海南省海口市海南中学高中数学三角函数与解三角形多选题专题复习及答案

海南省海口市海南中学高中数学三角函数与解三角形多选题专题复习及答案
一、三角函数与解三角形多选题
1．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列命题正确的是（ ）
A ．若::4:5:6a b c =，ABC 的最大内角是最小内角的2倍
B ．若cos cos a B b A c -=，则AB
C 一定为直角三角形 C ．若4,5,6a b c ===，则ABC
D ．若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则ABC 一定是等边三角形 【答案】ABD 【分析】
对于A 选项，求得2A C =，由此确定选项正确.对于B 选项，求得2
A π
=
，由此确定选项
正确.对于C 选项，利用正弦定理求得ABC 外接圆半径，由此确定选项错误.对于D 选项，证得()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，得到A B C ==，确定选项正确. 【详解】
对于A 选项，A 角最小，C 角最大.由余弦定理得253616453
cos 0256604
A +-=
==>⨯⨯，
16253651cos 0245408C +-===>⨯⨯，2
231
cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭
，cos2cos A C =.0,02
2
A C π
π
<<
<<
，则02A π<<，所以2A C =，所以A 选项正确.
对于B 选项，cos cos a B b A c -=，由正弦定理得sin cos sin cos sin A B B A C -=，
()sin cos cos sin sin sin cos cos sin A B A B A B A B A B -=+=+，cos sin 0=A B ，由
于0,0A B ππ<<<<，所以2
A π
=
，故B 选项正确.
对于C 选项，16253651cos 245408C +-===⨯⨯，0C π<<
，sin C ==， 设三角形ABC 外接圆半径为R
，则2sin 2sin c c
R R C C
=
⇒===
，故C 选项错误.
对于D 选项，0,0,A B A B ππππ<<-<-<-<-<，故()1cos 1A B -<-≤，同理可得()()1cos 1,1cos 1B C C A -<-≤-<-≤， 要使()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=， 则需()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，
所以0,0,0A B B C C A -=-=-=，所以A B C ==，所以D 选项正确. 故选：ABD 【点睛】
利用正弦定理可求得三角形外接圆的半径R ，要注意公式是
2sin a
R A
=，而不是sin a
R A =.
2．在ABC 中，下列说法正确的是（ ）
A ．若A
B >，则sin sin A B > B ．存在AB
C 满足cos cos 0A B +≤ C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形
D ．若2
C π
>
，则22sin sin sin C A B >+
【答案】ACD 【分析】
A 项，根据大角对大边定理和正弦定理可判断；
B 项，由A B π+<和余弦函数在()0,π递减可判断；
C 项，显然2
A π
≠，分02
A π
<<
和2
A π
>
两种情况讨论，结合余弦函数的单调性可判
断；
D 项，根据2
A B π
+<和正弦函数的单调性得出0sin cos A B <<和0sin cos B A <<，再由放缩法可判断. 【详解】
解：对于A 选项，若A B >，则a b >，则2sin 2sin R A R B >，即sin sin A B >，故A 选项正确；
对于B 选项，由A B π+<，则A B π<-，且(),0,A B ππ-∈，cos y x =在()0,π上递减，于是cos cos A B >-，即cos cos 0A B +>，故B 选项错误﹔ 对于C 选项，由sin cos A B <，得cos cos 2A B π⎛⎫
-< ⎪⎝⎭
，cos y x =在()0,π上递减， 此时：若02
A π
<<，则
2A B π->，则2A B π+<，于是2
C π>； 若2
A π
>
，则cos cos 2A B π⎛
⎫
-
< ⎪⎝
⎭，则2
A B π
->， 于是2
A B π
>
+，故C 选项正确；
对于D 选项，由2
C π
>
，则2A B π+<
，则022A B ππ<<-<，sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
递增，于是sin sin 2A B π⎛⎫
<- ⎪⎝⎭
， 即0sin cos A B <<，同理0sin cos B A <<， 此时，
22sin sin()sin cos cos sin sin sin sin sin sin sin C A B A B A B A A B B A B
=+=+>⋅+⋅=+
所以D 选项正确. 故选：ACD 【点睛】
关键点点睛：正余弦函数的单调性，正弦定理的边角互化，大边对大角定理以及大角对大边定理，不等式的放缩等等，综合使用以上知识点是解决此类题的关键.
3．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；
一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即S =S 为三角形的面积，a 、b 、c 为三角形的三边）.现有ABC 满足
sin :sin :sin 2:A B C =，且ABC 的面积ABC S =△，则下列结论正确的是
（ ）
A ．ABC 的周长为10+
B ．AB
C 的三个内角A 、C 、B 成等差数
列
C ．ABC 的外接圆半径为3
D ．ABC 的中线CD 的长为【答案】AB 【分析】
本题首先可根据sin :sin :sin 2:A B C =得出::2:3:a b c =
ABC
S =△以及S =A 正确，然后根据余弦定理求出1cos 2
C =
，则π
3C =，2A B C +=，B 正确，再然后根据
2sin c R C =
即可判断出C 错误，最后根据余弦定理求出cos B =，再根据cos B =求出CD 长，D 错误. 【详解】
A 项：设ABC 的内角A 、
B 、
C 所对的边分别为a 、b 、c ，
因为sin :sin :sin 2:A B C =，所以由正弦定理可得::2:a b c =
设2a t =，3b t =，()0c t =>，
因为ABC
S =△，所以=
解得2t =，则4a =，6b =，c =
故ABC 的周长为10+A 正确；
B 项：因为2221636281
cos 22462
a b c C ab +-+-===⨯⨯，
所以π3C =
，π2π
π233
A B C +=-=
=， 故ABC 的三个内角A 、C 、B 成等差数列，B 正确；
C 项：因为π3C =
，所以sin 2
C =，
由正弦定理得2sin 3c R C =
==
，3R =，C 错误；
D 项：由余弦定理得222cos
2a c b B ac +-===
在BCD △中4BC =，BD =
由余弦定理得2cos
14B ==
，解得CD =，D 错误， 故选：AB. 【点睛】
本题考查解三角形相关问题的求解，考查的公式有2sin c R C =、222
cos 2a c b B ac
+-=，考
查正弦定理边角互换的灵活应用，考查根据等差中项的性质证明数列是等差数列，考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题.
4．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c .已知():():()4:5:6b c c a a b +++=，下列结论正确的是( ) A ．::7:5:3a b c = B ．0AC AB ⋅<
C ．
753
A B C
== D ．若8+=b c ，则ABC ∆面积是
4
【答案】ABD 【分析】
设4,5,6(0)b c k c a k a b k k +=+=+=>，求出a ,b ,c 的值，可得A ；由正弦定理，
sin :sin :sin ::7:5:3A B C a b c ==，可判定C ，由余弦定理1cos 2
A =-，cos 0AC A
B bc A ⋅=<
，可判定B ；由8+=b c ，结合A 结论，可计算b ,c , 1
sin 2
ABC S bc A ∆=，可判定D
【详解】
设4,5,6(0)b c k c a k a b k k +=+=+=>，则753
,,222
a k
b k
c k =
== ，故 ::7:5:3a b c =，即A 选项正确；
又222
2
2
2
259491444cos 5322222
k k k
b c a A bc k k +-+-=
==-⨯⨯，故cos 0AC AB bc A ⋅=<，B 选项正确；
由正弦定理，sin :sin :sin ::7:5:3A B C a b c ==，C 选项错误；
若8+=b c ，则2k =，故5,3,120o
b c A ===，所以1153
sin 2ABC S bc A ∆==
，D 选项正确 故选：ABD 【点睛】
本题考查了正弦定理、余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于较难题
5．已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛
⎫
=+>>< ⎪⎝
⎭
的部分图像如图所示，则下列
关于函数()f x 的说法中正确的是（ ）
A ．函数()f x 最靠近原点的零点为3
π
-
B ．函数()f x 的图像在y 3
C ．函数56
f x π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
是偶函数
D ．函数()f x 在72,3
ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递增 【答案】ABC 【分析】
首先根据图象求函数的解析式，利用零点，以及函数的性质，整体代入的方法判断选项. 【详解】
根据函数()()cos f x A x ωϕ=+的部分图像知，2A =， 设()f x 的最小正周期为T ，则24362
T πππ=-=，∴2T π=，21T π
ω==． ∵2cos 266f ππϕ⎛⎫⎛⎫
=+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，且2πϕ<，∴6πϕ=-， 故()2cos 6f x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
． 令()2cos 06f x x π⎛
⎫=-= ⎪⎝
⎭，得62x k πππ-=+，k Z ∈，
即23x k ππ=
+，k Z ∈，因此函数()f x 最靠近原点的零点为3
π
-，故A 正确；
由()02cos 6f π⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
()f x 的图像在y B 正确； 由()52cos 2cos 6
f x x x ππ⎛⎫
-
=-=- ⎪⎝
⎭
，因此函数56f x π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
是偶函数，故C 正确； 令226
k x k π
πππ-≤-
≤，k Z ∈，得52266
k x k ππ
ππ-
≤≤+，k Z ∈，此时函数()f x 单调递增，于是函数()f x 在132,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在137,63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，
故D 不正确． 故选：ABC ． 【点睛】
思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.
6．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫
=+>><
⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，下列说
法正确的是（ ）
A ．函数()y f x =的周期为π
B ．函数()y f x =在2,3
6ππ⎡⎤
-
-⎢⎥⎣⎦单调递减 C ．函数()y f x =的图象关于直线512
x π
=-对称 D ．该图象向右平移6
π
个单位可得2sin 2y x =的图象 【答案】ACD 【分析】
先根据图像求出()y f x =的解析式，再分别验证A 、B 、C 、D 是否正确. 对于A ：利用周期公式求周期；
对于B ：利用复合函数“同增异减”求单调区间； 对于C ：计算512f π⎛-
⎫
⎪⎝⎭
，看512x π=-是否经过顶点； 对于D ：利用“左加右减”判断. 【详解】
由图像可知：A =2，周期24,2312T T ππππω⎛⎫
=-=∴==
⎪⎝⎭
； 由=2sin 2212122f ππϕπ
ϕ⎧⎛⎫⎛⎫
⨯+= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪<⎪⎩
解得：3πϕ=
故函数()2sin 23f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
对于A ：4312T πππ⎛⎫
=-=
⎪⎝⎭
，故A 正确；
对于B ：当236x ππ-≤≤- 时203x ππ-≤+≤，所以()y f x =在2,36ππ⎡⎤
--⎢⎥⎣
⎦上不单调.故B 错误；
对于C ：当512
x π
=-
时255s 2121232in f ππ
π⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎭⎝-⎪
⎭
+⎝⨯，即直线512x π=-是()y f x =的一条对称轴.故C 正确；
对于D ：()y f x =向右平移6π
个单位得到2sin 222sin 263y x x ππ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝
⎭，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】
求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；
()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.
7．设M 、N 是函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象与直线2y =的交点，若M 、N 两点距离的最小值为6，1
,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
是该函数图象上的一个点，则下列说法正确的是（ ）
A ．该函数图象的一个对称中心是()7,0
B ．该函数图象的对称轴方程是1
32
x k =-+，Z k ∈ C ．()f x 在71,23⎡⎤
-
-⎢⎥⎣
⎦上单调递增 D ．()2cos 3
6x f x π
π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 【答案】ABD 【分析】
根据函数()f x 的基本性质求出函数()f x 的解析式，可判断D 选项的正误，利用余弦型函数的对称性可判断AB 选项的正误，利用余弦型函数的单调性可判断C 选项的正误. 【详解】
因为M 、N 是函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象与直线2y =的交点，
若M 、N 两点距离的最小值为6，则函数()f x 的最小正周期为6T =，
23
T ππω∴=
=， 所以，()2sin 3x f x πϕ⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
， 将点P 的坐标代入函数()f x 的解析式，可得12sin 226f πϕ⎛⎫⎛
⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则
sin 16πϕ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭.
0ϕπ<<，56
6
6π
π
πϕ∴-
<-
<
，则62
ππ
ϕ-=，23πϕ∴=，
()22sin 2sin 2cos 333623
6f x x x x π
πππππ
π⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+
=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 选项正确；
对于A 选项，()7572cos 2cos 0362f πππ⎛⎫
=+== ⎪⎝⎭
，A 选项正确； 对于B 选项，由
()36x k k Z ππ
π+
=∈，解得()1
32
x k k Z =-+∈， 所以，函数()f x 的图象的对称轴方程是1
32
x k =-+，k Z ∈，B 选项正确；
对于C 选项，当71,23x ⎡⎤
∈-
-⎢⎥⎣⎦
时，3618x ππππ-≤+≤，
所以，函数()f x 在区间71,23⎡⎤
--⎢⎥⎣
⎦上不单调，C 选项错误. 故选：ABD. 【点睛】
方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+或
()cos y A x ωϕ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+的单调区间，只
需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =或cos y x =的相应单调区间内即可，注意要先把
ω化为正数．
8．设函数()sin()(0)4
f x x π
ωω=+>，已知()f x 在[]02π，
有且仅有5个零点，则下列结论成立的有（ ）
A ．()1y f x =+在()02π，
有且仅有2个零点 B ．()f x 在023π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，单调递增
C ．ω的取值范围是192388⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
，
D ．将()f x 的图象先右移
4
π
个单位，再纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，得到函数1
()sin()2
g x x ω=
【答案】BC 【分析】
首先利用图象直接判断A 选项；再利用函数()f x 在[]02π，
有且仅有5个零点，求得ω的范围，并利用整体代入的方法判断B 选项；最后利用图象的变换规律，求得变换之后的解析式，判断D. 【详解】
A.如图，[]0,2π上函数仅有5个零点，但有3个最小值点，这3个最小值点就是
()1y f x =+在()0,2π上的3个零点；
B.[]
0,2x π∈时，,2444t x π
π
πωωπ⎡⎤=+∈⋅+⎢⎥⎣⎦ 若函数()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，
则5264
π
πωππ≤⋅+
<，得
192388ω≤<，当023x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，时，,448t x πππω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，
此时函数单调递增，故BC 正确； D. 函数()f x 的图象先右移
4
π
个单位后得到sin sin 4444y x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，再将横坐标扩大为原来的2倍，得到
()1
sin 244g x x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭，故D 不正确；
故选：BC 【点睛】
关键点点睛：本题的关键是求出ω的取值范围，首先根据函数在区间[]0,2π有5个零点，首先求4
t x π
ω=+
的范围，再分析sin y t =的图象，求得ω的范围.
9．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知
()()(::5:)4:6b c c a a b +++=，下列结论正确的是（ ）
A ．::7:5:3sinA sin
B sin
C =
B ．0AB A
C ⋅>
C ．若6c =，则ABC 的面积是
D ．若8+=b c ，则ABC 的外接圆半径是
3
【答案】ACD
【分析】
先利用已知条件设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，进而得到3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，利用正弦定理可判定选项A ；利用向量的数量积公式可判断选项B ；利用余弦定理和三角形的面积公式可判定选项C ；利用余弦定理和正弦定理可判断选项D.
【详解】
依题意，设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，
所以 3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，
由正弦定理得：::::7:5:3sinA sinB sinC a b c ==，
故选项A 正确；
222222
cos 22
b c a b c a AB AC bc A bc bc +-+-⋅==⨯= 222
222.5 1.5 3.515028
k k +-==-<， 故选项B 不正确；
若6c =，则4k =，
所以14,10a b ==， 所以222106141cos 21062
A +-==-⨯⨯，
所以sin A =，
故ABC 的面积是：
11sin 61022bc A =⨯⨯= 故选项C 正确；
若8+=b c ，则2k =，
所以7,5,3a b c ===， 所以2225371cos 2532
A +-==-⨯⨯，
所以sin A =， 则利用正弦定理得：
ABC 的外接圆半径是：12sin a A ⨯=， 故选项D 正确；
故选：ACD.
【点睛】
关键点睛：本题主要考查正余弦定理以及三角形面积公式. 利用已知条件设
4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，再利用正余弦定理以及三角形面积公式求解是解决本题的关键.
10．已知函数()26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为π
B ．函数()f x
C ．函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭
对称 D ．函数()f x 的图象关于直线712x π=
对称 【答案】BD
【分析】
首先要熟悉()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象和性质，将()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，可以得到函数()f x 的图象，并判断选项.
【详解】
由题意，将()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，可以得到函数()f x 的图象，故函数()f x 的最小正周期为
2
π，故A 错误；
函数()f x B 正确；
函数()f x 的图象是由()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，所以不是中心对称图形，故C 错误； 由7012f π
⎛⎫= ⎪⎝⎭
知D 正确， 故选：BD .
【点睛】
思路点睛：要判断函数()f x 的性质，需先了解函数()26g x x π⎛⎫=
- ⎪⎝⎭的性质，并
且知道函数()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，可以得到函数()f x 的图象，函数的周期变为原来的一半，()g x 的对称轴和对称中心都是函数()f x 的对称轴.。