江西省抚州市临川二中2015-2016学年高一下学期期中数学试卷 含解析

2015—2016学年江西省抚州市临川二中高一（下)期中数学试卷
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（）
A．B．C．a＞b2D．a2＞2b
2．由a1=1，d=3确定的等差数列｛a n}中，当a n=298时，序号n等于（）
A．99B．100C．96D．101
3．在△ABC中，如果sinA:sinB：sinC=2:3：4，那么cosC等于(）
A．B．C．D．
4．不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则a+b的值是（）
A．10B．﹣10C．14D．﹣14
5．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=5x+y的最大值为(）
A．2B．3C．4D．5
6．一个等比数列｛a n｝的前n项和为48,前2n项和为60，则前3n项和为（)
A．63B．108C．75D．83
7．已知x＞2,函数的最小值是（）
A．5B．4C．6D．8
8．函数f（x)=ax2+ax﹣1在R上满足f（x)＜0,则a的取值范围是（)
A．（﹣4，0]B．（﹣∞,﹣4)C．(﹣4，0）D．（﹣∞，0]
9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b,c，且a=10，b=8，B=30°，那么△ABC 的解的情况是（）
A．无解B．一解C．两解D．一解或两解
10．在△ABC中，若a=1，c=2,A=30°，则△ABC的面积为（)
A．B．C．1D．
11．已知数列｛a n}满足：,对于任意的n∈N＊，，则a999﹣
a888=(）
A．B．C．D．
12．数列｛a n}中，a1=1，a n，a n+1是方程x2﹣（2n+1）x+的两个根，则数列｛b n｝的前n项和S n=(）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．不等式的解集是．
14．点（﹣2,t)在直线2x﹣3y+6=0的上方,则t的取值范围是．
15．两个等差数列{a n}，｛b n}，=，则=．
16．在△ABC中,AB=8cm，BC=7cm,AC=5cm，内心为I，则AI的长度为cm．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设等差数列｛a n｝的前n项和为S n,且a3=2，S7=21．
（1)求数列{a n｝的通项公式；
（2)设b n=2an,求数列｛b n}的前n项和T n．
18．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c,且b2+c2﹣a2=bc．
(1）求A；
(2)若a=，sinBsinC=sin2A,求△ABC的周长．
19．已知函数f(x)=x2﹣（2m+1）x+2m（m∈R）．
（1）当m=1时，解关于x的不等式xf(x)≤0;
（2)解关于x的不等式f（x）＞0．
20．如图所示，在△ABC中，B=,AC=2,cosC=．
（1）求sin∠BAC的值及BC的长度;
（2）设BC的中点为D，求中线AD的长．
21．某矩形花坛ABCD长AB=3m,宽AD=2m，现将此花坛在原有基础上有拓展成三角形区域,AB、AD分别延长至E、F并使E、C、F三点共线．
（1）要使三角形AEF的面积大于16平方米，则AF的长应在什么范围内？
(2）当AF的长度是多少时，三角形AEF的面积最小？并求出最小面积．
22．已知a1=2,点(a n，a n+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上,其中n=1，2，3，…．
（1）求a3，a4的值；
（2）证明数列{lg(1+a n）｝是等比数列,并求数列{a n}的通项公式;
（3）记b n=+，求数列{b n}的前n项和S n．
2015—2016学年江西省抚州市临川二中高一（下)期中数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（）
A．B．C．a＞b2D．a2＞2b
【考点】不等关系与不等式．
【分析】通过举反例说明选项A，B，D错误，通过不等式的性质判断出C正确．
【解答】解：对于A，例如a=2，b=此时满足a＞1＞b＞﹣1但故A错
对于B，例如a=2，b=此时满足a＞1＞b＞﹣1但故B错
对于C，∵﹣1＜b＜1∴0≤b2＜1∵a＞1∴a＞b2故C正确
对于D，例如a=此时满足a＞1＞b＞﹣1,a2＜2b故D错
故选C
2．由a1=1，d=3确定的等差数列{a n｝中，当a n=298时，序号n等于（）
A．99B．100C．96D．101
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】先根据a1=1，d=3确定的等差数列的通项,再求项数．
【解答】解:由题意，a n=3n﹣2，故有3n﹣2=298,∴n=100，
故选B．
3．在△ABC中，如果sinA：sinB:sinC=2:3：4，那么cosC等于（）
A．B．C．D．
【考点】余弦定理．
【分析】由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c，可设a=2k，b=3k，c=4k(k＞0)，由余弦定理可求得答案．
【解答】解：由正弦定理可得;sinA:sinB：sinC=a：b：c=2：3：4
可设a=2k,b=3k，c=4k（k＞0）
由余弦定理可得，=
故选:D
4．不等式ax2+bx+2＞0的解集是,则a+b的值是（)
A．10B．﹣10C．14D．﹣14
【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．
【分析】不等式ax2+bx+2＞0的解集是，说明方程ax2+bx+2=0的解为,
把解代入方程求出a、b即可．
【解答】解：不等式ax2+bx+2＞0的解集是
即方程ax2+bx+2=0的解为
故
则a=﹣12，b=﹣2．
5．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=5x+y的最大值为(）
A．2B．3C．4D．5
【考点】简单线性规划的应用．
【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出
可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z=5x+y 的最小值．
【解答】解:满足约束条件的可行域如图，
由图象可知：
目标函数z=5x+y过点A（1，0）时
z取得最大值,z max=5,
故选D．
6．一个等比数列｛a n｝的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（) A．63B．108C．75D．83
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】根据等比数列的性质可知等比数列中每k项的和也成等比数列，进而根据等比等比数列的第一个n项的和和第二个n项的和，求得第三个n项的和，进而把前2n项的和加上第三个n项的和,即可求得答案．
【解答】解：由等比数列的性质可知等比数列中每k项的和也成等比数列．
则等比数列的第一个n项的和为48，第二个n项的和为60﹣48=12，
∴第三个n项的和为:=3，
∴前3n项的和为60+3=63．
故选：A．
7．已知x＞2，函数的最小值是（）
A．5B．4C．6D．8
【考点】基本不等式．
【分析】根据基本不等式的性质判断即可．
【解答】解:已知x＞2，则x﹣2＞0，
函数=+（x﹣2）+2≥2+2=6,
当且仅当x=4时“="成立，
故函数的最小值是6，
故选：C．
8．函数f（x)=ax2+ax﹣1在R上满足f（x)＜0，则a的取值范围是（）
A．(﹣4,0］B．(﹣∞，﹣4)C．（﹣4，0）D．（﹣∞，0]
【考点】二次函数的性质．
【分析】分别讨论a=0和a≠0时，解不等式即可．
【解答】解：若a=0，则f（x）=ax2+ax﹣1=﹣1，满足f(x）＜0成立．
若a≠0时,要使f（x）＜0成立,即f（x）=ax2+ax﹣1＜0，
则须满足，解得﹣4＜a＜0，
综上﹣4＜a≤0,
故选A．
9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=10，b=8，B=30°,那么△ABC 的解的情况是（）
A．无解B．一解C．两解D．一解或两解
【考点】正弦定理．
【分析】由题意可得asinB＜b＜a，可得三角形解得个数．
【解答】解:∵asinB=10×=5，
∴5＜8＜10，即asinB＜b＜a,
∴△ABC有两解
故选：C
10．在△ABC中，若a=1,c=2，A=30°，则△ABC的面积为(）
A．B．C．1D．
【考点】正弦定理．
【分析】由已知利用正弦定理可求sinC的值,结合C的范围可求C，进而可求B，利用三角形面积公式即可计算得解．
【解答】解：在△ABC中，∵a=1，c=2，A=30°，
∴由正弦定理可得:sinC===1，
∵C∈（0，180°），
∴C=90°，B=π﹣A﹣C=60°,
∴S△ABC=acsinB==．
故选:B．
11．已知数列{a n｝满足：,对于任意的n∈N*，,则a999﹣a888=（）
A．B．C．D．
【考点】数列递推式．
【分析】通过计算出前几项的值可知当n为大于1的奇数时a n=、当n为大于1的偶数时a n=，进而计算可得结论．
【解答】解：∵,，
∴a2=a1（1﹣a1）=•（1﹣）=,
a3=a2（1﹣a2）=•（1﹣）=，
a4=a3（1﹣a3）=•(1﹣)=，
∴当n为大于1的奇数时，a n=，
当n为大于1的偶数时，a n=，
∴a999﹣a888=﹣=，
故选：D．
12．数列｛a n｝中,a1=1，a n,a n+1是方程x2﹣（2n+1）x+的两个根，则数列{b n｝的前n项和S n=（)
A．B．C．D．
【考点】数列的求和；根与系数的关系．
【分析】利用韦达定理可求得a n+a n+1=2n+1，而a1=1，从而可求得a n=n；再由=a n a n+1,
可求得b n，从而可得答案．
【解答】解：依题意，a n+a n+1=2n+1，
∴a n+1+a n+2=2（n+1）+1，
两式相减得:a n+2﹣a n=2，又a1=1，
∴a3=1+2=3,a5=5，…
∵a n+a n+1=2n+1，a1=1,
∴a2=3﹣1=2,a4=2+2=4，…
∴a n=n；
又=a n a n+1=n（n+1），
∴b n==﹣,
∴S n=b1+b2+…+b n=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣=．
故选D．
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，满分20分,将答案填在答题纸上）
13．不等式的解集是{x｜或x}．
【考点】其他不等式的解法．
【分析】不等式⇔（2x﹣1）（3x+1）＞0,利用一元二次不等式的解法即可得出．【解答】解:不等式⇔（2x﹣1）（3x+1）＞0，解得或x．
∴不等式的解集是｛x｜或x｝．
故答案为｛x|或x}．
14．点（﹣2，t）在直线2x﹣3y+6=0的上方，则t的取值范围是t＞．
【考点】两条直线的交点坐标．
【分析】点在直线上方，点的坐标代入方程，有﹣4﹣3t+6＜0，求出t的取值范围．
【解答】解:点(﹣2，t)在直线2x﹣3y+6=0的上方,
则﹣4﹣3t+6＜0 则t的取值范围是：t＞
故答案为:t＞
15．两个等差数列{a n},｛b n}，=，则=．
【考点】等差数列的性质．
【分析】由题意，==，利用条件，代入计算,即可得出结论．
【解答】解：由题意,====．
故答案为：．
16．在△ABC中，AB=8cm,BC=7cm,AC=5cm,内心为I，则AI的长度为cm．
【考点】三角形中的几何计算．
【分析】设内切圆I与AB，AC相切于D，E，在△ABC中由余弦定理求出cos∠BAC，由角的范围和特殊角的三角函数值求出∠BAC,由内心的性质求出∠IAD，设内切圆的半径为r，由等面积法求出r，根据直角三角的正弦函数求出AI的值．
【解答】解：设内切圆I与AB，AC相切于D,E，
在△ABC中，由余弦定理可得：
cos∠BAC===,
∵0＜∠BAC＜180°，∴∠BAC=60°，则∠IAD=30°，
设内切圆的半径为r，
∵△ABC的面积为S=，
∴,解得r=（cm），
在RT△ADI中，AI===(cm），
故答案为：．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设等差数列｛a n}的前n项和为S n，且a3=2，S7=21．
（1）求数列{a n}的通项公式;
（2）设b n=2an，求数列{b n｝的前n项和T n．
【考点】数列的求和．
【分析】(1）根据条件列方程解出a1和d，从而得出通项公式；
（2）利用等比数列的求和公式得出T n．
【解答】解：(1）设｛a n｝的公差为d，
则,解得．
∴a n=a1+(n﹣1）d=n﹣1．
（2）由（1）可得b n=2n﹣1,∴{b n}为以1为首项，以2为公比的等比数列，
∴T n==2n﹣1．
18．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且b2+c2﹣a2=bc．
（1）求A；
（2）若a=,sinBsinC=sin2A，求△ABC的周长．
【考点】余弦定理的应用．
【分析】（1）由余弦定理求出cosA的值，即得A的值；
(2）由正弦定理化sinBsinC=sin2A为bc=a2①，再由b2+c2﹣a2=bc②；列出方程组求出b、c的值,即得△ABC的周长．
【解答】解：（1)△ABC中，b2+c2﹣a2=bc，
∴cosA===;
又A∈(0，π），
∴A=；
（2）∵a=,sinBsinC=sin2A,
∴bc=a2=2①；
又b2+c2﹣a2=bc，
∴b2+c2﹣2=bc②；
由①②组成方程组，解得b=c=；
∴△ABC的周长为l=a+b+c=3．
19．已知函数f（x）=x2﹣(2m+1)x+2m(m∈R）．
（1）当m=1时，解关于x的不等式xf（x)≤0；
(2)解关于x的不等式f（x）＞0．
【考点】二次函数的性质．
【分析】（1）当m=1时，x（x2﹣3x+2）≤0，即x（x﹣1）（x﹣2)≤0，即可得出结论；（2）不等式可化为(x﹣2m）（x﹣1）＞0，分类讨论,即可得出结论．
【解答】解：(1）当m=1时，x(x2﹣3x+2）≤0，即x（x﹣1）（x﹣2)≤0，{x｜x≤0或1≤x≤2}；（2）不等式可化为（x﹣2m）（x﹣1）＞0，
当时，解集为｛x|x＜2m，或x＞1}；
当时，解集为｛x｜x≠1}；
当时，则不等式的解集为｛x|x＜1，或x＞2m}….。

20．如图所示，在△ABC中,B=，AC=2，cosC=．
（1）求sin∠BAC的值及BC的长度；
（2）设BC的中点为D,求中线AD的长．
【考点】余弦定理．
【分析】（1）由cosC的值求出sinC的值，根据诱导公式得到sin∠BAC=sin（B+C），利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算求出值，再由sin∠BAC,sinB，以及AC的长,利用正弦定理求出BC的长即可；
（2）根据D为BC中点，求出CD的长，再由AC与cosC的值，利用余弦定理求出AD的长即可．
【解答】解:(1）∵在△ABC中，B=，AC=2，cosC=,
∴sinC==，
∴sin∠BAC=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=×+×=；
由正弦定理得：=,即BC===6，
(2)在△ADC中,CD=BC=3，AC=2，cosC=，
由余弦定理得：AD2=AC2+DC2﹣2AC•DCcosC=20+9﹣2×2×3×=5，
则AD=．
21．某矩形花坛ABCD长AB=3m，宽AD=2m，现将此花坛在原有基础上有拓展成三角形区域，AB、AD分别延长至E、F并使E、C、F三点共线．
（1)要使三角形AEF的面积大于16平方米,则AF的长应在什么范围内？
（2）当AF的长度是多少时，三角形AEF的面积最小？并求出最小面积．
【考点】基本不等式在最值问题中的应用;相似三角形的性质．
【分析】（1）由题意设出DF=x，AF=x+2，因为△FDC∽△CBE，则对应线段成比例可知BE,表示出三角形AEF的面积,令其大于16得到关于x的一元二次不等式，求出解集即可；（2）利用基本不等式得出函数的最小值即可．
【解答】解:（1）设DF=x，AF=x+2，
∵△FDC∽△CBE，
∴=，
∴BE=，
∴S△AEF=（x+2)（+3)=（12+3x+)，
∵三角形AEF的面积大于16平方米，
∴（12+3x+）＞16，
∴（3x﹣2）(x﹣6）＞0，
∴x＞6或0＜x＜，
∴2＜AF＜或AF＞8;
(2），
当，即AF=4时取得最小．
22．已知a1=2，点（a n，a n+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上，其中n=1,2,3，…．
(1)求a3，a4的值;
（2）证明数列{lg（1+a n)}是等比数列，并求数列｛a n｝的通项公式;
（3)记b n=+,求数列｛b n}的前n项和S n．
【考点】数列的求和;等比数列的通项公式．
【分析】(1）由已知得a1=2,a n+1=a n2+2a n，由此利用递推思想能求出a3，a4的值．
(2）由,能数列｛lg（1+a n）}是等比数列,并能求出数列{a n｝的通项公式．
(3)推导出，由此利用裂项求和法能求出数列
{b n}的前n项和S n．
【解答】解：（1）∵a1=2,点（a n，a n+1）在函数f(x）=x2+2x的图象上,其中n=1，2，3，…．∴．
证明：(2)∵，
∴｛lg（1+a n）}是首项为lg3，公比为2的等比数列,
∴．
解：（3），∴，
∴．
2016年7月21日。