2021届高考数学人教B版大一轮总复习：8-8 曲线与方程
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第八章
平面解析几何
第八节 曲线与方程
最新考纲
考情分析
1.了解方程的曲线与曲线的
方程的对应关系．
曲线与方程一般在客观题中主要考查
2．了解解析几何的基本思想 圆的方程、椭圆方程、双曲线方程、
和利用坐标法研究几何问题 抛物线方程，以考查待定系数法和定
的基本方法．
义法为主；在主观题中往往仅作为某
3．能够根据所给条件选择适 一问的形式出现，重点结合圆锥曲线
(1)求△ABC 外接圆的标准方程； (2)若过定点 P 的直线与△ABC 的外接圆交于 E，F 两点，求 弦 EF 的中点的轨迹方程．
【解】 (1)由题意得 AC 的中点坐标为(0， 2)，AB 的中点
坐标为12，32，kAC＝ 2，kAB＝1，故 AC 的中垂线的斜率为－ 22， AB 的中垂线的斜率为－1，则 AC 的中垂线的方程为 y－ 2＝－
2．小题热身
(1)若 M，N 为两个定点，且|MN|＝6，动点 P 满足P→M·P→N＝0，
则 P 点的轨迹是( A )
A．圆
B．椭圆
点(1,1)与到直线 x＋2y－3＝0 的距离相等的点的
轨迹是( D )
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．一条直线
(3)已知点 O(0,0)，A(1，－2)，动点 P 满足|PA|＝3|PO|，则 P 点的轨迹方程是( A )
解析：因为抛物线 x2＝4y 的焦点 F(0,1)，设线段 PF 的中点 坐标是(x，y)，则 P(2x,2y－1)在抛物线 x2＝4y 上，所以(2x)2＝4(2y －1)，化简得 x2＝2y－1.
(5)已知点 P 是直线 2x－y＋3＝0 上的一个动点，定点 M(－ 1,2)，Q 是线段 PM 延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则 Q 点的 轨迹方程是_2_x_－__y_＋__5_＝__0___.
当的方法求曲线的轨迹方 的其他性质进行综合考查.
程.
01知识梳理 诊断自测 02考点探究 明晰规律
03微突破 提升素养
课时作业
01 知识梳理 诊断自测
课前热身 稳固根基
知识点一 曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C(看作点的集合或适合
某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程 f(x，y)＝0 的实数解建立 如下的对应关系：
那 么 ， 这 个 方 程 叫 做 ______曲__线__的__方__程_______ ， 这 条 曲 线 叫 做 __方__程__的__曲__线__．_________
知识点二 求动点的轨迹方程的基本步骤
1．思考辨析 判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)方程 x2＋xy＝x 的曲线是一个点和一条直线．( × ) (2)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．( × ) (3)方程 y＝ x与 x＝y2 表示同一曲线．( × )
2．在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A(－1,1)关于原点 O
对称，P 是动点，且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于－13.则动点 P 的轨迹方程为___x_2_＋__3_y_2＝__4_(_x_≠__1_)_．____
解析：因为点 B 与点 A(－1,1)关于原点 O 对称， 所以点 B 的坐标为(1，－1)． 设点 P 的坐标为(x，y)， 由题意得yx－ ＋11·xy－＋11＝－13， 化简得 x2＋3y2＝4(x≠±1)． 故动点 P 的轨迹方程为 x2＋3y2＝4(x≠±1)．
解析：由题意知，M 为 PQ 中点，设 Q(x，y)则 P(－2－x,4 －y)，代入 2x－y＋3＝0 得 2x－y＋5＝0.
02 考点探究 明晰规律
课堂升华 强技提能
考点一 直接法求轨迹方程
【例 1】 已知△ABC 的三个顶点分别为 A(－1,0)，B(2,3)， C(1,2 2)，定点 P(1,1)．
1．已知点 F(0,1)，直线 l：y＝－1，P 为平面上的动点，过
点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 Q，且Q→P·Q→F＝F→P·F→Q，则动点 P
的轨迹 C 的方程为( A )
A．x2＝4y
B．y2＝3x
C．x2＝2y
D．y2＝4x
解析：设点 P(x，y)，则 Q(x，－1)． ∵Q→P·Q→F＝F→P·F→Q， ∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)， 即 2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得 x2＝4y， ∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2＝4y.
22x，AB 的中垂线的方程为 y－32＝－x－12.
由y－32＝－x－12， y－ 2＝－ 22x，
得xy＝ ＝20， ，
∴△ABC 的外接圆圆心为(2,0)，半径 r＝2＋1＝3，故△ABC 外接圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝9.
(2)设弦 EF 的中点为 M(x，y)，△ABC 外接圆的圆心为 N， 则 N(2,0)，由 MN⊥MP，得N→M·P→M＝0，
∴(x－2，y)·(x－1，y－1)＝0， 整理得 x2＋y2－3x－y＋2＝0， 故弦 EF 的中点的轨迹方程为 x－322＋y－122＝12.
方法技巧 (1)若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则 可用直接法，其一般步骤是：设点→列式→化简→检验．求动点 的轨迹方程时要注意检验，即除去多余的点，补上遗漏的点． (2)若是只求轨迹方程，则把方程求出，把变量的限制条件附 加上即可；若是求轨迹，则要说明轨迹是什么图形．
考点二 定义法求轨迹方程
【例 2】 (1)△ABC 的顶点 A(－5,0)，B(5,0)，△ABC 的内 切圆圆心在直线 x＝3 上，则顶点 C 的轨迹方程是 ___x9_2－__1_y62_＝__1_(_x_>_3_)_．
A．8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0 B．8x2＋8y2－2x－4y－5＝0 C．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0 D．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝0
解析：设 P 点的坐标为(x，y)， 则 x－12＋y＋22＝3 x2＋y2， 整理得 8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0.
(4)已知 F 是抛物线 y＝14x2 的焦点，P 是该抛物线上的动点， 则线段 PF 中点的轨迹方程是__x_2＝__2_y_－__1_____.
平面解析几何
第八节 曲线与方程
最新考纲
考情分析
1.了解方程的曲线与曲线的
方程的对应关系．
曲线与方程一般在客观题中主要考查
2．了解解析几何的基本思想 圆的方程、椭圆方程、双曲线方程、
和利用坐标法研究几何问题 抛物线方程，以考查待定系数法和定
的基本方法．
义法为主；在主观题中往往仅作为某
3．能够根据所给条件选择适 一问的形式出现，重点结合圆锥曲线
(1)求△ABC 外接圆的标准方程； (2)若过定点 P 的直线与△ABC 的外接圆交于 E，F 两点，求 弦 EF 的中点的轨迹方程．
【解】 (1)由题意得 AC 的中点坐标为(0， 2)，AB 的中点
坐标为12，32，kAC＝ 2，kAB＝1，故 AC 的中垂线的斜率为－ 22， AB 的中垂线的斜率为－1，则 AC 的中垂线的方程为 y－ 2＝－
2．小题热身
(1)若 M，N 为两个定点，且|MN|＝6，动点 P 满足P→M·P→N＝0，
则 P 点的轨迹是( A )
A．圆
B．椭圆
点(1,1)与到直线 x＋2y－3＝0 的距离相等的点的
轨迹是( D )
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．一条直线
(3)已知点 O(0,0)，A(1，－2)，动点 P 满足|PA|＝3|PO|，则 P 点的轨迹方程是( A )
解析：因为抛物线 x2＝4y 的焦点 F(0,1)，设线段 PF 的中点 坐标是(x，y)，则 P(2x,2y－1)在抛物线 x2＝4y 上，所以(2x)2＝4(2y －1)，化简得 x2＝2y－1.
(5)已知点 P 是直线 2x－y＋3＝0 上的一个动点，定点 M(－ 1,2)，Q 是线段 PM 延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则 Q 点的 轨迹方程是_2_x_－__y_＋__5_＝__0___.
当的方法求曲线的轨迹方 的其他性质进行综合考查.
程.
01知识梳理 诊断自测 02考点探究 明晰规律
03微突破 提升素养
课时作业
01 知识梳理 诊断自测
课前热身 稳固根基
知识点一 曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C(看作点的集合或适合
某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程 f(x，y)＝0 的实数解建立 如下的对应关系：
那 么 ， 这 个 方 程 叫 做 ______曲__线__的__方__程_______ ， 这 条 曲 线 叫 做 __方__程__的__曲__线__．_________
知识点二 求动点的轨迹方程的基本步骤
1．思考辨析 判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)方程 x2＋xy＝x 的曲线是一个点和一条直线．( × ) (2)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．( × ) (3)方程 y＝ x与 x＝y2 表示同一曲线．( × )
2．在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A(－1,1)关于原点 O
对称，P 是动点，且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于－13.则动点 P 的轨迹方程为___x_2_＋__3_y_2＝__4_(_x_≠__1_)_．____
解析：因为点 B 与点 A(－1,1)关于原点 O 对称， 所以点 B 的坐标为(1，－1)． 设点 P 的坐标为(x，y)， 由题意得yx－ ＋11·xy－＋11＝－13， 化简得 x2＋3y2＝4(x≠±1)． 故动点 P 的轨迹方程为 x2＋3y2＝4(x≠±1)．
解析：由题意知，M 为 PQ 中点，设 Q(x，y)则 P(－2－x,4 －y)，代入 2x－y＋3＝0 得 2x－y＋5＝0.
02 考点探究 明晰规律
课堂升华 强技提能
考点一 直接法求轨迹方程
【例 1】 已知△ABC 的三个顶点分别为 A(－1,0)，B(2,3)， C(1,2 2)，定点 P(1,1)．
1．已知点 F(0,1)，直线 l：y＝－1，P 为平面上的动点，过
点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 Q，且Q→P·Q→F＝F→P·F→Q，则动点 P
的轨迹 C 的方程为( A )
A．x2＝4y
B．y2＝3x
C．x2＝2y
D．y2＝4x
解析：设点 P(x，y)，则 Q(x，－1)． ∵Q→P·Q→F＝F→P·F→Q， ∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)， 即 2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得 x2＝4y， ∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2＝4y.
22x，AB 的中垂线的方程为 y－32＝－x－12.
由y－32＝－x－12， y－ 2＝－ 22x，
得xy＝ ＝20， ，
∴△ABC 的外接圆圆心为(2,0)，半径 r＝2＋1＝3，故△ABC 外接圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝9.
(2)设弦 EF 的中点为 M(x，y)，△ABC 外接圆的圆心为 N， 则 N(2,0)，由 MN⊥MP，得N→M·P→M＝0，
∴(x－2，y)·(x－1，y－1)＝0， 整理得 x2＋y2－3x－y＋2＝0， 故弦 EF 的中点的轨迹方程为 x－322＋y－122＝12.
方法技巧 (1)若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则 可用直接法，其一般步骤是：设点→列式→化简→检验．求动点 的轨迹方程时要注意检验，即除去多余的点，补上遗漏的点． (2)若是只求轨迹方程，则把方程求出，把变量的限制条件附 加上即可；若是求轨迹，则要说明轨迹是什么图形．
考点二 定义法求轨迹方程
【例 2】 (1)△ABC 的顶点 A(－5,0)，B(5,0)，△ABC 的内 切圆圆心在直线 x＝3 上，则顶点 C 的轨迹方程是 ___x9_2－__1_y62_＝__1_(_x_>_3_)_．
A．8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0 B．8x2＋8y2－2x－4y－5＝0 C．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0 D．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝0
解析：设 P 点的坐标为(x，y)， 则 x－12＋y＋22＝3 x2＋y2， 整理得 8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0.
(4)已知 F 是抛物线 y＝14x2 的焦点，P 是该抛物线上的动点， 则线段 PF 中点的轨迹方程是__x_2＝__2_y_－__1_____.