高中数学知识体系结构16 椭圆

高中数学知识体系结构----椭圆
一、椭圆 1． 椭圆的定义：
平面内与两个定点12F F ，
的距离之和等于常数(大于12||F F )的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距． 2． 椭圆的标准方程：
(1)焦点在x 轴上的椭圆标准方程是：22
221(0)x y
a b a b
+=>>，焦点是1(0)F c -，
，2(0)F c ，，且222c a b =-．
(2)焦点在y 轴上的椭圆标准方程是：22221(0)y x
a b a b
+=>>，焦点是1(0)F c -，
，2(0)F c ，，且222c a b =-． 3． 椭圆的几何性质
x a ≤y b ≤,x b y a ≤≤
4． 求椭圆标准方程的技巧
(1) 与椭圆()222210x y a b a b +=>>有相同离心率的椭圆方程可设为()22
11220x y t t a b
+=>或
()22
2222
0y x t t a b +=>. (2) 已知椭圆上两个点的坐标，可设椭圆方程为()22
1,0,0mx ny m n n m +=≠>>
(3) 已知椭圆的焦点和椭圆上一点的坐标，则用椭圆定义求出2a .
注：求椭圆方程一定要先确定是横版还是竖版. 5． 椭圆常用的二级结论
(1) 椭圆第二定义：到定点()1,0F c (或()2,0F c -)与定直线2a x c =(或2a
x c
=-)之比为定值
()1c
e e a
=
<的点的轨迹是椭圆. (2) 通径：过椭圆的焦点且与椭圆的长轴垂直的直线与椭圆相交于,A B 两点，则22b
AB a
=
. (3) 焦半径范围：椭圆的焦点为F ，椭圆上有一点P ，则PF 的范围是[],a c a c -+.
(4) 焦点三角形面积：已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左右焦点为12,F F ，椭圆上有一点P ，
则12212tan
2
PF F F PF S b ∠=. (5) 中点弦(点差法)：
(a )已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>，直线l 与椭圆交于,A B 两点，点M 为线段AB 的中
点，则有2
2AB OM
b k k a
⋅=-.
(b )已知椭圆()22
22:10y x C a b a b
+=>>，直线l 与椭圆交于,A B 两点，点M 为线段AB 的
中点，则有2
2AB OM a k k b
⋅=-.
(6) 中点弦(点差法)结论推广：
已知()22
2210x y a b a b
+=>>，直线l 过原点且与椭圆交于,A B 两点，点P 为椭圆上一点，
且不与,A B 重合，则22PA PB b
k k a
⋅=-.
(7) 椭圆的参数方程：
已知椭圆的方程为()22
2210x y a b a b
+=>>，则椭圆上一点P 的坐标可设为
()cos ,sin a b θθ.
(8) 椭圆上点的切线方程：
过椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>上的一点()00,P x y 作椭圆的切线，则切线方程为
00221x x y y
a b
+=. (9) 椭圆外一点的切点弦方程：
过椭圆()22
2210x y a b a b +=>>外一点()00,P x y 作椭圆的切线,PA PB ，则切点弦AB 的方
程为00221x x y y
a b
+=.。