2018高考一轮数学(课件)第6章 第6节 数学归纳法
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＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，12 分 ∴当 n＝k＋1 时结论仍然成立． 由(1)(2)可知：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*).15 分
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第十页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
高三一轮总复习
∴a1>a2.4 分
(2)假设当 n＝k(k∈N*)时，ak＋1<ak，6 分
∵a2k＋1－a2k＝(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)，ak＋1<ak≤0，
∴a2k＋1－a2k>0.10 分
又∵ak＋2＋ak＋1＋1<－1＋(－1)＋1＝－1，
∴ak＋2－ak＋1<0，
∴ak＋2<ak＋1，即当 n＝k＋1 时，命题成立．
由(1)(2)可知，当 n∈N*时，an＋1<an.15 分
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第十七页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
高三一轮总复习
归纳——猜想——证明
已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足：Sn＝a2n＋a1n－1，且 an>0，n∈N*. (1)求 a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式； (2)证明通项公式的正确性． [解] (1)当 n＝1 时，由已知得 a1＝a21＋a11－1，a21＋2a1－2＝0.
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第十九页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
高三一轮总复习
[规律方法] 1.猜想{an}的通项公式时应注意两点：(1)准确计算 a1，a2，a3 发现规律(必要时可多计算几项)；(2)证明 ak＋1 时，ak＋1 的求解过程与 a2，a3 的求 解过程相似，注意体会特殊与一般的辩证关系．
成立.4 分
(2)假设 n＝k(k≥2，且 k∈N*)时不等式成立，
即1＋131＋15·…·1＋2k－1 1>
2k＋1 2 .8
分
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第十四页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
高三一轮总复习
则当 n＝k＋1 时，1＋131＋15·…·1＋2k－1 11＋2k＋11－1>
2k＋1 2k＋2 2 ·2k＋1
2．“归纳—猜想—证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用 的解题模式，这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用，它的 模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性．
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第二十页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
高三一轮总复习
[变式训练 3] (2017·绍兴调研)已知数列{xn}满足 x1＝12，xn＋1＝1＋1 xn，n∈ N*.猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论. 【导学号：51062210】
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第八页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
高三一轮总复习
用数学归纳法证明等式
设 f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)．求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝
n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)． [证明] (1)当 n＝2 时，左边＝f(1)＝1，
右边＝21＋12－1＝1，左边＝右边，等式成立.4 分 (2)假设 n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即
3 4 5 n＋1
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第七页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
高三一轮总复习
5．用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋2n－1 1<n(n>1)”由 n＝k(k>1)不等式 成立，推证 n＝k＋1 时，左边应增加的项的项数是__________.
【导学号：51062209】 2k [当 n＝k 时，不等式为 1＋12＋13＋…＋2k－1 1<k. 则 n＝k＋1 时，左边应为 1＋12＋13＋…＋2k－1 1＋21k＋2k＋1 1＋…＋2k＋11－1，则左边增加的项数为 2k＋1 －1－2k＋1＝2k.]
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第十六页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
高三一轮总复习
[变式训练 2] 已知数列{an}，当 n≥2 时，an<－1，又 a1＝0，a2n＋1＋an＋1－1
＝a2n，求证：当 n∈N*时，an＋1<an. [证明] (1)当 n＝1 时，∵a2 是 a22＋a2－1＝0 的负根，
[规律方法] 1.用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边 的构成规律，等式两边各有多少项，初始值 n0 是多少．
2．由 n＝k 时命题成立，推出 n＝k＋1 时等式成立，一要找出等式两边的变 化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证 明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法．
f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，8 分
那么，当 n＝k＋1 时，
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第九页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
高三一轮总复习
f(1) ＋ f(2) ＋ … ＋ f(k － 1) ＋ f(k) ＝ k[f(k) － 1] ＋ f(k) ＝ (k ＋ 1)f(k) － k ＝ (k ＋ 1)fk＋1－k＋1 1－k
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第二十二页，编辑于星期六：二十二点 三十三 分。
高三一轮总复习
[思想与方法] 1．数学归纳法是一种重要的数学思想方 法，主要用于解决与正整数有关的数学命 题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是 步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据． 2．在推证 n＝k＋1 时，可以通过凑、拆、 配项等方法用上归纳假设．此时既要看准目 标，又要弄清 n＝k 与 n＝k＋1 之间的关系．在 推证时，应灵活运用分析法、综合法、反证法 等方法．
∴a1＝ 3－1(a1>0).2 分
当 n＝2 时，由已知得 a1＋a2＝a22＋a12－1，
将 a1＝ 3－1 代入并整理得 a22＋2 3a2－2＝0.
∴a2＝ 5－ 3(a2>0)．同理可得 a3＝ 7－ 5.
猜想 an＝ 2n＋1－ 2n－1(n∈N*).7 分
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第十八页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
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第四页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
高三一轮总复习
2．(2017·杭州二中月考)在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为12n(n－
3)条时，第一步检验 n 等于( )
A．1
B．2
C．3
D．0
C [因为凸 n 边形最小为三角形，所以第一步检验 n 等于 3，故选 C.]
[解] 由 x1＝12及 xn＋1＝1＋1 xn， 得 x2＝23，x4＝58，x6＝1231， 由 x2>x4>x6 猜想：数列{x2n}是递减数列.4 分 下面用数学归纳法证明： (1)当 n＝1 时，已证命题成立.6 分
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第二十一页，编辑于星期六：二十二点 三十三 分。
高三一轮总复习
高三一轮总复习
抓
基
础
·
自
主 学
第六章 不等式及其证明 课
习
时
第六节 数学归纳法
分 层
明 考
训 练
向
·
题
型
突
破
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第一页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
高三一轮总复习
1．数学归纳法 证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当 n 取__第_一 __个 __值 ___n_0_(n_0_∈__N_*_)_时命题成立； (2)(归纳递推)假设 n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当__n_＝__k_＋__1__时命 题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立．
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第十一页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
高三一轮总复习 [变式训练 1] 求证：1－12＋13－14＋…＋2n1－1－21n＝n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n(n ∈N*)． [证明] (1)当 n＝1 时，左边＝1－12＝12，
右边＝1＋1 1＝12，左边＝右边.4 分
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第五页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
高三一轮总复习
3．已知
n
为正偶数，用数学归纳法证明
1
－
1 2
＋
1 3
－
1 4
＋
…
－
1 n
＝
2n＋1 2＋n＋1 4＋…＋21n时，若已假设 n＝k(k≥2，且 k 为偶数)时命题为真，则还 需要用归纳假设再证( )
A．n＝k＋1 时等式成立
(2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时命题成立， 即 x2k>x2k＋2，易知 xk>0，那么 x2k＋2－x2k＋4＝1＋1x2k＋1－1＋1x2k＋3 ＝1＋xx22kk＋＋31－1x＋2k＋x12k＋3＝ 1＋x2k1＋x2xk＋2k1－1x＋2k＋x22k＋21＋x2k＋3>0，12 分 即 x2(k＋1)>x2(k＋1)＋2. 也就是说，当 n＝k＋1 时命题也成立． 结合(1)(2)知，对∀n∈N*命题成立.15 分
B．n＝k＋2 时等式成立
C．n＝2k＋2 时等式成立
D．n＝2(k＋2)时等式成立 B [k 为偶数，则 k＋2 为偶数．]
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第六页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
高三一轮总复习
4．(教材改编)已知{an}满足 an＋1＝a2n－nan＋1，n∈N*，且 a1＝2，则 a2＝ __________，a3＝__________，a4＝__________，猜想 an＝__________.
高三一轮总复习
[规律方法] 1.当遇到与正整数 n 有关的不等式证明时，若用其他方法不容 易证明，则可考虑应用数学归纳法．
2．用数学归纳法证明不等式的关键是由 n＝k 时命题成立，再证 n＝k＋1 时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等 来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简 化．
＝ 2
2k＋2 2k＋1
＝
4k2＋8k＋4 2 2k＋1 >
4k2＋8k＋3 2 2k＋1
＝
2k2＋23k＋2k1＋1＝
2k＋1＋1
2
.14
分
∴当 n＝k＋1 时，不等式也成立．
由(1)(2)知，对于一切大于 1 的自然数 n，不等式都成立.15 分
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第十五页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
(2)假设 n＝k 时等式成立，
即 1－12＋13－14＋…＋2k－1 1－21k
＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k，8 分
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第十二页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
高三一轮总复习
则当 n＝k＋1 时， 1－12＋13－14＋…＋2k－1 1－21k＋2k＋1 1－2k＋1 2 ＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k＋2k＋1 1－2k＋1 2 ＝k＋1 2＋k＋1 3＋…＋2k＋1 1＋2k＋1 2.13 分 即当 n＝k＋1 时，等式也成立． 综合(1)(2)可知，对一切 n∈N*，等式成立.15 分
高三一轮总复习 (2)证明：①由(1)知，当 n＝1,2,3 时，通项公式成立． ②假设当 n＝k(k≥3，k∈N*)时，通项公式成立，
即 ak＝ 2k＋1－ 2k－1.10 分 由于 ak＋1＝Sk＋1－Sk＝ak2＋1＋ak1＋1－a2k－a1k， 将 ak＝ 2k＋1－ 2k－1代入上式，整理得 a2k＋1＋2 2k＋1ak＋1－2＝0， ∴ak＋1＝ 2k＋3－ 2k＋1， 即 n＝k＋1 时通项公式成立.14 分 由①②可知对所有 n∈N*，an＝ 2n＋1－ 2n－1都成立.15 分
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第二页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
高三一轮总复习 2．数学归纳法的框图表示
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第三页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
高三一轮总复习
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当 n＝1 时结论成立．( ) (2)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．( ) (3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由 n＝k 到 n＝k＋1 时， 项数都增加了一项．( ) (4)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证 n＝1 时， 左边式子应为 1＋2＋22＋23.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
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第十三页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
高三一轮总复习
用数学归纳法证明不等式
用数学归纳法证明：对一切大于 1 的自然数 n，不等式1＋13
1＋15·…·1＋2n1－1> 2n2＋1均成立． [证明] (1)当 n＝2 时，左边＝1＋13＝43；右边＝ 25.∵左边>右边，∴不等式
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第十页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
高三一轮总复习
∴a1>a2.4 分
(2)假设当 n＝k(k∈N*)时，ak＋1<ak，6 分
∵a2k＋1－a2k＝(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)，ak＋1<ak≤0，
∴a2k＋1－a2k>0.10 分
又∵ak＋2＋ak＋1＋1<－1＋(－1)＋1＝－1，
∴ak＋2－ak＋1<0，
∴ak＋2<ak＋1，即当 n＝k＋1 时，命题成立．
由(1)(2)可知，当 n∈N*时，an＋1<an.15 分
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第十七页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
高三一轮总复习
归纳——猜想——证明
已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足：Sn＝a2n＋a1n－1，且 an>0，n∈N*. (1)求 a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式； (2)证明通项公式的正确性． [解] (1)当 n＝1 时，由已知得 a1＝a21＋a11－1，a21＋2a1－2＝0.
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第十九页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
高三一轮总复习
[规律方法] 1.猜想{an}的通项公式时应注意两点：(1)准确计算 a1，a2，a3 发现规律(必要时可多计算几项)；(2)证明 ak＋1 时，ak＋1 的求解过程与 a2，a3 的求 解过程相似，注意体会特殊与一般的辩证关系．
成立.4 分
(2)假设 n＝k(k≥2，且 k∈N*)时不等式成立，
即1＋131＋15·…·1＋2k－1 1>
2k＋1 2 .8
分
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第十四页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
高三一轮总复习
则当 n＝k＋1 时，1＋131＋15·…·1＋2k－1 11＋2k＋11－1>
2k＋1 2k＋2 2 ·2k＋1
2．“归纳—猜想—证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用 的解题模式，这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用，它的 模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性．
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第二十页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
高三一轮总复习
[变式训练 3] (2017·绍兴调研)已知数列{xn}满足 x1＝12，xn＋1＝1＋1 xn，n∈ N*.猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论. 【导学号：51062210】
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用数学归纳法证明等式
设 f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)．求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝
n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)． [证明] (1)当 n＝2 时，左边＝f(1)＝1，
右边＝21＋12－1＝1，左边＝右边，等式成立.4 分 (2)假设 n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即
3 4 5 n＋1
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第七页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
高三一轮总复习
5．用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋2n－1 1<n(n>1)”由 n＝k(k>1)不等式 成立，推证 n＝k＋1 时，左边应增加的项的项数是__________.
【导学号：51062209】 2k [当 n＝k 时，不等式为 1＋12＋13＋…＋2k－1 1<k. 则 n＝k＋1 时，左边应为 1＋12＋13＋…＋2k－1 1＋21k＋2k＋1 1＋…＋2k＋11－1，则左边增加的项数为 2k＋1 －1－2k＋1＝2k.]
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第十六页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
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[变式训练 2] 已知数列{an}，当 n≥2 时，an<－1，又 a1＝0，a2n＋1＋an＋1－1
＝a2n，求证：当 n∈N*时，an＋1<an. [证明] (1)当 n＝1 时，∵a2 是 a22＋a2－1＝0 的负根，
[规律方法] 1.用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边 的构成规律，等式两边各有多少项，初始值 n0 是多少．
2．由 n＝k 时命题成立，推出 n＝k＋1 时等式成立，一要找出等式两边的变 化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证 明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法．
f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，8 分
那么，当 n＝k＋1 时，
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第九页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
高三一轮总复习
f(1) ＋ f(2) ＋ … ＋ f(k － 1) ＋ f(k) ＝ k[f(k) － 1] ＋ f(k) ＝ (k ＋ 1)f(k) － k ＝ (k ＋ 1)fk＋1－k＋1 1－k
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高三一轮总复习
[思想与方法] 1．数学归纳法是一种重要的数学思想方 法，主要用于解决与正整数有关的数学命 题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是 步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据． 2．在推证 n＝k＋1 时，可以通过凑、拆、 配项等方法用上归纳假设．此时既要看准目 标，又要弄清 n＝k 与 n＝k＋1 之间的关系．在 推证时，应灵活运用分析法、综合法、反证法 等方法．
∴a1＝ 3－1(a1>0).2 分
当 n＝2 时，由已知得 a1＋a2＝a22＋a12－1，
将 a1＝ 3－1 代入并整理得 a22＋2 3a2－2＝0.
∴a2＝ 5－ 3(a2>0)．同理可得 a3＝ 7－ 5.
猜想 an＝ 2n＋1－ 2n－1(n∈N*).7 分
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2．(2017·杭州二中月考)在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为12n(n－
3)条时，第一步检验 n 等于( )
A．1
B．2
C．3
D．0
C [因为凸 n 边形最小为三角形，所以第一步检验 n 等于 3，故选 C.]
[解] 由 x1＝12及 xn＋1＝1＋1 xn， 得 x2＝23，x4＝58，x6＝1231， 由 x2>x4>x6 猜想：数列{x2n}是递减数列.4 分 下面用数学归纳法证明： (1)当 n＝1 时，已证命题成立.6 分
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高三一轮总复习
抓
基
础
·
自
主 学
第六章 不等式及其证明 课
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时
第六节 数学归纳法
分 层
明 考
训 练
向
·
题
型
突
破
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1．数学归纳法 证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当 n 取__第_一 __个 __值 ___n_0_(n_0_∈__N_*_)_时命题成立； (2)(归纳递推)假设 n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当__n_＝__k_＋__1__时命 题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立．
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高三一轮总复习 [变式训练 1] 求证：1－12＋13－14＋…＋2n1－1－21n＝n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n(n ∈N*)． [证明] (1)当 n＝1 时，左边＝1－12＝12，
右边＝1＋1 1＝12，左边＝右边.4 分
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3．已知
n
为正偶数，用数学归纳法证明
1
－
1 2
＋
1 3
－
1 4
＋
…
－
1 n
＝
2n＋1 2＋n＋1 4＋…＋21n时，若已假设 n＝k(k≥2，且 k 为偶数)时命题为真，则还 需要用归纳假设再证( )
A．n＝k＋1 时等式成立
(2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时命题成立， 即 x2k>x2k＋2，易知 xk>0，那么 x2k＋2－x2k＋4＝1＋1x2k＋1－1＋1x2k＋3 ＝1＋xx22kk＋＋31－1x＋2k＋x12k＋3＝ 1＋x2k1＋x2xk＋2k1－1x＋2k＋x22k＋21＋x2k＋3>0，12 分 即 x2(k＋1)>x2(k＋1)＋2. 也就是说，当 n＝k＋1 时命题也成立． 结合(1)(2)知，对∀n∈N*命题成立.15 分
B．n＝k＋2 时等式成立
C．n＝2k＋2 时等式成立
D．n＝2(k＋2)时等式成立 B [k 为偶数，则 k＋2 为偶数．]
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4．(教材改编)已知{an}满足 an＋1＝a2n－nan＋1，n∈N*，且 a1＝2，则 a2＝ __________，a3＝__________，a4＝__________，猜想 an＝__________.
高三一轮总复习
[规律方法] 1.当遇到与正整数 n 有关的不等式证明时，若用其他方法不容 易证明，则可考虑应用数学归纳法．
2．用数学归纳法证明不等式的关键是由 n＝k 时命题成立，再证 n＝k＋1 时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等 来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简 化．
＝ 2
2k＋2 2k＋1
＝
4k2＋8k＋4 2 2k＋1 >
4k2＋8k＋3 2 2k＋1
＝
2k2＋23k＋2k1＋1＝
2k＋1＋1
2
.14
分
∴当 n＝k＋1 时，不等式也成立．
由(1)(2)知，对于一切大于 1 的自然数 n，不等式都成立.15 分
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第十五页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
(2)假设 n＝k 时等式成立，
即 1－12＋13－14＋…＋2k－1 1－21k
＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k，8 分
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第十二页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
高三一轮总复习
则当 n＝k＋1 时， 1－12＋13－14＋…＋2k－1 1－21k＋2k＋1 1－2k＋1 2 ＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k＋2k＋1 1－2k＋1 2 ＝k＋1 2＋k＋1 3＋…＋2k＋1 1＋2k＋1 2.13 分 即当 n＝k＋1 时，等式也成立． 综合(1)(2)可知，对一切 n∈N*，等式成立.15 分
高三一轮总复习 (2)证明：①由(1)知，当 n＝1,2,3 时，通项公式成立． ②假设当 n＝k(k≥3，k∈N*)时，通项公式成立，
即 ak＝ 2k＋1－ 2k－1.10 分 由于 ak＋1＝Sk＋1－Sk＝ak2＋1＋ak1＋1－a2k－a1k， 将 ak＝ 2k＋1－ 2k－1代入上式，整理得 a2k＋1＋2 2k＋1ak＋1－2＝0， ∴ak＋1＝ 2k＋3－ 2k＋1， 即 n＝k＋1 时通项公式成立.14 分 由①②可知对所有 n∈N*，an＝ 2n＋1－ 2n－1都成立.15 分
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第二页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
高三一轮总复习 2．数学归纳法的框图表示
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第三页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
高三一轮总复习
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当 n＝1 时结论成立．( ) (2)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．( ) (3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由 n＝k 到 n＝k＋1 时， 项数都增加了一项．( ) (4)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证 n＝1 时， 左边式子应为 1＋2＋22＋23.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
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第十三页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
高三一轮总复习
用数学归纳法证明不等式
用数学归纳法证明：对一切大于 1 的自然数 n，不等式1＋13
1＋15·…·1＋2n1－1> 2n2＋1均成立． [证明] (1)当 n＝2 时，左边＝1＋13＝43；右边＝ 25.∵左边>右边，∴不等式