0,b
= 0 k x a = mπ , m = ±1, ±2,... = 0 k y b = nπ , n = ±1, ±2,... nπ j(ωt β z ) x sin ye b
H ( r , t ) = H ( rT , z; t ) = H ( rT , z; t ) e
3 矢量波动方程 基于波导中场的分布特点，可以推导 波导中场满足的矢量波动方程是：
，
E = ET + E z = ET + E z a z , H = H T + H z 1 E z ET ( rT , z; t ) = 2 jωT × H z 2 T k β z 1 H z H T ( rT , z; t ) = 2 + jωεT × E z 2 T k β z
mπ E z ( x, y , z; t ) ∝ sin a
m和n取正和取负结果相同 m和n不能为零
满足边界条件TE波解
sin ( k x x ) sin ( k y y ) j ( ωt β z ) Ψ ( x, y , z; t ) ∝ e cos ( k x x ) cos ( k y y ) Ψ x =0,a = 0 k x a = mπ , m = 0, ±1, ±2,... x Ψ y =0,b = 0 k y b = nπ , n = 0, ±1, ±2,... y mπ H z ( x, y , z; t ) ∝ cos a nπ x cos b j (ω t β z ) xe
y =0,b
=0
方程与边界条件
2 2 x 2 + y 2 + ( k β ) Ψ ( x, y , z ) = 0 TM : Ψ x =0,a ,or , y =0,b = 0
2 2
Ψ TE : x
x =0,a
Ψ = 0, y
=0
y =0,b
2 求解方程的分离变量法 采用分离变量法求解满足边界条件的 方程的解。
解的形式
分析矩形波导中解的形式，可以得到两 个重要的结论： 纵向相位分布为指数形式表示是沿纵向传 播的行波。 横向幅值分布为正（余）弦规律，呈驻波 状态。
2a 2b λz = , λx = , λy = β m n
2π
2 模式与模式图
模式标志 模式存在的条件 传导模和截止模 简并模 模式图 模式图绘制