动态电路的方程及其解

iL(0+) = iL(0-) = IS uC(0+) = uC(0-) = RIS
满足非齐次方程的 特解
对于
dy(t) dt + a0 y(t) = b0 f (t)
特征方程为：s+ a0 =0， 特征根 s=- a0 ， 故齐次解为
yh(t)=Kest= Ke - a0 t
（ K为待定常数，由初始条件确定）
而特解与激励有相似的形式。
2
对于 dy (t) + (2) 求齐次解uCh。 2 dt 而特解与激励有相似的形式。
4、 稳态分析和动态分析的区别
稳态
动态
换路发生很长时间
换路刚发生
IL、 UC (U C、 IL) 不变
iL 、 uC 随时间变化
代数方程组描述电路
微分方程组描述电路
三、 固有响应和强迫响应、暂态响应和稳态响应
如果将独立源(uS和iS)作为激励， 用f(t)表示， 把电路变量 (u或i)作为响应，用y(t)表示，则描述一阶和二阶动态电路的方 程的一般形式可分别写为(有时等号右端还有f(t)的导数)
+
40k
- 10V
uC
-
例1 + i 10k
+
- 10V
40k
k iC
uC
-
求 iC(0+)
uC(0-)=8V (2) 由换路定律
uC (0+) = uC (0-)=8V
(3) 由0+等效电路求 iC(0+)
+ i 10k - 10V
+
8V
iC
-
0+等效电路
iC(0+)=110-08=0.2mA
iC(0--)=0 iC(0+)
a1
dy(t) dt
+
a0
y(t)
=
b0
f
(t)
由换路前电路（稳定状态）求 uC(0-) 和 iL(0-)。
其齐次解y (t)的函数形式由其特征方程 s + a s+ a =0 yh(t)=Kest= Ke - a0 t
（ K为待定常数，由初始条件确定）
可解得K= 稳态
U0
-
US
，故得h完全解动为
态
2、 非独立初始值
除独立初始值uC(t0+ )、iL(t0+ )以外的各电流、 电压的初 始值，称为非独立初始值，可根据激励和已求得的独立初始 值求得。
方法：
采用替代定理 画出初始值等 效电路（0+等 值电路），再 采用求解电阻 电路的各种方 法求解。
(1) 由0-电路求 uC(0-)
+ 10k
dy(t) dt
+
a0
y(t)
=
b0
f
(t)
和
对于线性时不 变动态电路， a0、 a1 、 b0等 都是常数。
dy2 (t) dy(t) dt2 + a1 dt + a0 y(t) = b0 f (t)
线性常系数微分方程的解由两部分组成： y(t) = yh(t) + yp(t)
齐次方程的通解 （齐次解）
2、一阶电路：只有一个动态元件的电路， 其电路方程为一阶 微分方程， 故称为一阶电路。
3、n阶电路：含有n个独立的动态元件的电路， 其电路方程为n 阶微分方程， 称为n阶电路。
i(t) N1 uc C
N2
若给定初始条件以及t≥t0时的uoc(t)或 isc(t),便可由方程解得t≥t0时的uc(t) ,然后 用置换定理将电容置换为电压源求得所
可解得K= U0 - US ，故得完全解为
-t
uc (t) = (U0 - Us )e R C + Us
（t≥0）
固有响应
强迫响应
uC US
U0
强迫响应 全响应
0
t
U0-US
固有响应 U0<US
uC
U0
全响应
US U0-US
强迫响应 固有响应
0
t
U0>US
固有响应：决定于特征根， 仅 与电路的结构和元件的参数有 关，反映了电路的固有特征。
1、独立初始值——换路定律
电容电压和电感电流反映了电路储能的状况， 它们都具 有连续的性质。
设换路时刻为t=t0， 电容电流iC和电感电压uL 在t=t0时 为有限值，则换路前后瞬间电容电压uC和电感电流iL;是连续 的，即有
uC(t0+)= uC(t0-) iL(t0+)= iL (t0-)
上式称为换路定律。
i = 0 , uC = 0
所描述的线性时不变动态电路的方程是常系数线性微分方程，在求解常微分方程时，需要根据给定的初始条件确定解答中的待定常数。
第 12 讲动态电路的方程及其解 、电路的初始值
可解得K而= U特0 - U解S ，与故得激完全励解为有相似的形式。
表3 -2列出了常用激励形式与其所对应的特解Yp(t)。当特解形 式确定后，将其代入原微分方程，求出待定常数Ai，则特解 就确定了。
t
u( )d
-
=
iS
du 1 1 t
1
dt
+
u ————
RC
+ LC
u( )d
-
————
= C iS
d2u dt
+ 1 du ———— RC dt
1 + LC
u=
1
————
diS
C dt
is
iG
GC
iC
iL
L
u
建立动态方程的一般步骤是：
(1)
KCL或/和
KVL方程，写出各元件的伏安关
系；
(2) 在以上方程中消去中间变
例 3.2 –1 如图3.2 -3的RC电路，当t=0时开关闭合，若电容的 初始电压uC(0)=U0，电压源Us为常数，求t≥0时的uC (t)。
解： (1) 建立电路方程。当t>0时，开关已闭合，由KCL有
uR + uC = Us
由于i=iC=C du c
除以RC，
dt
故 uR =Ri=RC
du c ， 将它代入上式， 并 dt
dduct+R1Cuc =R1CUs
令τ=RC（称为时间常数）， 则
duc dt
+1uc
=1Us
(2) 求齐次解uCh。
duc dt
+1uc
=1Us
的特征方程为
s+1 =0
其特征根s= -1/τ， 故uC的齐次解为
uCh =Ke st
-t/
=Ke
(3) 求特解uCp。由于激励US为常数，故特解也是常数。
注意：与把完全响应分为固有响应和强迫响应不同， 将完全响应区分为暂态响应和稳态响应是从电路响应的波形上来观察的。
注意：与把完全响应分为固有响应和强迫响应不同， 将完全响应区分为暂态响应和稳态响应是从电路响应的波形上来观察的。
(2) 由换路定律
3、 换路时刻：闭合时刻在t=0进行
y(t) = yh(t) + yp(t)
3. 画0+等值电路。 电容（电感）用电压源（电流源）替代。 取0+时刻值，方向同原假定的电容电压、 电感电流方向。
4. 由0+电路求所需各变量的0+值。
例3
L iL
+ uL –
IS
R
K(t=0)
0+电路 IS
+ uL – R
iC+
C uC
–
iC + R IS –
求 iC(0+) , uL(0+)
令uCp =A，并将它代入电路方程， 得
故得uS 的特解
1
A
=
1
U
S
uCp (t)=A= US
(4) 求完全解。 电容电压的完全解为
-t/
uc(t)= uch(t)+ ucp(t)=Ke
+ US
（t≥0）
式中常数K由初始条件确定。 当t=0时， 由上式和给定的初始 电压，得
uc (0)=K+ US = U0
(K1+K2t)est
独立初始值与非独立初始值：n阶微分方程就需要n个初始条件，它们是所求变量(电压或电流)及其1， 2， …， (n-1)阶导数在t=0+时的
值(设换路时刻t=t0=0)， 也称为初始值。
uc(t)= uch(t)+ ucp(t)=Ke + US
（t≥0
uR + uC = Us
y(t) = yh(t) + yp(t)
有的电压、电流。
uR0(t)
R0
i(t)
uoc(t) uc(t) C
uR0 (t) + uc (t) = uoc (t)
R0C
duc dt
+ uc (t)
=
uoc (t)
i(t)
isc(t)
G0 uc(t) C
C
duc dt
+ G0uc (t)
=
isc (t)
对于电感同理可得：
L
diL dt
+
R0iL43;电路 1
10V
4
+
L uL
iL -
4
+
2A uL
-
t = 0时闭合开关k , 求 uL(0+)
u L ( 0 - ) = 0 u L ( 0 + ) = 0
iL(0+)= iL(0-) =2A
u L (0 + )= - 2 4= - 8 V
求初始值的步骤 1. 由换路前电路（稳定状态）求 uC(0-) 和 iL(0-)。 2. 由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。
2
1
0
的根
(即特征根) s 、 t=0_，开关未合上但将合上的瞬间
t = 0时闭合开关k , 求 uL(0+) 1
s2确定。
表3
-
1中列出了特征根s1
、
s2为不同
取值时的相应齐次解。 由于i=iC=C 故 uR =Ri=RC
(2) 求齐次解uCh。
， 将它代入上式， 并除以RC
除独立初始值uC(t0+ )、iL(t0+ )以外的各电流、 电压的初始值，称为非独立初始值，可根据激励和已求得的独立初始值求得。
第 12 讲动态电路的方程及其解 、电路的初始值
一、动态电路方程
1、动态电路方程：在 动态电路中， 除有电阻、 电源外， 还有动 态元件(电容、电感)，而动态元件的电流与电压的约束关系是导 数与积分关系， 因此根据KCL 、KVL和元件的VCR所建立的电 路方程是以电流、电压为变量的微分方程或微分—积分方程。 如 果电路中的无源元件都是线性时不变的，那么动态电路方程是线 性常系数微分方程。
4、 稳态分析和动态分析的区别
当换路时，如果接入的激励为直流或周期信号(如正弦信号、方波信号等)， 可将完全响应区分为暂态响应和稳态响应。
若给定初始条件以及t≥t0时的uoc(t)或isc(t),便可由方程解得t≥t0时的uL(t) ,然后用置换定理将电感置换为电流源求得所有的电压、电流。
uC (0+) = uC (0-)=8V 当t=0时， 由上式和给定的初始电压，得 取0+时刻值，方向同原假定的电容电压、
= uoc (t)
G0 L
diL dt
+ iL
=
isc (t)
uR0(t)
uoc(t)
R0 uL(t)
+
i(t)
L
-
若给定初始条件以及t≥t0时的uoc(t)或
i(t)
isc(t),便可由方程解得t≥t0时的uL(t) , 然后用置换定理将电感置换为电流
isc(t)
G0
L uL(t)
源求得所有的电压、电流。
独立初始值与非独立初始值：n阶微分方程就需要n个初始条件， 它们是所求变量(电压或电流)及其1， 2， …， (n-1)阶导数在 t=0+时的值(设换路时刻t=t0=0)， 也称为初始值。其中电容电压 和电感电流的初始值uC(0+)和iL(0+)由初始储能决定，称为独立 的初始值或初始状态， 其余各变量(如iC ， uL， iR ， uR等)的 初始值称为非独立的初始值，它们将由激励(电压源或电流源)以 及独立初始值uC (0+)和iL (0+)来确定。
换路： 电路中开关的闭合、断开 或电路参数突然变化统称 为换路。
使电路由原来的工作 状态转变到另一个工 作状态（稳态）
3、 换路时刻：闭合时刻在t=0进行
U∴s 换路tK经=a历0b的R时间u–+C为i t=C0_到tt==t00=_+0，，+ 开开关关U合未ab 上合= 但上U0刚但s 刚将合合tt≥≤上上00+_的的瞬瞬间间
二阶电路
量，得到所需变量的微分方程。
二. 电路的过渡过程（是动态电路的一个特征）
1、过渡过程： 电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经历的过程。
t=0
i
R+
Us
K
uC C
–
K未动作前
i = 0 , uC = 0
i
R+
K接通电源后很长时间
Us
uC C
–
i = 0 , uC= Us
2、过渡过程产生的原因
注意：与把完全响应分为固有响应和强迫响应不同， 将完全响 应区分为暂态响应和稳态响应是从电路响应的波形上来观察的。 当换路时，如果接入的激励为直流或周期信号(如正弦信号、方 波信号等)， 可将完全响应区分为暂态响应和稳态响应。否则无 意义。
四、电路的初始值
所描述的线性时不变动态电路的方程是常系数线性微分方 程，在求解常微分方程时，需要根据给定的初始条件确定解答 中的待定常数。
状态变量：电容电压和电感电流 状态变量：指一组最少的变量，若已知它们在t0时的数值（初 始条件），则连同所有在t≥t0时的输入就能确定在t≥t0时电路中 的任何电路变量。
iC+ iG + iL= iS
iC = c du dt
iG = G u
iL = 1 t u ( )d
L -
c du dt
1 +Gu+ L
强迫响应：是外部激励作用的 结果， 它与激励有相同的函数 形式。
暂态响应和稳态响应
-t
uc (t) = (U0 - Us )e R C + Us
（t≥0）
按指数规律衰减，当t趋近 于无限大时， 该项衰减为 零， 称为暂态响应
任何时刻都保持稳定， 它是t趋近于无限大时， 暂态响应衰减为零时的 响应，称为稳态响应