高一数学 寒假作业 第10天 直线的方程 新人教A版
高中数学人教A版选择性必修一10直线的方程
课题直线的方程 课型 新授课 课时 2课时 学习目标1. 理解直线方程的点斜式、斜截式、两点式、一般式的形式特点和适用范围； 2、能正确和灵活利用直线的方程解决问题； 重点、难点 理解直线方程的特点和适用范围；能正确和灵活利用直线的方程解决问题；学科核心素养数学抽象：几何元素方程化。
（一）点斜式、斜截式新课预习预习课本59-61页，回答下列问题：1、 前课回顾：1） 简述在直角坐标系内确定一条直线的几何要素。
2）已知直线1l 、2l 都有斜率，如果21//l l ，则__________________；如果21l l ⊥，则___________3）若三点)1,3(A ，),2(k B -，)11,8(C 在同一直线上，则k 的值为___________2、直线方程的点斜式已知直线经过点，且斜率为，则方程 为直线的点斜式方程思考1：直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？⑴ x 轴所在直线的方程是 ，y 轴所在直线的方程是⑵ 过点且平行于x 轴（即垂直于 y 轴）的直线方程是⑶经过点 且平行于y 轴（即垂直于 x 轴）的直线方程是3、直线方程形式之斜截式思考2：已知直线的斜率为，且与 y 轴的交点为 ，求直线的方程。
已知直线 与 y 轴交点的纵坐标叫做直线在y 轴上的截距 , 斜率为， 则方程 叫做直线的斜截式方程。
斜截式方程的适用范围_________新课导学例1 1） 求经过点，且与直线平行的直线方程，并画出直线2） 直线l 经过)3,2(0-P ，且倾斜角︒=45α，求直线l 的点斜式方程，并画出直线l例2 已知直线l 1：y = k 1 + b 1，l 2：y 2 = k 2 x + b 2 . 试讨论：（1）l 1∥l 2的条件是什么？（2）l 1⊥l 2的条件是什么？，则且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线的条数有______且满足3a b =。
直线的方程(含3课时)(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)
1
4 3
练习2.经过P(4,0), Q(0,3)两点的直线方程是__________
.
x y
3 .
练习3.直线 1在y轴上的截距是_____
5 3
x y
12 .
练习4.直线 1与两坐标轴围成的三角形的周长是_____
3 4
x
y
1
3 5
练习5.过点(0,5)，且在两坐标轴上的截距之和是2的直线l的方程是_________.
7
4.直线的截距式方程
y y1
x x1
过点P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )的直线l的两点式方程:
y2 y1 x2 x1
y b x0
过点A(a,0), B(0, b)的直线l的两点式方程为__________
0 b a ___
0 .
x y
0b
点B关于x轴的对称点为B1 (1,6),
y 6 x 1
则入射光线所在直线方程AB1为
,
2 6 3 1
即2 x y 4 0.
y6
x 1
反射光线所在直线方程A1 B为
,
2 6 3 1
即2 x y 4 0.
【小结】直线方程的选择技巧
(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他
(点斜式)斜率k
3, l : y 2 3( x 1), 即y 3x 5
1 ( 3)
k b 2
k 3
l : y 3x 5
(斜截式)设y kx b, 两点代入得
高中数学《直线的方程》教案新人教A版必修
直线方程的一般形式一、教学目标(一)知识教学点掌握直线方程的一般形式，能用定比分点公式设点后求定比．(二)能力训练点通过研究直线的一般方程与直线之间的对应关系，进一步强化学生的对应概念；通过对几个典型例题的研究，培养学生灵活运用知识、简化运算的能力．(三)学科渗透点通过对直线方程的几种形式的特点的分析，培养学生看问题一分为二的辩证唯物主义观点．二、教材分析1．重点：直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性，只有直线的一般式能表示所有的直线，教学中要讲清直线与二元一次方程的对应关系．2．难点：与重点相同．3．疑点：直线与二元一次方程是一对多的关系．同条直线对应的多个二元一次方程是同解方程．三、活动设计分析、启发、讲练结合．四、教学过程(一)引入新课点斜式、斜截式不能表示与x轴垂直的直线；两点式不能表示与坐标轴平行的直线；截距式既不能表示与坐标轴平行的直线，又不能表示过原点的直线．与x轴垂直的直线可表示成x=x0，与x轴平行的直线可表示成y=y0。
它们都是二元一次方程．我们问：直线的方程都可以写成二元一次方程吗？反过来，二元一次方程都表示直线吗？(二)直线方程的一般形式我们知道，在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α．当α≠90°时，直线有斜率，方程可写成下面的形式：y=kx+b当α=90°时，它的方程可以写成x=x0的形式．由于是在坐标平面上讨论问题，上面两种情形得到的方程均可以看成是二元一次方程．这样，对于每一条直线都可以求得它的一个二元一次方程，就是说，直线的方程都可以写成关于x、y的一次方程．反过来，对于x、y的一次方程的一般形式Ax+By+C=0．(1)其中A、B不同时为零．(1)当B≠0时，方程(1)可化为这里，我们借用了前一课y=kx+b表示直线的结论，不弄清这一点，会感到上面的论证不知所云．(2)当B=0时，由于A、B不同时为零，必有A≠0，方程(1)可化为它表示一条与y轴平行的直线．这样，我们又有：关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．引导学生思考：直线与二元一次方程的对应是什么样的对应？直线与二元一次方程是一对多的，同一条直线对应的多个二元一次方程是同解方程．(三)例题解：直线的点斜式是化成一般式得4x+3y-12=0．把常数次移到等号右边，再把方程两边都除以12，就得到截距式讲解这个例题时，要顺便解决好下面几个问题：(1)直线的点斜式、两点式方程由于给出的点可以是直线上的任意点，因此是不唯一的，一般不作为最后结果保留，须进一步化简；(2)直线方程的一般式也是不唯一的，因为方程的两边同乘以一个非零常数后得到的方程与原方程同解，一般方程可作为最终结果保留，但须化为各系数既无公约数也不是分数；(3)直线方程的斜截式与截距式如果存在的话是唯一的，如无特别要求，可作为最终结果保留．例2 把直线l的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率和在x轴与y轴上的截距，并画图．解：将原方程移项，得2y=x+6，两边除以2得斜截式：x=-6根据直线过点A(-6，0)、B(0，3)，在平面内作出这两点连直线就是所要作的图形(图1-28)．本例题由学生完成，老师讲清下面的问题：二元一次方程的图形是直线，一条直线可由其方向和它上面的一点确定，也可由直线上的两点确定，利用前一点作图比较麻烦，通常我们是找出直线在两轴上的截距，然后在两轴上找出相应的点连线．例3 证明：三点A(1，3)、B(5，7)、C(10，12)在同一条直线上．证法一直线AB的方程是：化简得 y=x+2．将点C的坐标代入上面的方程，等式成立．∴A、B、C三点共线．∴A、B、C三点共线．∵|AB|+|BC|=|AC|，∴A、C、C三点共线．讲解本例题可开拓学生思路，培养学生灵活运用知识解决问题的能力．例4 直线x+2y-10=0与过A(1，3)、 B(5，2)的直线相交于C，此题按常规解题思路可先用两点式求出AB的方程，然后解方程组得到点C的坐标，再求点C分AB所成的定比，计算量大了一些．如果先用定比分点公式设出点C的坐标(即满足点C 在直线AB上)，然后代入已知的直线方程求λ，则计算量要小得多．代入x+2y-10=0有：解之得λ=-3．(四)课后小结(1)归纳直线方程的五种形式及其特点．(2)例4一般化：求过两点的直线与已知直线(或由线)的交点分以这两点为端点的有向线段所成定比时，可用定比分点公式设出交点的坐标，代入已知直线(或曲线)求得．五、布置作业1．(1．6练习第1题)由下列条件，写出直线的方程，并化成一般式：(2)经过点B(4，2)，平行于x轴；(5)经过两点P1(3，-2)、P2(5，-4)；(6)x轴上的截距是-7，倾斜角是45°．解：(1)x+2y-4=0； (2)y-2=0； (3)2x+1=0；(4)2x-y-3=0； (5)x+y-1=0； (6)x-y+7=0．3．(习题二第8题)一条直线和y轴相交于点P(0，2)，它的倾斜角4．(习题二第十三题)求过点P(2，3)，并且在两轴上的截距相等的直线方程．5．(习题二第16题)设点P(x0，y0)在直线As+By+C=0上，求证：这条直线的方程可以写成A(x-x0)+B(y-y0)=0．证明：将点P(x0，y0)的坐标代入有C=-Ax0-By0，将C代入Ax+By+C=0即有A(x-x0)+B(y-y0)=0．6．过A(x1，y1)、B(x2，y2)的直线交直线l：Ax+By+C=0于C，六、板书设计[此文档可自行编辑修改，如有侵权请告知删除，感谢您的支持，我们会努力把内容做得更好]。
人教A版高中数学《直线的方程》PPT课件1
化成一般式，得 4x+3y – 12=0
截距式是： x y 1 34
巩固训练（一）
若直线l在x轴上的截距-4时，倾斜角的余弦值
是-3/5，
y 4(x4)
则直线l的点斜式方程是_______3____
y 4 x 16
直线l的斜截式方程是_______3____3
答：B≠0时，k= -A/B；B=0时，斜率不存在；
②系数取什么值时，方程表示通过原点的直 线？
答：C=0时，表示直线过原点。
人教A版高中数学《直线的方程》PPT 课件1
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⒊求下列直线的斜率和在Y轴上的截距，并 画出图形：
①3x+y-5=0 ①k= - 3，B=5；
5
m3,m
3
(2)由题意得
m2 2m3 2m2 m31
m 2 2 m 3 (2 m 2 m 1 ) 0
解得 m1或m4 3
人教A版高中数学《直线的方程》PPT 课件1
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巩固训练（三）
1、若直线（2m2-5m-3)x-(m2-9)y+4=0的倾
斜角为450，则m的值是
结论:(1)直线方程都是关于x,y的二元一次方程 （2）关于x,y的二元一次图象又都是一条直线。 我们把方程Ax+By+c=0（A，B不同时为零）叫做
直线方程的一般式。所以直线和二元一次方程是 一一对应。
例1：已知直线经过点A（6，- 4），斜率 为 – 4/3，求直线的点斜式、一般式和截距 式方程。 解：经过点A（6，- 4）并且斜率等于- 4/3 的直线方程的点斜式是
2018年高一数学寒假作业(人教A版必修2)直线的倾斜角与斜率、直线方程word版含答案
2018年高一数学寒假作业（人教A 版必修2）直线的倾斜角与斜率、直线方程(时间：40分钟)一、选择题1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( )A.π6B.π3C.2π3D.5π62．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是( )A ．m ≠－32 B ．m ≠0 C ．m ≠0且m ≠1D ．m ≠13．(2016·德州一模)已知p ：“直线l 的倾斜角α>π4”；q ：“直线l 的斜率k >1”，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( )A ．ab >0，bc <0B ．ab >0，bc >0C ．ab <0，bc >0D ．ab <0，bc <05．两直线x m －y n ＝a 与x n －ym ＝a (其中a 为不为零的常数)的图象可能是( )6．(2017·西安模拟)若ab <0，则过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1b 与Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，0的直线PQ 的倾斜角的取值范围是A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πC.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0 7．若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( )A ．(1，－2)B ．(1,2)C ．(－1,2)D ．(－1，－2)8．设点A (－2,3)，B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，43 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－43∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ 二、填空题9．过点P (2,3)，并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程是________________。
高中数学第二章直线和圆的方程直线的一般式方程课后习题新人教A版选择性必修第一册
2.2.3 直线的一般式方程A级必备知识基础练1.两直线3x+y-a=0与3x+y-1=0的位置关系是()A.相交B.平行C.重合D.平行或重合2.直线l的方程为Ax+By+C=0,若直线l过原点和二、四象限,则()A.C=0,B>0B.A>0,B>0,C=0C.AB<0,C=0D.AB>0,C=03.已知直线ax+4y-2=0与2x-5y+b=0互相垂直,垂足为(1,c),则a+b+c的值为()A.-4B.20C.0D.244.已知点M(1,2)在直线l上的射影是H(-1,4),则直线l的方程为()A.x-y+5=0B.x-y-3=0C.x+y-5=0D.x-y+1=05.如图所示,直线l的方程为Ax+By+C=0,则()A.AB>0,BC<0B.AB<0,BC>0C.AB>0,BC>0D.AB<0,BC<06.(多选题)直线l1:ax-y+b=0与直线l2:bx+y-a=0(ab≠0)的图象可能是()7.若直线l的方程为y-a=(a-1)(x+2),且l在y轴上的截距为6,则a=.8.直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求a的值;(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.B级关键能力提升练9.已知线段AB的中垂线方程为x-y-1=0且A(-1,1),则B点坐标为()A.(2,-2)B.(-2,2)C.(-2,-2)D.(2,2)10.直线l1:(a+3)x+y+4=0与直线l2:x+(a-1)y+4=0垂直,则直线l1在x轴上的截距是()A.-4B.-2C.2D.411.已知a≠0,直线ax+(b+2)y+4=0与直线ax+(b-2)y-3=0互相垂直,则ab的最大值为()A.0B.2C.4D.√212.(多选题)三条直线x+y=0,x-y=0,x+ay=3围成一个三角形,则a的取值可以是()A.-1B.1C.2D.513.垂直于直线3x-4y-7=0,且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线l的方程为.C级学科素养创新练14.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,2),B(-2,0),C(1,0),分别以AB,AC为边向外作正方形ABEF与ACGH,则直线FH的一般式方程为.2.2.3直线的一般式方程1.D2.D直线l过原点,所以C=0,方程可化为y=-AB x,直线过二、四象限,所以斜率k=-AB<0,∴AB>0.3.A∵直线ax+4y-2=0与2x-5y+b=0互相垂直,∴2a-20=0,解得a=10.将(1,c)分别代入两直线的方程得c=-2,b=-12.∴a+b+c=-4.4.A∵k MH=4-2-1-1=-1,∴直线l的斜率k=1,∴直线l的方程为y-4=x+1,即x-y+5=0.5.B由题图知,直线l的倾斜角为锐角,则其斜率k=-AB>0,于是AB<0;直线l与y轴的交点在y轴负半轴上,则直线l在y轴上的截距b=-CB<0,于是BC>0.6.BC l1:y=ax+b,l2:y=-bx+a.在A中,由l1知a>0,b<0,则-b>0,与l2的图象不符;在B中,由l1知a>0,b>0,则-b<0,与l2的图象相符; 在C中,由l1知a<0,b>0,则-b<0,与l2的图象相符; 在D中,由l1知a>0,b>0,与l2的图象不符.7.83令x=0,得y=(a-1)×2+a=6,解得a=83.8.解(1)当直线过原点时,该直线在x轴和y轴上的截距为零,此时a=2,即l的方程为3x+y=0;若a≠2,则a-2a+1=a-2,即a+1=1,所以a=0,即l的方程为x+y+2=0.所以a的值为0或2.(2)直线l的方程化为a(x-1)+(x+y+2)=0,l恒过定点(1,-3),所以当斜率-(a+1)≥0,即a≤-1时,l不经过第二象限.故a的取值范围是(-∞,-1].9.A设B的坐标为(a,b),由题意可知{b-1a+1×1=-1,a-1 2-b+12-1=0,解得a=2,b=-2,所以B点坐标为(2,-2).故选A.10.B∵直线l1:(a+3)x+y+4=0与直线l2:x+(a-1)y+4=0垂直,∴(a+3)×1+1×(a-1)=0,∴a=-1, ∴直线l1:2x+y+4=0,令y=0,可得x=-2,∴直线l1在x轴上的截距是-2,故选B.11.B由两直线互相垂直知,a2+(b+2)(b-2)=0,∴a2+b2=4.又a2+b2≥2ab,∴ab≤2,当且仅当a=b=±√2时,等号成立.∴ab的最大值为2.故选B.12.CD直线x+y=0,x-y=0都经过原点,而无论a为何值,直线x+ay=3总不能经过原点,故只需直线x+ay=3与另两条直线均不平行即可,即a≠±1.13.4x+3y-12=0或4x+3y+12=0由题意可设与直线3x-4y-7=0垂直的直线的方程为4x+3y+c=0(c≠0),令y=0,得x=-c 4,令x=0,得y=-c3,则S=12|-c 4|·|-c3|=6,得c 2=122,c=±12,∴直线l 的方程为4x+3y-12=0或4x+3y+12=0.14.x+4y-14=0 过点H ,F 分别作y 轴的垂线,垂足分别为M ,N (图略). ∵四边形ACGH 为正方形, ∴Rt △AMH ≌Rt △COA. ∵OC=AM=1,MH=OA=2, ∴OM=OA+AM=3,∴点H 的坐标为(2,3),同理,得F (-2,4), ∴直线FH 的方程为y -34-3=x -2-2-2,∴直线FH 的一般式方程为x+4y-14=0.。
高中数学(人教A版)选择性必修一课后习题：直线的点斜式方程(课后习题)【含答案及解析】
直线的方程直线的点斜式方程 课后篇巩固提升必备知识基础练1.直线y-4=-√3(x+3)的倾斜角和所经过的定点分别是( )A.30°,(-3,4)B.120°,(-3,4)C.150°,(3,-4)D.120°,(3,-4)k=-√3,过定点(-3,4).2.过点(0,1)且与直线y=12(x+1)垂直的直线方程是 ( )A.y=2x-1B.y=-2x-1C.y=-2x+1D.y=2x+1y=12(x+1)垂直的直线斜率为-2,又过点(0,1),所以所求直线方程为y=-2x+1,故选C .3.直线y=ax+1a(a ≠0)的图形可能是( )y=ax+1a(a ≠0)的斜率是a ,在y 轴上的截距是1a.当a>0时,直线在y 轴上的截距1a>0,此时直线y=ax+1a 过第一、二、三象限;当a<0时,直线在y 轴上的截距1a <0,此时直线y=ax+1a 过第二、三、四象限,只有选项B 符合.4.斜率为2的直线经过(3,5),(a ,7)两点,则a= .(3,5),斜率为2的直线的点斜式方程为y-5=2(x-3),将(a ,7)代入y-5=2(x-3),解得a=4.5.直线l 与直线y=-x+2垂直,且它在y 轴上的截距为4,则直线l 的方程为 .l 的方程为y=x+m ,又它在y 轴上的截距为4,∴m=4,∴直线l 的方程为y=x+4.46.已知直线l 的斜率为16,且和两坐标轴围成面积为3的三角形,则直线l 的斜截式方程为 .l 的方程为y=16x+b (b ≠0).当x=0时,y=b ;当y=0时,x=-6b.由题意可得12·|b|·|-6b|=3,即6|b|2=6,解得b=±1.故直线l 的方程为y=16x+1或y=16x-1. y=16x+1或y=16x-17.已知△ABC 的顶点坐标分别是A (-5,0),B (3,-3),C (0,2),试求这个三角形的三条边所在直线的点斜式方程.AB 的斜率k AB =-3-03-(-5)=-38,且直线AB 过点A (-5,0),∴直线AB 的点斜式方程为y=-38(x+5),同理:k BC =2+30-3=-53,k AC =2-00+5=25,∴直线BC 的点斜式方程为 y-2=-53x 或y+3=-53(x-3), 直线AC 的点斜式方程为 y-2=25x 或y=25(x+5). 8.已知直线l :y=kx+2k+1.(1)求证:对于任意的实数k ,直线l 恒过一个定点;(2)当-3<x<3时,直线l 上的点都在x 轴的上方,求实数k 的取值范围.y=kx+2k+1,得y-1=k (x+2),从而直线l 恒过定点(-2,1).f (x )=kx+2k+1,由题意可得{f (-3)≥0,f (3)≥0,即{-3k +2k +1≥0,3k +2k +1≥0,解得-15≤k ≤1.所以实数k 的取值范围是[-15,1].关键能力提升练9.将直线y=√3(x-2)绕点(2,0)按逆时针方向旋转60°后所得直线方程是( ) A.y=-√3x+2√3 B.y=√3x+2√3 C.y=-√3x-2√3D.y=√3x-2√3直线y=√3(x-2)的倾斜角是60°,∴按逆时针旋转60°后的直线的倾斜角为120°,斜率为-√3,且过点(2,0). ∴其方程为y-0=-√3(x-2),即y=-√3x+2√3.10.以A (2,-5),B (4,-1)为端点的线段的垂直平分线方程是( ) A.y=2x+9 B.y=-12x+32C.y=2x-9D.y=-12x-32A (2,-5),B (4,-1),知线段AB 中点坐标为P (3,-3),又由斜率公式可得k AB =-1-(-5)4-2=2,所以线段AB 的垂直平分线的斜率为k=-1k AB =-12,所以线段AB 的垂直平分线的方程为y-(-3)=-12(x-3),即y=-12x-32.故选D .11.若y=a|x|与y=x+a (a>0)的图象有两个交点,则a 的取值范围是( ) A.(1,+∞) B.(0,1) C.⌀D.(0,1)∪(1,+∞)(a>0)表示斜率为1,在y 轴上的截距为a (a>0)的直线,y=a|x|表示关于y 轴对称的两条射线.根据题意画出大致图象,如图.若y=a|x|与y=x+a 的图象有两个交点,且a>0,则根据图象可知a>1.故选A .12.(多选题)在同一直角坐标系中,能正确表示直线y=ax 与y=x+a 大致图象的是( )13.已知直线l 过点P (-2,0),直线l 与坐标轴围成的三角形的面积为10,则直线l 的方程为 .l 在y 轴上的截距为b ,则由已知得12×|-2|×|b|=10,b=±10.①当b=10时,直线过点(-2,0),(0,10),斜率k=10-00-(-2)=5. 故直线的斜截式方程为y=5x+10.②当b=-10时,直线过点(-2,0),(0,-10),斜率k=-10-00-(-2)=-5. 故直线的斜截式方程为y=-5x-10.综合①②可知,直线l 的方程为y=5x+10或y=-5x-10.5x+10或y=-5x-1014.(2020广东广州二中高二上期中)已知直线l :kx-y+2+4k=0(k ∈R ). (1)若直线l 不经过第四象限,求k 的取值范围;(2)若直线l 交x 轴的负半轴于点A ,交y 轴的正半轴于点B ,O 为坐标原点,设△AOB 的面积为S ,求S 的最小值及此时直线l 的方程.直线l 的方程可化为y=kx+2+4k ,则直线在y 轴上的截距为4k+2,要使直线l 不经过第四象限,需满足{k ≥0,4k +2≥0,解得k ≥0,故k 的取值范围是[0,+∞).(2)依题意,直线l 在x 轴上的截距为-4k+2k ,在y 轴上的截距为4k+2,且k>0,所以A (-4k+2k,0),B (0,4k+2),故S=12|OA|×|OB|=2(2k+1)2k =2(4k +1k +4)≥2×(4+4)=16,当且仅当4k=1k ,即k=12时,等号成立.故S 的最小值为16,此时直线l 的方程为y=12x+4.学科素养创新练15.有一个既有进水管又有出水管的容器,每单位时间进出的水量是一定的,设从某时刻开始10分钟内只进水、不出水,在随后的30分钟内既进水又出水,得到时间x (单位:分钟)与水量y (单位:升)之间的关系如图所示,若40分钟后只放水不进水,求y 与x 的函数关系.0<x<10时,直线段过点O (0,0)和A (10,20).所以k OA =2010=2,此时方程为y=2x.当10≤x ≤40时,直线段过点A (10,20)和B (40,30),所以k AB =30-2040-10=13.此时方程为y-20=13(x-10),即y=13x+503.当x>40时,由物理知识可知,直线的斜率就是相应进水或放水的速度.设进水速度为v 1,放水速度为v 2,当0≤x ≤10时,是只进水过程,所以v 1=2,当10<x ≤40时,是既进水又放水,所以此时速度为v 1+v 2=13,即2+v 2=13,所以v 2=-53.所以当x>40时,k=-53,又直线过点B (40,30).此时直线方程为y-30=-53(x-40),即y=-53x+2903.当y=0时,x=2905=58.此时,直线过点C (58,0),即第58分钟时水放完.综上所述可知,y={ 2x ,0≤x ≤10,13x +503,10<x ≤40,-53x +2903,40<x ≤58.。
《直线的方程》人教A版高中数学精美课件1
人 教 版 高 中 数学必 修二课 件：3. 2直线的 方程
类型一 直线的点斜式方程 【典例1】(1)经过点(4，-1)且平行于x轴的直线方 程为__________. (2)已知在△ABC中，A(1，-4)，B(2，6)， C(-2，0)，AD⊥BC于点D，求直线AD的方程.
3.2 直线的方程 3.2.1 直线的点斜式方程
主题1 直线方程的点斜式 如图:直线l过定点P0(x0，y0)且斜率为k，那么l上任一 点P(x，y)的坐标满足什么关系？通过这一关系进一步 说明了什么？
提示:由斜率公式得k= y
x
y x
0 0
，
即y-y0=k(x-x0).并且过
点P0(x0，y0)斜率为k的直线l上每一点的坐标都满足
人 教 版 高 中 数学必 修二课 件：3. 2直线的 方程
类型二 直线的斜截式方程 【典例2】已知直线l1的方程为y=-2x+3，l2的方程为 y=4x-2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求 直线l的斜截式方程.
人 教 版 高 中 数学必 修二课 件：3. 2直线的 方程
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【跟踪训练】 1.已知在△ABC中，A(1，-1)，B(2，2)，C(3，0)， 则AB边上的高线所在直线方程为__________.
人 教 版 高 中 数学必 修二课 件：3. 2直线的 方程
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高一数学寒假作业第10天直线的方程新人教A
第10天 直线的方程高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★☆☆☆典例在线倾斜角为60°，在y 轴上的截距为–1的直线方程是A ．310x y --=B ．310x y -+=C ．3310x y --=D ．3310x y +-=【参考答案】A【名师点睛】1．直线方程（1）点斜式：11()y y k x x -=-直线斜率k ，且过点()11,x y求直线的点斜式方程的步骤：①确定定点坐标；②求出直线的斜率；③代入公式，写出方程．特别提醒：斜率不存在时，过点00) (P x y ，的直线与x 轴垂直，直线上所有点的横坐标相等都为0x ，故直线方程为0x x =．（2）斜截式：y kx b =+，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b（3）两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,x y ，()22,x y ①方程也可写成221212y y x x y y x x --=--，两者形式有异但实质相同； ②当直线斜率不存在12()x x =或斜率为零12()y y =时，不能用两点式表示；③如果将直线两点式转化为：211211()()()()x x y y y y x x -=---，此时只要直线上两点不重合，都可以用它表示出来（即这个变形方程可以表示过任意已知两点的直线）．特别提醒：用直线的两点式表示方程时，一定要先确定直线的斜率存在且不为零，否则就需对直线的斜率进行探讨．（4）截矩式：1x y a b+=其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ，与y 轴交于点(0,)b ，即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b ．（5）一般式：0Ax By C ++=（A ，B 不全为0）．2．直线方程的选择：已知直线的斜率和直线上点的坐标时，选用点斜式；已知直线的斜率和在y 轴上的截距时，选用斜截式；已知直线上两点坐标时，选用两点式；已知直线在x 轴，y 轴上的截距时，选用截距式．3．直线系方程：即具有某一共同性质的直线（1）把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系．一般地，与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程都可表示为0Ax By m ++= (其中m 为参数且m ≠C )，然后依据题设中另一个条件来确定m 的值．（2）一般地，与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程都可表示为0Bx Ay m -+= (其中m 为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定m 的值．（3）当直线过定点000(,)P x y 时，我们可设直线方程为00()y y k x x -=-．由此方程可知，k 取不同的值时，它就表示不同的直线，且每一条直线都经过定点000(,)P x y ，当k 取遍所允许的每一个值后，这个方程就表示经过定点0P 的许多直线，所以把这个方程叫做过定点0P 的直线系方程．由于过点000(,)P x y 与x 轴垂直的直线不能被00()y y k x x -=-表示，因此直线系00()y y k x x -=- (k ∈R )中没有直线0x x =．学霸推荐1．若直线mx +y –1=0与直线x –2y +3=0平行，则m 的值为A ．12B ．12-C ．2D ．–22．下列直线中与直线2x +y +1=0垂直的一条是A ．2x –y –1=0B ．x –2y +1=0C ．x +2y +1=0D ．x +12y –1=0 3．直线2x +y +1=0的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则A ．k =2，b =1B ．k =–2，b =–1C ．k =–2，b =1D ．k =2，b =–14．直线2x +y –1=0在y 轴上的截距为A ．–2B ．–1C ．12-D ．15．在y 轴上的截距为–6，且与y 轴相交成60°角的直线方程是__________．6．直线l 过点P （–1，3）若直线l 的倾斜角为45°，求l 的方程．（用一般式表示）7．已知一条直线经过点()23P -，，Q （–1，0），求直线PQ 的方程．（用一般式表示）1．【答案】B【解析】∵直线mx +y –1=0与直线x –2y +3=0平行，∴它们的斜率相等，∴–m =12，∴m =–12，故选B ．4．【答案】D【解析】直线2x +y –1=0化为：y =–2x +1，可得直线2x +y –1=0在y 轴上的截距为1．故选D ．5．【答案】y =3x –6 【解析】与y 轴相交成60°角的直线的倾斜角为30°或150°．可得斜率为tan30°或tan150°．即斜率为3±．所以所求直线的方程为y=3±x–6．故答案为y=3±x–6．6．【答案】答案详见解析．【解析】若直线l的倾斜角为45°，则斜率为tan45°=1，又因为直线l过点P（–1，3）由直线方程的点斜式，得l的方程为y–3=1×（x+1），整理为一般式，得x–y+4=0．。
新人教版高一数学寒假作业(25)直线的方程含答案
寒假作业（25）直线的方程1、直线的方程()00 y y k x x -=- ( )A.可以表示任何直线B.不能表示过原点的直线C.不能表示与x 轴垂直的直线D.不能表示与y 轴垂直的直线2、已知直线l 过点()1,2-且与直线2310x y -+=垂直,则l 的方程是() A. 3210x y +-=B. 3270x y ++=C. 2350x y -+=D. 2380x y -+=3、直线:l y kx b =+在平面直角坐标系中的位置如图所示,则,k b 满足()A. 0,0k b >>B. 0,0k b <<C. 0,0k bD. 0,0k b ><4、已知直线12:,:l y kx b l y bx k =+=+,则它们在坐标系中的位置可能是()A. B. C. D.5、已知直线1:?2l y x a =-+与直线()22:2?2l y a x =-+平行,则a 的值为( )A. B. 1±C. 1D. 1?-6、已知点()()1,2,3,1A B ,则线段AB 的垂直平分线的方程为( )A. 425x y +=B. 425x y -=C. 25x y +=D. 25x y -=7、若直线()()222341m m x m m y m +-+-=-在 x 轴上的截为1,则实数 m 为()A. 1B. 2C. 12- D. 2或12-8、过点(1,3)-且垂直于直线230x y -+=的直线方程是( )A. 250x y +-=B. 210x y +-=C. 250x y +-=D. 270x y -+=9、若直线l 的斜率为k,在 x 轴上的截距为a ,则直线l 的方程为( ) A. y kx a =+B. ()y k x a =+C. y kx a =-D. ()y k x a =-10、经过点()1,1-,斜率是直线y x 22=-的斜率的2倍的直线的方程是( ) A. 1x =- B.1?y =C. )y 1x 1-=+D. )y 1x 1-=+11、已知,?a b 为正整数,则过点()(),0,0,A a B b 及()1,3C 三点的直线的方程为__________.12、若三点()()()()3,3,,0,0,0A B a C b ab ≠在同一条直线上,则11a b+的值为__________. 13、已知直线1:210l x my +-=和()2:3110l m x my --+=,若12//l l ,则实数 m 的值为__________.14、若直线:20l x ay ++=与直线230x y -+=平行,则直线l 在坐标轴上的截距之和为__________.15、已知直线123:210,:250,:210l x y l x y l x y +-=+-=--=,则1l 与2l 的位置关系是__________,1l 与3l “的位置关系是__________,2l 与3l 的位置关系是__________.(填“平行”或“垂直”)答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：∵与 x 轴垂直的直线斜率k 不存在,∴直线的点斜式方程()00y y k x x -=-不能表示与 x 轴垂直的直线.2答案及解析：答案：A解析：由题意可得l 的斜率为3-2, ∴l 的方程为()3212y x -=-+,即3210x y +-=, 故选A.3答案及解析：答案：C 解析：由题图可得0,0k b .4答案及解析：答案：C解析：由上表可知选C.5答案及解析：答案：D解析：本题考查平面上两条直线平行的条件,由直线1:?2l y x a =-+与直线()22:2?2l y a x =-+平行,得221,22a a ⎧-=-⎨≠⎩, 解得 1a =-.6答案及解析：答案：B解析：直线AB 的斜率211132AB k -==--, 则线段AB 的垂直平分线的斜率2k =. 又AB 的中点为32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,故所求的直线方程为()3222y x -=-, 即4250x y --=.7答案及解析：答案：D 解析：由题意知直线过点()1,0,∴22341m m m +-=- ∴12m =-或2m =.8答案及解析：答案：B解析：直线230x y -+=的斜率为12,与其垂直的直线的斜率为2-, 所以直线方程为()321y x -=-+,即210x y +-=,故选B.9答案及解析：答案：D解析：直线l 过点(),0a ,直线l 的方程为()0y k x a -=-,即()y k x a =-.故选D.10答案及解析：答案：C∴所求方程为)y 1x 1-=+.11答案及解析：答案：4y x =-+或36y x =-+解析：因为直线过()(),0,0,A a B b 和()1,3C , 所以03001b b a --=--,整理得3a b ab +=, 又,?a b 均为正整数,所以2,6a b ==或4,4a b ==. 所以由两点式可得所求直线的方程为4y x =-+或36y x =-+.12答案及解析： 答案：13解析：依题意得,直线BC 的方程为1x y a b +=, 又点()3,3A 在直线BC 上,于是有331a b+=, 即1113a b +=.13答案及解析： 答案：16解析：因为12//l l ,所以()2310m m m -+=,解得16m =或0m =. 当0m =时,直线1l 与2l 重合,舍去.14答案及解析：答案：2 解析：由两直线平行得12a =-,将直线l 的方程1202x y -+=, 化为截距为124x y +=-, 故截距之和为242-+=.15答案及解析：答案：平行; 垂直; 垂直解析：。
高中数学第三章直线与方程3.2.3直线的一般式方程课时作业含解析新人教A版必修20622216
高中数学第三章直线与方程3.2.3直线的一般式方程课时作业含解析新人教A版必修206222161.直线2x+5y-10=0在x轴,y轴上的截距分别为a,b,则( B )(A)a=2,b=5 (B)a=5,b=2(C)a=-2,b=5 (D)a=-5,b=22.已知直线l的方程为x-y+2=0,则直线l的倾斜角为( A )(A)30° (B)45° (C)60° (D)150°解析:设直线l的倾斜角为θ,则tan θ=,则θ=30°.3.已知直线l1:ax-y+2a=0,l2:(2a-1)x+ay=0互相垂直,则a的值是( C )(A)0 (B)1(C)0或1 (D)0或-1解析:因为直线l1:ax-y+2a=0,l2:(2a-1)x+ay=0互相垂直,所以(2a-1)a+a(-1)=0,解得a=0或a=1.4.直线x+ay-7=0与直线(a+1)x+2y-14=0互相平行,则a的值是( B )(A)1 (B)-2(C)1或-2 (D)-1或2解析:由题1×2-a(a+1)=0,所以a2+a-2=0,所以a=-2或a=1,当a=-2时,直线x-2y-7=0与直线-x+2y-14=0互相平行;当a=1时,直线x+y-7=0与直线2x+2y-14=0重合,不满足题意;故a=-2.5.已知m≠0,则过点(1,-1)的直线ax+3my+2a=0的斜率为( D )(A)3 (B)-3(C)(D)-解析:由题意,得a-3m+2a=0,所以a=m,又因为m≠0,所以直线ax+3my+2a=0的斜率k=-=-.故选D.6.若直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)经过第一、二、三象限,则系数A,B,C满足的条件为( B )(A)A,B,C同号(B)AC>0,BC<0(C)AC<0,BC>0 (D)AB>0,AC<0解析:如图所示,若直线经过第一、二、三象限,应有所以A·B<0且B·C<0,A,B异号,B,C异号,从而A,C同号.选项B符合要求.7.直线l1:ax-y+b=0,l2:bx+y-a=0(ab≠0)的图象只可能是如图中的( B )解析:直线l1:y=ax+b,斜率为a,在y轴截距为b.直线l2:y=-bx+a,斜率为-b,在y轴截距为a.图中A选项:l1中a>0,b<0,则应有l2的斜率-b>0,不合适.B选项:l1中a>0,b<0,则应有l2中斜率-b>0,截距a>0,合适.类似可知C,D不合适,选B.8.已知点P(a,b)和点Q(b-1,a+1)是关于直线l对称的两点,则直线l的方程为( C )(A)x+y=0 (B)x-y=0(C)x-y+1=0 (D)x+y-1=0解析:因为点P(a,b)与Q(b-1,a+1)(a≠b-1)关于直线l对称,所以直线l为线段PQ的中垂线,PQ的中点为(,),PQ的斜率为=-1,所以直线l的斜率为1,即直线l的方程为y-=x-,化简可得 x-y+1=0.9.经过点(3,2)且与直线4x+y-2=0平行的直线方程是.解:设与直线4x+y-2=0平行的直线为4x+y+c=0,该直线过点(3,2),故有12+2+c=0,所以c=-14,所以该直线方程是4x+y-14=0.答案:4x+y-14=010.过点(-1,3),且与直线l:3x+4y-12=0垂直的直线l′的方程为.解析:设l′方程为4x-3y+n=0.将(-1,3)代入上式得n=13.则l′的方程为4x-3y+13=0.答案:4x-3y+13=011.若直线(2t-3)x+y+6=0不经过第一象限,则t的取值范围为.解析:方程可化为y=(3-2t)x-6,因为直线不经过第一象限,所以3-2t≤0,得t≥.答案:12.已知两条直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0都通过A(2,1),则过两点P1(a1,b1),P2(a2,b2)的直线方程的一般式为.解析:由题意得所以(a1,b1),(a2,b2)都在直线2x+y+1=0上,又两点确定一条直线,所以所求直线的方程为2x+y+1=0.答案:2x+y+1=013.分别求符合条件的直线方程,并化为一般式.(1)经过点(-1,3),且斜率为-3;(2)经过两点A(0,4)和B(4,0);(3)经过点(2,-4)且与直线3x-4y+5=0平行;(4)经过点(3,2),且垂直于直线6x-8y+3=0.解:(1)根据条件,写出该直线的点斜式方程为y-3=-3(x+1),即y-3=-3x-3,整理得其一般式为3x+y=0.(2)根据条件,写出该直线的截距式为+=1,整理得其一般式为x+y-4=0.(3)设与直线3x-4y+5=0平行的直线为3x-4y+c=0,将点(2,-4)代入得6+16+c=0,所以c=-22.故所求直线的一般式为3x-4y-22=0.(4)设与直线6x-8y+3=0垂直的直线为8x+6y+c=0,代入点(3,2)得24+12+c=0,c=-36.从而得8x+6y-36=0,即所求直线的一般式为4x+3y-18=0.14.已知直线l1的方程为3x+4y-12=0,分别求满足下列条件的直线l2的方程.(1)l1与l2平行且l2过点(-1,3);(2)l1与l2垂直,且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4.解:(1)设l2的方程为3x+4y+m=0(m≠-12),又直线l2过点(-1,3),故3×(-1)+4×3+m=0,解得m=-9,故直线l2的方程为3x+4y-9=0.(2)因为l1⊥l2,所以直线l2的斜率k2=.设l2的方程为y=x+b,则直线l2与两坐标轴的交点是(0,b),(-b,0),所以S=|b|·|-b|=4,所以b=±,所以直线l2的方程是y=x+或y=x-.15.(2016·浙江台州质检)直线过点P(,2),且与x轴的正半轴和y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在这样的直线能同时满足下列条件:①△AOB的周长为12;②△AOB 的面积为6.若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.解:设所求的直线方程为+=1(a>0,b>0).由已知,得由①②解得或经验证,只有满足③式.所以存在直线满足题意,其方程为+=1,即3x+4y-12=0.16.已知两直线的方程分别为l1:x+ay+b=0,l2:x+cy+d=0,它们在坐标系中的位置如图所示,则( C )(A)b>0,d<0,a<c(B)b>0,d<0,a>c(C)b<0,d>0,a>c(D)b<0,d>0,a<c解析:由题图可知直线l1,l2的斜率都大于0,即k1=->0,k2=->0且k1>k2,所以a<0,c<0且a>c.又l1的纵截距-<0,l2的纵截距->0,所以b<0,d>0,故选C.17.已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是( D )(A)1 (B)-1(C)-2或-1 (D)-2或1解析:当截距都为0时,-2-a=0即a=-2;当截距都不为0即a≠-2时,直线方程可变形为+=1,由已知有=a+2得a=1,故选D.18.已知A(0,1),点B在直线l1:x+y=0上运动,当线段AB最短时,直线AB的一般式方程为.解析:AB⊥l1时AB最短,所以线段AB所在直线斜率为k=1,方程为y-1=x,即x-y+1=0.答案:x-y+1=019.若a,b满足a+2b=1,则直线ax+3y+b=0必过的定点坐标是.解析:由题意直线ax+3y+b=0可变形为(1-2b)x+3y+b=0,所以(1-2x)b+3y+x=0,令1-2x=0,x+3y=0得x=,y=-.答案:(,-)。
第11练 直线的方程-【补习教材·寒假作业】高一上学期数学(人教版)(解析版)
第11练 直线的方程一、选择题1．经过直线2x +y ﹣2=0和x ﹣y ﹣1=0的交点，且与中直线3x +2y ﹣2=0垂直的直线方程是（ ）A ．3x ﹣2y ﹣1=0B ．2x ﹣3y ﹣1=0C ．2x ﹣3y ﹣2=0D ．3x ﹣2y ﹣2=0【答案】C 【解析】联立22010x y x y +-=⎧⎨--=⎩可得x =1，y =0，即交点（1，0）， 设与直线3x +2y ﹣2=0垂直的直线方程是2x ﹣3y +m =0，把点（1，0）代入可得：2﹣0+m =0，解得m =﹣2．∴要求的直线方程为：2x ﹣3y ﹣2=0．故选C ．2．直线2x +y ﹣3=0用斜截式表示，下列表达式中，最合理的是（ ）A ．1332x y += B ．y =﹣2x +3C ．y ﹣3=﹣2（x ﹣0）D ．1322x y =-+ 【答案】B 【解析】直线2x +y ﹣3=0用斜截式表示为y =﹣2x +3，故选B ．3．直线l 过点（1，﹣2）且与直线2x ﹣3y +4=0垂直，则l 的方程为（ ）A ．3x +2y ﹣1=0B ．2x +3y ﹣1=0C ．3x +2y +1=0D ．2x ﹣3y ﹣1=0 【答案】C【解析】设与直线2x ﹣3y +4=0垂直的直线方程为：3x +2y +m =0，把点（1，﹣2）代入3x +2y +m =0可得：3﹣4+m =0，解得m =1．∴直线l 的方程为：3x +2y +1=0，故选C ．4．直线x +（m +1）y +2=0与直线mx +2y ﹣1=0平行，则m =（ ）A ．﹣2B ．1或﹣2C ．1D ．2或﹣1 【答案】B【解析】∵直线x +（m +1）y +2=0与直线mx +2y ﹣1=0平行，∴11221m m +=≠-，则m =1，或m =﹣2，故选B ．5．已知A （1，0），B （0，2），C （2，6），则△ABC 的BC 边上的高线所在的直线方程为（ ）A ．x +2y ﹣1=0B ．x +2y +1=0C ．x ﹣6y ﹣1=0D ．x ﹣1=0【答案】A【解析】根据题意，B （0，2），C （2，6），则k BC =2，则BC 边上的高所在直线的斜率k 12=-，则BC 边上的高线所在的直线方程为()112y x =--，即x +2y ﹣1=0．故选A ．6．设入射线光线沿直线2x ﹣y +1=0射向直线y =x ，则被y =x 反射后，反射光线所在的直线方程是（） A ．x ﹣2y ﹣1=0 B ．x ﹣2y +1=0 C ．3x ﹣2y +1=0 D ．x +2y +3=0【答案】A【解析】入射线光线沿直线2x ﹣y +1=0射向直线y =x ，则被y =x 反射后，反射光线所在的直线与入射关系关于y =x 对称，则对应的方程为2y ﹣x +1=0，即x ﹣2y ﹣1=0，故选A ．7．过点（0，﹣1）且垂直于直线y 12=x 的直线方程为（ ）A ．y =﹣2x ﹣1B ．y =2x ﹣1C ．y =﹣2x +2D ．y =2x +1【答案】A【解析】垂直于直线y 12=x 的直线斜率为k =﹣2，且直线过点（0，﹣1），所以直线方程为：y ﹣（﹣1）=﹣2（x ﹣0），即y =﹣2x ﹣1．故选A ．8．过点A （1，2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）A ．x ﹣y +1=0B ．x +y ﹣3=0C．2x﹣y=0或x+y﹣3=0 D．2x﹣y=0或x﹣y+1=0 【答案】D【解析】当直线过原点时，可得斜率为k20 10-==-2，所以直线方程为y=2x，即2x﹣y=0；当直线不过原点时，设方程为x ya a+=-1，代入点（1，2）可得12a a-=1，解得a=﹣1，所以直线方程为x﹣y+1=0；综上知，所求直线方程为：2x﹣y=0或x﹣y+1=0．故选D．二、填空题9．过点（﹣2，﹣3）且在x轴、y轴上的截距相等的直线方程是_________．【答案】x+y+5=0，或3x﹣2y=0【解析】由于直线过点（﹣2，﹣3），当直线经过原点时，直线的斜率为32，直线的方程为y32=x，即3x﹣2y=0．当直线不经过原点时，设直线的方程为x+y+b=0，把点（﹣2，﹣3）代入，求得b=5，故要求的直线的方程为x+y+5=0，故答案为：x+y+5=0，或3x﹣2y=0．10．过点（﹣2，4）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为_________．【答案】2x+y=0，或x﹣y=6=0【解析】①当在坐标轴上截距为0时，所求直线方程为：y=﹣2x，即2x+y=0；②当在坐标轴上截距不为0时，∵在坐标轴上截距互为相反数，可设直线方程为x﹣y=a，将A（﹣2，4）代入得，a=﹣6，∴此时所求的直线方程为x﹣y+6=0．综上，要求的直线的方程为2x+y=0，或x﹣y=6=0，故答案为：2x+y=0，或x﹣y=6=0．11．已知直线l过点（﹣2，2）且与直线l1：x﹣2y+3=0垂直，则直线l的方程为_________．【答案】2x+y+2=0【解析】由题意可得直线l的斜率为112-=-2，故直线l的方程为y﹣2=﹣2（x+2），即2x+y+2=0，故答案为：2x+y+2=0．三、解答题12．已知直线l 过点P （﹣2，3），根据下列条件分别求出直线l 的方程．（1）直线l 的倾斜角为3π4； （2）直线l 与直线x ﹣2y +1=0垂直．【答案】（1）x +y ﹣1=0．（2）2x +y +1=0．【解析】（1）直线l 的倾斜角为3π4，可得斜率k =tan 3π4=-1， ∴直线方程为：y ﹣3=﹣（x +2），化为：x +y ﹣1=0．（2）直线l 与直线x ﹣2y +1=0垂直，可得直线l 的斜率k 112=-=-2． ∴要求的直线方程为：y ﹣3=﹣2（x +2），化为：2x +y +1=0．13．已知平面内两点A （8，﹣6），B （2，2）．（1）求过P （2，﹣3）点且与直线AB 平行的直线l 的方程；（2）一束光线从B 点射向（1）中的直线l ，若反射光线过点A ，求反射光线所在的直线方程．【答案】（1）4x +3y +1=0．（2）11x +27y +74=0．【解析】（1）由题得 624823AB k --==--， 由点斜式()4323y x +=--， ∴直线l 的方程4x +3y +1=0．（2）设B （2，2）关于直线l 的对称点B '（m ，n ）， ∴232422431022n m m n -⎧=⎪⎪-⎨++⎪⨯+⨯+=⎪⎩，解得14585m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴148'55B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，'86115142785B A k -+==-+， 由点斜式可得()116827y x +=--，整理得11x +27y +74=0， ∴反射光线所在的直线方程为11x +27y +74=0．。
2021-2021学年高一数学寒假作业训练09直线与方程
寒假训练09直线与方程[2021·泰州月考]直线． 〔1〕求过点且与直线垂直的直线的方程；〔2〕假设直线与两坐标轴所围成的三角形的面积大于4，求实数的取值范围． 【答案】〔1〕；〔2〕．【解析】〔1〕与直线垂直的直线的斜率为，因为点在该直线上，所以所求直线方程为， 故所求的直线方程为．〔2〕直线与两坐标轴的交点分别为，， 那么所围成的三角形的面积为．由题意可知，化简得，解得或，所以实数的取值范围是．一、选择题1．[2021·华安一中]点，，那么直线的倾斜角是〔〕A ．B ．C ．D ．2．[2021·重庆八中]，假设直线与直线平行，那么的值为〔〕 A ．6B ．7C ．8D ．93．[2021·包头四中]直线在两坐标轴上截距之和为2，那么为〔〕 A ．24B ．12C ．10D ．:2220l x y m -+-=()2,3l l m 270x y +-=()(),13,-∞-+∞l 2-()2,3()322y x -=--270x y +-=l ()22,0m -+()0,1m -12212m m ⨯-+⨯-122142m m ⨯-+⨯->()214m ->3m >1m <-m ()(),13,-∞-+∞(A (B -AB 60︒120︒30︒150︒0m ≠20mx y m ++=()3170mx m y +-+=m 340x y k -+=k 24-4．[2021·包头四中]直线与直线垂直，那么实数的值为〔〕 A ．B ．C ．D ．5．[2021·阜蒙二高]直线过点，且，到的距离相等，那么直线的方程是〔〕 A ．B ．C ．或D ．或6．[2021·漳州一中]直线经过定点，那么点为〔〕 A ．B ．C ．D ．7．[2021·长郡中学]如下列图，在同一直角坐标系中表示直线与，正确的选项是〔〕A ．B ．C ．D ．8．[2021·长郡中学]斜率的变化范围是，那么其倾斜角的变化范围是〔〕A ．B ．C ．D ． 9．[2021·长郡中学]点，，那么线段的垂直平分线的方程是〔〕 A ．B ．C ．D ．10．[2021·宜昌期末]假设动点，分别在直线，上移动，那么的中点到原点的距离的最小值是〔〕()12230a x y --+=320x y a ++=a 52-725616l ()1,2P ()2,3A ()4,5B -l l 460x y +-=460x y +-=3270x y +-=460x y +-=2370x y +-=460x y +-=()2610kx y k k +-+=∈R P P ()1,3()3,1()1,3--()3,1-y ax =y x a =+k ⎡-⎣π,πππ43k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦3π,4π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3π,34π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦3π0π,,π34⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭()1,2A ()3,1B AB 425x y +=425x y -=25x y +=25x y -=()111,p x y ()222,p x y 1:50l x y --=2:150l x y --=12P P PA ． BC ．D11．[2021·宜昌期末]数学家欧拉1765年在其所著的?三角形几何学?一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称为欧拉线，的顶点，，假设其欧拉线方程为，那么顶点的坐标为〔〕 A ．B ．C ．或D ．12．[2021·栖霞一中]如图，、、是同一平面内的三条平行直线，与间的距离是1，与间的距离是2，正三角形的三顶点分别在、、上，那么的边长是〔〕A ． BCD二、填空题13．[2021·南康中学]过点的直线倾斜角为，那么直线的方程为_________． 14．[2021·包头四中]与两平行直线，等距离的直线方程为_____________．15．[2021·鸡西期末]直线的斜率为1，与两坐标轴围成三角形的面积为4，那么直线的方程为________．16．[2021·辉县一中]在平面直角坐标系中，，，假设过点的直线与线段有公共点，那么直线斜率的取值范围是____________．三、解答题17．[2021·莆田一中]〔1〕求两条平行直线与间的距离；ABC △()2,0A ()0,4B 20x y -+=C ()0,4-()4,0-()4,0()4,0-()4,01l 2l 3l 1l 2l 2l 3l ABC 1l 2l 3l ABC △)Al π2l 1:390l x y -+=23:30l x y --=l l ()2,2A ()1B -()1,1P --l AB l 3460x y +-=840ax y +-=〔2〕求两条垂直的直线和的交点坐标．18．[2021·林州一中]的顶点，边上的中线所在直线方程为，的平分线所在直线方程为，求边所在直线的方程．280x my +-=210x y -+=ABC △()3,1A -AB 610590x y +-=B ∠4100x y -+=BC寒假训练09直线与方程一、选择题 1．【答案】B【解析】因为，，根据斜率公式可得设直线的倾斜角为，所以，应选B ． 2．【答案】B【解析】直线的斜率显然存在，因此由题意有，解得．应选B ． 3．【答案】D【解析】因为直线的方程为，令，可得，令， 可得，故直线在两坐标轴上的截距之和为，解得．应选D ．4．【答案】D【解析】∵直线与直线垂直， ∴，∴，应选D ． 5．【答案】C【解析】设所求直线为，由条件可知直线平行于直线或过线段的中点， ①的斜率为，当直线时，的方程是， 即；②当直线经过线段的中点时，的斜率为， 的方程是，即， 故所求直线的方程为或，应选C ． 6．【答案】D【解析】直线的方程可化为， 当，时方程恒成立，直线过定点，应选D ． 7．【答案】A(A (B -k ==(),0180αα︒≤<︒tan α=120α=︒3172m m m m-=≠7m =340x y k -+=0x =4ky =0y =3k x =-243k k-=24k =-()12230a x y --+=320x y a ++=()31220a --=16a =l l AB AB AB 35424+=--l AB ∥l ()241y x -=--460x y +-=l AB ()3,1-l 213132+=--l ()3212y x -=--3270x y +-=3270x y +-=460x y +-=()2610kx y k k +-+=∈R ()123y k x +=--3x =1y =-∴()3,1-【解析】逐一考察所给的函数图像：对于选项A ，过坐标原点，那么，直线在轴的截距应该小于零， 题中图像符合题意；对于选项C ，过坐标原点，那么，直线在轴的截距应该大于零， 题中图像不合题意；过坐标原点，直线的倾斜角为锐角，题中BD 选项中图像不合题意；此题选择A 选项． 8．【答案】D【解析】设直线的倾斜角为，那么，由斜率的定义可得：， 据此求解三角不等式可得倾斜角的变化范围是，此题选择D 选项． 9．【答案】B【解析】由斜率公式可得， 由中点坐标公式可得的中点坐标为，即， 据此可得线段的垂直平分线的方程是， 整理可得，此题选择B 选项． 10．【答案】A【解析】因为，所以的中点轨迹为直线：，即， 因此，应选A ．11．【答案】B【解析】设坐标，所以重心坐标为，因此，，从而顶点的坐标可以为，应选B ．12．【答案】D 【解析】y ax =0a <y x a =+y y ax =0a >y x a =+y y ax =y x a =+θ[)0,πθ∈1tan θ-≤≤3π0π,,π34⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭211132AB k -==--AB 1321,22M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭32,2M ⎛⎫⎪⎝⎭AB ()3222y x -=-425x y -=12l l ∥12P P P 15502x y +--=100x y --=P =C (),x y 24,33x y ++⎛⎫⎪⎝⎭2+42033x y +-+=40x y ∴-+=C ()4,0-设与直线交于点．作于，于，于． 设，那么可得，于是，由题意得，∴，即， 解得，∴．在中，可得， ∴的边长，应选D ．二、填空题 13．【答案】【解析】因为直线倾斜角为，直线的斜率不存在，又因为直线过点，直线方程为14．【答案】【解析】设与直线，等距离的直线的方程为，那么，解得，∴直线的方程为． 15．【答案】【解析】设直线方程为，两坐标轴围成三角形的面积为， 解得16．【答案】【解析】如图AC 2l D 2AE l ⊥E BG AC ⊥G 2CF l ⊥F AD x =3AC x =2xDG =3BG x ==BDG CDF Rt Rt △∽△BG DGCF DF=222xDF =DF =DE =ADE Rt △222228127AD AE DE =+=+=AD =ABC △3AC AD ==x =l π2l )A∴x =x =330x y -+=1:390l x y -+=23:30l x y --=l 30x y c -+=93c c -=--3c =l 330x y -+=y x =±1x y a a -=2142a =a =±y x =±([),1,-∞+∞可得，所以直线斜率的取值范围是．三、解答题17．【答案】〔1〕；〔2〕．【解析】〔1〕由，得， 两条直线的方程分别为，，即，． 〔2〕由，得，由，得， 所以交点坐标为． 18．【答案】．【解析】设点的坐标为，那么的中点坐标为 ∵的中点在直线上，∴ 解得，∴．设点关于直线的对称点为， ，解得，即．又边所在的直线经过点，， ∴边所在直线的方程为12112PA K --==--PB K ==l ([),1,-∞+∞45()3,284346a -=≠-6a =3460x y +-=6840x y +-=3420x y +-=45=220m -=1m =280210x y x y +-=-+=⎧⎨⎩32x y =⎧⎨⎩=()3,229650x y +-=B ()11410,y y -AB AB 610590x y +-=15y =()10,5B A 4100x y -+=(),A x y '''17x y ''==⎧⎨⎩()1,7A 'BC A 'B BC整理得．+-=29650x y。
人教新课标版数学高一人教A版必修23.2直线的方程(1)
学科：数学专题：直线的方程（1）题1下列说法中正确的是( )．A ．一条直线和x 轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角B ．直线的倾斜角α的取值范围是第一或第二象限角C ．和x 轴平行的直线，它的倾斜角为180°D ．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率题2求过点(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程．题3求经过A (-2，0)，B (-5，0)两点的直线的斜率和倾斜角．题4设A (m ，－m －3)，B (2，m －1)，C (－1，4)，直线AC 的斜率等于直线BC 的斜率的三倍，求实数m 的值．题5l 经过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则αsin k 的取值范围是 ．题6已知直线Ax By C ++=0，（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线；（2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交；（3）系数满足什么条件时只与x 轴相交；（4）系数满足什么条件时是x 轴；（5）设()P x y 00，为直线Ax By C ++=0上一点，证明：这条直线的方程可以写成()()A x x B y y -+-=000．题7过点()--54，作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5．求这条直线的方程．题8已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于点C ，且AC ＝2CB ，则a 等于()．A ．2B ．1C ．45D ．53题9直线x －2y ＋2k ＝0与两坐标轴围成的三角形面积不小于1，那么k 的取值范围是( )． (A )k ≥－1 (B )k ≤1 (C )|k |≤1 (D )|k |≥1题10过(1,P -的直线l 与y 轴的正半轴没有公共点，求l 的倾斜角的范围．课后练习详解题1答案：D ．详解：其它的错在：A ：在平面直角坐标系中，对于一条与X 轴相交的直线l ，取X 轴为基准，使X 轴绕着交点按逆时针方向（正方向）旋转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线l 的倾斜角；B ：直线的倾斜角α取值范围：0°≤α<180°，第一、第二象限不包含0°和90°；C ：直线的倾斜角α取值范围： 0°≤α<180°．题2答案：50x y +-=或32y x =． 详解：由题意，设直线与坐标轴的交点分别为0(,0)x ，0(0,)x ，又因为直线过点(2，3)，所以，直线方程为：50x y +-=或32y x =． 题3答案：0;0k α==︒． 详解：0002(5)k -==---，又tan 0k α==，所以0α=︒． 题4答案：12m m ==或 详解：由3AC BC k k =, 得()()()()34143121m m m -----=----，解得12m m ==或． 题5答案：（∞-，1-）． 详解：tan 1sin sin cos k αααα==且1cos 0α-<<(,1)sin k α∴∈-∞-． 题6答案：（1）C =0，A 、B 不同为零；（2）A 、B 应均不为零；（3）0=B 且0≠A ；（4）000≠==B C A ，，；（5）略．详解：（1）采用“代点法”，将O （0，0）代入0Ax By C ++=中得C =0，A 、B 不同为零．（2）直线0=++C By Ax 与坐标轴都相交，说明横纵截距b a 、均存在．设0=x ，得B C b y -==；设0=y ，得AC a x -==均成立，因此系数A 、B 应均不为零． （3）直线0=++C By Ax 只与x 轴相交，就是指与y 轴不相交——平行、重合均可．因此直线方程将化成a x =的形式，故0=B 且0≠A 为所求．（4）x 轴的方程为0=y ，直线方程0=++C By Ax 中000≠==B C A ，，即可．注意B 可以不为1，即0=By 也可以等价转化为0=y ．（5）运用“代点法”．()00y x P ， 在直线0=++C By Ax 上，()00y x ，∴满足方程0=++C By Ax ，即00000By Ax C C By Ax --=∴=++，， 故0=++C By Ax 可化为000=--+By Ax By Ax ，即()()000=-+-y y B x x A ，得证．题7答案：02058=+-y x 或01052=--y x ．详解：直线l 应满足的两个条件是（1）直线l 过点（－5, －4）；（2）直线l 与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5．如果设a ，b 分别表示l 在x 轴，y 轴上的截距，则有521=⋅b a ． 设l 的方程为1=+b y a x ，因为l 经过点()45--，，则有：145=-+-ba ① 又10±=ab ② 联立①、②，得方程组⎪⎩⎪⎨⎧±==-+-1015ab b b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=425b a 或⎩⎨⎧-==25b a 因此，所求直线方程为：02058=+-y x 或01052=--y x ．题8答案：A ．详解：设点C (x ，y )，由于AC ＝2CB ，所以(x －7，y －1)＝2(1－x ，4－y )，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ x －7＝2－2x y －1＝8－2y ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝3，又点C 在直线y ＝12ax 上，所以有3＝32a ，a ＝2 题9答案：D ．详解：直线x －2y ＋2k ＝0与两坐标轴交点为A (－2k ，0)，B (0，k )， 所以，2|||2|21||||21k k k OB OA S AOB =⋅-=⋅=∆，由题意k 2≥1，得|k |≥1为所求．题10 答案：),2[]3,0[πππα⋃∈．详解： 3tan =α ∴ 3πα= ∴ ),2[]3,0[πππα⋃∈．。
直线方程(人教A版2019选择性必修第一册)(解析版)
一、直线的方程（一）-重难点题型精讲1．直线的点斜式方程 (1)直线的点斜式方程的定义： 设直线l经过一点，斜率为k ，则方程叫作直线l 的点斜式方程.(2)点斜式方程的使用方法：①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l 上每一个点的横坐标都等于x 1，所以直线方程为x = x 1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为.2．直线的斜截式方程(1) 直线的斜截式方程的定义：设直线l 的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则直线方程为y =kx +b ，这个方程叫作直线l 的斜截式方程.(3)斜截式方程的使用方法：已知直线的斜率以及直线在y 轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程. 3．直线的两点式方程直线方程(1)直线的两点式方程的定义：设直线l经过两点()，则方程l的两点式方程.(2)两点式方程的使用方法：①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程.时，直线方程为(或③当时，直线方程为(或).4．直线的截距式方程(1)直线的截距式方程的定义：设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程.(2)直线的截距式方程的适用范围：选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线.(3)截距式方程的使用方法：①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程.②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程.5．直线的一般式方程(1)直线的一般式方程的定义：在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y 的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程.对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)，当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线.当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线.(2)一般式方程的使用方法：直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线.6．辨析直线方程的五种形式7．方向向量与直线的参数方程除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的.如图1，设直线l经过点，=(m,n)是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使=t，即()=t(m,n)，所以①在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数.由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程.【题型1 直线的点斜式方程】x=；【例1】（2021春•眉山期末）过点P（√3，﹣2√3）且倾斜角为135°的直线方程为（）A．3x−y−4√3=0B．x−y−√3=0C．x+y−√3=0D．x+y+√3=0【解题思路】由直线的倾斜角为135°，所以可求出直线的斜率，进而根据直线的点斜式方程写出即可．【解答过程】解：∵直线的倾斜角为135°，∴斜率k＝tan135°＝﹣1，又直线过点P（√3，﹣2√3），∴直线的点斜式为y+2√3=−1（x−√3），即x+y+√3=0．故选：D．【变式1-1】（2020秋•河南期末）过点（﹣1，3）且斜率为12的直线在x轴上的截距为（）A．﹣8 B．﹣7 C．−72D．72【解题思路】设直线的方程为方程y﹣3=12（x+1），令y＝0，即可求得答案．【解答过程】解：依题意知，该直线方程为y﹣3=12（x+1），令y＝0，则x＝﹣7．所以直线在x轴上的截距是﹣7．故选：B．【变式1-2】（2020秋•石景山区期末）直线l过点P（﹣1，2），且倾斜角为45°，则直线l的方程为（）A．x﹣y+1＝0 B．x﹣y﹣1＝0 C．x﹣y﹣3＝0 D．x﹣y+3＝0【解题思路】根据直线的倾斜角求出斜率k，用点斜式写出直线方程，再化为一般式即可．【解答过程】解：直线l过点P（﹣1，2），且倾斜角为45°，则直线l的斜率为k＝tan45°＝1，直线方程为y﹣2＝1×（x+1），即x﹣y+3＝0．故选：D．【变式1-3】（2020秋•福建月考）经过点A（8，﹣2），斜率为−12的直线方程为（）A．x+2y﹣4＝0 B．x﹣2y﹣12＝0 C．2x+y﹣14＝0 D．x+2y+4＝0 【解题思路】利用直线的点斜式方程进行求解，化简整理即可．【解答过程】解：因为直线经过点A（8，﹣2），斜率为−12，故由直线的点斜式方程为：y+2=−12(x−8)，即x+2y﹣4＝0．故选：A．【题型2 直线的斜截式方程】【例2】（2021•广东学业考试）倾斜角为45°，在y轴上的截距为2的直线方程是（）A．x﹣y+2＝0 B．x﹣y﹣2＝0 C．x+y﹣2＝0 D．x+y+2＝0【解题思路】利用倾斜角求出直线的斜率，然后利用斜截式求解即可．【解答过程】解：因为倾斜角为45°，所以直线的斜率为k＝tan45°＝1，又在y轴上的截距为2，所以所求直线的方程为y＝x+2，即x﹣y+2＝0．故选：A．【变式2-1】（2020秋•二道区校级期末）直线l在y轴上的截距为1，且斜率为﹣2，则直线l的方程为（）A．2x+y﹣1＝0 B．2x+y﹣5＝0 C．x+2y﹣5＝0 D．x﹣2y+7＝0【解题思路】根据题意，由直线的斜截式方程可得直线l的方程，变形可得答案．【解答过程】解：根据题意，直线l 在y 轴上的截距为1，且斜率为﹣2， 则直线l 的方程为y ＝﹣2x +1，即2x +y ﹣1＝0， 故选：A ．【变式2-2】（2020秋•沈阳期末）已知直线的倾斜角为45°，在x 轴上的截距为2，则此直线方程为（ ） A ．y ＝﹣x +2B ．y ＝x ﹣2C ．y ＝x +2D ．y ＝﹣x ﹣2【解题思路】利用点斜式即可得出．【解答过程】解：由题意可得：直线方程为：y ＝tan45°（x ﹣2），化为：y ＝x ﹣2． 故选：B ．【变式2-3】（2020秋•丽水期末）若直线x +2y +1＝0的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则（ ） A ．k =−2，b =−12 B ．k =−12，b =−1 C ．k =−12，b =−12D ．k ＝﹣2，b ＝﹣1【解题思路】根据题意，将直线的方程变形为斜截式方程，据此分析k 、b 的值，即可得答案． 【解答过程】解：根据题意，直线x +2y +1＝0，其斜截式方程为y =−12x −12， 其斜率k =−12，在y 轴上的截距b =−12； 故选：C ．【题型3 直线的两点式方程】【例3】（2021春•昌江区校级期中）经过两点A （﹣3，2），B （0，﹣3）的直线的方程为（ ） A ．y =13x −3B ．y =−13x −3C ．y =53x −3D ．y =−53x −3【解题思路】由条件根据两点式求得直线的方程，再化为一般式，进而求解结论． 【解答过程】解：经过点A （﹣3，2）、B （0，﹣3）的直线的方程为y+32+3=x−0−3−0，即5x +3y +9＝0，即y =−53x ﹣3． 故选：D ．【变式3-1】（2020秋•平罗县校级月考）过（1，2），（5，3）的直线方程是（ ） A ．y−25−1=x−13−1 B ．y−23−2=x−15−1C ．y−15−1=x−35−3D ．x−25−2=y−32−3【解题思路】由斜率公式可得直线的斜率，可得直线的方程． 【解答过程】解：直线过（1，2），（5，3）， ∴直线的斜率为k =3−25−1=14， ∴由两点式直线的方程得：y−23−2=x−15−1．故选：B ．【变式3-2】（2020秋•沙坪坝区校级月考）经过点A （2，5），B （﹣3，6）的直线在x 轴上的截距为（ ） A ．2B ．﹣3C ．﹣27D ．27【解题思路】由题意利用直线方程的两点式求出直线的方程，再化为截距式，可得结论． 【解答过程】解：经过点A （2，5），B （﹣3，6）的直线方程为x−2−3−2=y−56−5，即x 27+y275=1，故直线在x 轴上的截距为27， 故选：D ．【变式3-3】（2020秋•枣阳市校级期中）已知△ABC 三顶点坐标A （1，2），B （3，6），C （5，2），M 为AB 中点，N 为AC 中点，则中位线MN 所在直线方程为（ ） A ．2x +y ﹣8＝0B ．2x ﹣y +8＝0C ．2x +y ﹣12＝0D ．2x ﹣y ﹣12＝0【解题思路】由中点坐标公式可得M ，N 的坐标，代入两点式方程化简即可． 【解答过程】解：由题意结合中点坐标公式可得M （2，4），N （3，2）， 由两点式可得方程为y−42−4=x−23−2，化为一般式可得2x +y ﹣8＝0 故选：A ．【题型4 直线的截距式方程】过的点的坐标求解k ，得到直线方程.【例4】（2021春•城关区校级期末）已知直线l 在x 轴上的截距为3，在y 轴上的截距为﹣2，则l 的方程为（ ）A ．3x ﹣2y ﹣6＝0B ．2x ﹣3y +6＝0C ．2x ﹣3y ﹣6＝0D ．3x ﹣2y +6＝0【解题思路】利用截距式即可得出．【解答过程】解：∵直线l 在x 轴上的截距为3，在y 轴上的截距为﹣2， 则l 的方程为x3+y −2=1，即2x ﹣3y ﹣6＝0．故选：C ．【变式4-1】（2021春•赣州期末）若直线xa +y b=1过第二、三、四象限，则（ ）A ．a ＞0，b ＞0B ．a ＞0，b ＜0C ．a ＜0，b ＞0D ．a ＜0，b ＜0【解题思路】根据直线所过的象限，判断a ，b 的范围即可． 【解答过程】解：∵直线xa +y b=1过第二、三、四象限，∴直线在两坐标轴上的截距都小于0，故a ＜0，b ＜0， 故选：D ．【变式4-2】（2021春•瑶海区月考）已知直线（2a +1）x +y ﹣2a ＝0在两坐标轴上的截距相等，则实数a ＝ 0 ．【解题思路】由题意利用直线在两坐标轴上的截距的定义，得出结论． 【解答过程】解：∵直线（2a +1）x +y ﹣2a ＝0在两坐标轴上的截距相等， 且它在两坐标轴上的截距分别为2a 2a+1，2a ，∴2a 2a+1=2a ，∴实数a ＝0，故答案为：0．【变式4-3】（2021春•贵溪市校级月考）过点A （4，1）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程x ﹣4y ＝0或x +y ﹣5＝0． 对 （判断对错） 【解题思路】由题意分类讨论，求得直线的方程．【解答过程】解：设过点A （4，1）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为x +y +m ＝0， 把点A 代入，可得4+1+m ＝0，求得m ＝﹣5，故此时的直线方程为x +y ﹣5＝0． 当直线经过原点时，显然满足条件，此时，直线的斜率为1−04−0=14，方程为y =14x ，即4x ﹣y＝0．综上可得，要求的直线的方程为x ﹣4y ＝0或x +y ﹣5＝0， 故答案为：对．【题型5 直线的一般式方程】2.根据条件，选择适当的直线方程形式，设出直线方程，结合条件，进行求解，最后化为直线的一般式方程.【例5】（2020春•沈阳期末）若方程（m2﹣m）x+（2m2+m﹣3）y+4m﹣2＝0表示一条直线，则实数m满足（）A．m≠0 B．m≠−32C．m≠1 D．m≠−32，m≠0，m≠1【解题思路】根据题意，分析可得m2﹣m＝0与2m2+m﹣3＝0不同时成立，解可得m的取值范围，即可得答案．【解答过程】解：根据题意，若方程（m2﹣m）x+（2m2+m﹣3）y+4m﹣2＝0表示一条直线，则m2﹣m＝0与2m2+m﹣3＝0不同时成立，解m2﹣m＝0可得：m＝0或1，解2m2+m﹣3＝0：m＝1或−32，故m≠1；故选：C．【变式5-1】（2020秋•小店区校级期中）对于直线l：ax+ay−1a=0（a≠0），下列说法不正确的是（）A．无论a如何变化，直线l的倾斜角的大小不变B．无论a如何变化，直线l一定不经过第三象限C．无论a如何变化，直线l必经过第一、二、三象限D．当a取不同数值时，可得到一组平行直线【解题思路】直线l ：ax +ay −1a =0（a ≠0），化为：y ＝﹣x +1a 2，根据斜率与在y 轴上的截距的意义即可判断出正误．【解答过程】解：直线l ：ax +ay −1a =0（a ≠0），化为：y ＝﹣x +1a 2， 可得斜率k ＝﹣1，在y 轴上的截距为1a 2＞0，因此无论a 如何变化，直线l 必经过第一、二、四象限，直线l 一定不经过第三象限，直线l 的倾斜角的大小不变，当a 取不同数值时，可得到一组平行直线． 故选：C ．【变式5-2】（2020秋•未央区校级期末）求满足下列条件的直线的一般式方程： （1）经过点A （﹣1，2），且与x 轴垂直； （2）经过两点A （﹣3，5），B （4，﹣2）． 【解题思路】（1）斜率不存在，直接得出方程． （2）可以利用点斜式即可得出．【解答过程】解：（1）经过点A （﹣1，2），且与x 轴垂直的直线方程为：x ＝﹣1． （2）经过两点A （﹣3，5），B （4，﹣2）． 可得斜率k =−2−54−(−3)=−1，∴直线方程为：y ﹣5＝﹣（x +3），化为：x +y ﹣2＝0．【变式5-3】（2020秋•岳池县校级月考）已知△ABC 的三个顶点分别为A （2，8），B （﹣4，0），C （0，6）．（Ⅰ）求直线BC 的一般式方程；（Ⅱ）求AC 边上的中线所在直线的一般式方程．【解题思路】（Ⅰ）直接由直线方程的两点式写出BC 边所在直线方程，化为一般式得答案； （Ⅱ）由中点坐标公式求得AC 的中点坐标，结合B 的坐标写出AC 边上的中线所在直线的两点式，化为一般式得答案．【解答过程】解：（Ⅰ）∵B （﹣4，0），C （0，6）， ∴由直线方程的两点式可得直线BC 的方程为y−06−0=x−(−4)0−(−4)，整理为一般式：3x ﹣2y +12＝0； （Ⅱ）∵A （2，8），C （0，6）， ∴AC 的中点坐标为（2+02，8+62）＝（1，7），又B （﹣4，0），由直线方程的两点式得AC 边上的中线所在直线方程为y−07−0=x−(−4)1−(−4)．整理为一般式：7x ﹣5y +28＝0．【题型6由直线的方向向量求直线方程】线方程.【例6】（2021•松江区二模）经过点（1，1），且方向向量为（1，2）的直线方程是（ ） A ．2x ﹣y ﹣1＝0 B ．2x +y ﹣3＝0C ．x ﹣2y +1＝0D ．x +2y ﹣3＝0【解题思路】由题意求出直线的斜率，用点斜式求得直线的方程． 【解答过程】解：由于直线的方向向量为（1，2），故直线的斜率为21=2，故直线的方程为y ﹣1＝2（x ﹣1），即 2x ﹣y ﹣1＝0， 故选：A ．【变式6-1】（2021春•浦东新区期中）直线l 1：（2﹣a ）x +ay +3＝0和直线l 2：x ﹣ay ﹣3＝0，若直线l 1的法向量恰好是直线l 2的方向向量，则实数a 的值为（ ） A ．﹣2B ．1C ．﹣2或1D ．0【解题思路】由于直线l 1：（2﹣a ）x +ay +3＝0其法向量为（2﹣a ，a ）．直线l 2：x ﹣ay ﹣3＝0，其方向向量为（a ，1），直线l 1的法向量恰好是直线l 2的方向向量，利用向量共线定理即可得出．【解答过程】解：直线l 1：（2﹣a ）x +ay +3＝0其法向量为（2﹣a ，a ）． 直线l 2：x ﹣ay ﹣3＝0，其方向向量为（a ，1）． ∵直线l 1的法向量恰好是直线l 2的方向向量， 化为a 2﹣（2﹣a ）＝0， 解得a ＝﹣2或1． 故选：C ．【变式6-2】（2020秋•海淀区校级期中）已知直线l 经过点P （1，2），且直线l 的方向向量为a →=（2，4），则直线l 的斜率为 2 ，直线l 的方程为 2x ﹣y ＝0 ． 【解题思路】先求出直线的斜率，再用点斜式求直线l 的方程．【解答过程】解：∵直线l 经过点P （1，2），且直线l 的方向向量为a →=（2，4），则直线l 的斜率为42=2，∴直线l 的方程为y ﹣2＝2（x ﹣1），即 2x ﹣y ＝0， 故答案为：2；2x ﹣y ＝0．【变式6-3】（2020秋•丰台区期中）已知过点（0，2）的直线l 的方向向量为（1，6），点A （a ，b ）在直线l 上，则满足条件的一组a ，b 的值依次为 1，8 ．【解题思路】由题意根据查直线的方向向量，求出直线的斜率，用点斜式求直线的方程，把点A （a ，b ）代入直线l 的方程，可得一组a ，b 的值．【解答过程】解：∵过点（0，2）的直线l 的方向向量为（1，6）， 故直线l 的斜率为6，方程为y ﹣2＝6（x ﹣0），即y ＝6x +2． ∵点A （a ，b ）在直线l 上，∴b ＝6a +2， 则满足条件的一组a ，b 的值依次为1，8． 故答案为：1，8．直线的方程（一）-重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2020秋•吉安期末）过点（﹣1，1）且倾斜角为135°的直线方程为（ ） A ．x ﹣y ＝0B ．x +y ＝0C ．x ﹣y ＝1D ．x +y ＝1【解题思路】先求出直线的斜率，再用点斜式求直线的方程．【解答过程】解：过点（﹣1，1）且倾斜角为135°的直线的斜率为tan135°＝﹣1， 故它的方程为y ﹣1＝﹣1×（x +1），即x +y ＝0， 故选：B ．2．（3分）（2020秋•兴庆区校级期末）若直线l 的斜率为−43，且不过第一象限，则其方程有可能是（ ） A ．3x +4y +7＝0B ．4x +3y ﹣42＝0C ．4x +3y +7＝0D ．3x +4y ﹣42＝0【解题思路】由题意，直线的方程为4x +3y +c ＝0的形式．再根据直线在y 轴上的截距小于零，即c ＞0，从而得出结论．【解答过程】解：若直线l 的斜率为−43，且不过第一象限，则其方程为4x +3y +c ＝0的形式．则直线在y轴上的截距小于零，即c＞0，故选：C．3．（3分）（2020秋•涪城区校级期中）直线2x+y﹣3＝0用斜截式表示，下列表达式中，最合理的是（）A．x32+y3=1B．y＝﹣2x+3C．y﹣3＝﹣2（x﹣0）D．x=−12y+32【解题思路】把直线方程的一般式化为斜截式，可得结论．【解答过程】解：直线2x+y﹣3＝0用斜截式表示为y＝﹣2x+3，故选：B．4．（3分）（2020春•和平区期末）经过A（0，2），B（3，﹣3）两点的直线方程为（）A．3x+5y﹣10＝0 B．3x+5y+6＝0 C．5x+3y﹣6＝0 D．5x+3y+6＝0【解题思路】利用两点式求出直线的方程，再化为一般式．【解答过程】解：由两点式求出，经过A（0，2），B（3，﹣3）两点的直线方程为y+32+3=x−30−3，即5x+3y﹣6＝0，故选：C．5．（3分）（2020春•沭阳县期中）如图所示，已知直线l1：y＝kx+b，直线l2：y＝bx+k，则它们的图象可能为（）A．B．C．D．【解题思路】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．【解答过程】解：根据题意，依次分析选项：对于A，直线l1：y＝kx+b中，k＜0，b＞0，而直线l2：y＝bx+k，b＞0，k＞0，不符合题意；对于B，直线l1：y＝kx+b中，k＞0，b＜0，而直线l2：y＝bx+k，b＞0，k＞0，不符合题意；对于C，直线l1：y＝kx+b中，k＞0，b＞0，而直线l2：y＝bx+k，b＞0，k＞0，符合题意；对于D，直线l1：y＝kx+b中，k＜0，b＞0，而直线l2：y＝bx+k，b＜0，k＜0，不符合题意；故选：C ．6．（3分）（2021•北京模拟）已知直线l 过点（1，2），且在横坐标与纵坐标上的截距的绝对值相等的直线方程不可以是下列（ ）选项． A ．2x ﹣y ＝0B ．x +y ＝3C ．x ﹣2y ＝0D ．x ﹣y +1＝0【解题思路】根据点（1，2）不在直线x ﹣2y ＝0上，得出结论．【解答过程】解：直线l 过点（1，2），且在横坐标与纵坐标上的截距的绝对值相等的直线方程不可以是x ﹣2y ＝0，因为点（1，2）不在直线x ﹣2y ＝0上， 故选：C ．7．（3分）（2020•湖北模拟）过点P （0，1）且以a →=(−1，2)为方向向量的直线方程为（ ） A ．y ＝﹣2x +1B ．y ＝2x +1C ．y =−12x +1D ．y =12x +1【解题思路】以a →=(−1，2)为方向向量的直线的斜率等于﹣2，再根据直线过点P （0，1），用点斜式求直线的方程．【解答过程】解：根据直线的方向向量的概念，易得以a →=(−1，2)为方向向量的直线的斜率等于﹣2，再根据直线过点P （0，1），用点斜式求出直线方程为y ﹣1＝﹣2（x ﹣0），即y ＝﹣2x +1， 故选：A ．8．（3分）（2021春•钟祥市校级期末）若直线（2t ﹣3）x +y +6＝0不经过第二象限，则t 的取值范围是（ ） A ．（32，+∞）B ．[32，+∞）C ．（﹣∞，32]D ．（﹣∞，32）【解题思路】直线（2t ﹣3）x +y +6＝0恒过（0，﹣6），斜率为﹣（2t ﹣3），根据直线（2t ﹣3）x +y +6＝0不经过第二象限，可知直线的斜率小于等于0，由此可求t 的取值范围． 【解答过程】解：直线（2t ﹣3）x +y +6＝0恒过（0，﹣6），斜率为﹣（2t ﹣3）． ∵直线（2t ﹣3）x +y +6＝0不经过第二象限， ∴﹣（2t ﹣3）≥0，∴t ≤32． 故选：C ．二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2020秋•博兴县期中）已知直线l 过点P （2，4），在x 轴和y 轴上的截距相等，则直线l的方程可能为（）A．x﹣y+2＝0 B．x+y﹣6＝0 C．x＝2 D．2x﹣y＝0【解题思路】分直线l过原点与不过原点两类讨论，当直线过原点时，直接写出直线方程，当直线不过原点时，设出直线的截距式方程x+y＝m，代入P点坐标求得m值，则直线方程可求．【解答过程】解：当直线l过原点时，直线方程为y＝2x，即2x﹣y＝0；当直线l不过原点时，设直线方程为x+y＝m，则m＝2+4＝6，∴直线方程为x+y﹣6＝0．∴直线l的方程可能为2x﹣y＝0或x+y﹣6＝0．故选：BD．10．（4分）直线l1：ax﹣y+b＝0，l2：bx+y﹣a＝0（ab≠0）的图像可能是（）A．B．C．D．【解题思路】由题意利用直线的斜率和直线在y轴上的截距，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答过程】解：直线l1：ax﹣y+b＝0的斜率为a，在y轴上的截距为b，l2：bx+y﹣a＝0（ab ≠0）的斜率为﹣b，在y轴上的截距为a，A中，直线l1的斜率a大于零，而直线l2在y轴上的截距a小于零，矛盾，故排除A；B中，直线l1的斜率a大于零，而直线l2在y轴上的截距a大于零，直线l1在y轴上的截距b大于零，l2：bx+y﹣a＝0（ab≠0）的斜率为﹣b，小于零，满足题意；C中，直线l1在y轴上的截距为b，大于零，l2：bx+y﹣a＝0（ab≠0）的斜率为﹣b，小于零，直线l1的斜率a小于零，直线l2在y轴上的截距a小于零，故C满足题意；D中，直线l1的斜率为a大于零，直线l2在y轴上的截距为a小于零，矛盾，故排除D，故选：BC．11．（4分）（2020春•沭阳县期中）下列说法中，正确的有（）A．过点P（1，2）且在x、y轴截距相等的直线方程为x+y﹣3＝0B．直线y＝3x﹣2在y轴上的截距为﹣2C．直线x−√3y+1=0的倾斜角为60°D．过点（5，4）并且倾斜角为90°的直线方程为x﹣5＝0【解题思路】由题意利用直线的倾斜角和斜率，直线的截距的意义，得出结论．【解答过程】解：∵过点P（1，2）且在x、y轴截距相等的直线方程为x+y﹣3＝0，或者y ＝2x，故A错误；∵直线y＝3x﹣2在y轴上的截距为﹣2，故B正确；由于直线x−√3y+1=0的斜率为√33，故它的倾斜角为30°，故C错误；∵过点（5，4）并且倾斜角为90°的直线方程为x﹣5＝0，故D正确，故选：BD．12．（4分）已知直线l过点P（﹣1，1），且与直线l1：2x﹣y+3＝0以及x轴围成一个底边在x 轴上的等腰三角形，则下列结论中正确的是（）A．直线l与直线l1的斜率互为相反数B．直线l与直线l1的倾斜角互补C．直线在y轴上的截距为﹣1D．这样的直线l有两条【解题思路】由直线l与直线2x﹣y+3＝0及x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，可知l的斜率为﹣2，由点斜式得到直线方程，从而逐一判定．【解答过程】解：由题意，可得直线l与直线l1的倾斜角互补，即直线l的斜率为﹣2，又直线l过点（﹣1，1），则直线l的方程为：y﹣1＝﹣2（x+1），即y＝﹣2x﹣1；故选：ABC．三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2020秋•皇姑区校级期中）直线l过点P（1，3），且直线l的法向量为（﹣2，1），则直线l的一般式方程为2x﹣y+1＝0．【解题思路】直线l的法向量为（﹣2，1），则斜率k=−−21=2．利用点斜式可得方程，再化简即可得出．【解答过程】解：直线l的法向量为（﹣2，1），则斜率k=−−21=2∴点斜式为：y﹣3＝2（x﹣1），化为：2x﹣y+1＝0，故答案为：2x﹣y+1＝0．14．（4分）（2021春•玉林期末）已知△ABC三个顶点的直角坐标为分别为A（0，2），B（4，0），C（﹣1，﹣1），则AB边上的中线CM所在的直线方程为2x﹣3y﹣1＝0．【解题思路】由中点坐标公式求得AB的中点M的坐标，结合B的坐标写出AC边上的中线所在直线的两点式，化为一般式得答案．【解答过程】解：∵A（0，2），B（4，0），∴AB的中点M的坐标为（2，1），又C（﹣1，﹣1），∴由直线方程的两点式得AB边上的中线所在直线方程为y−1x−2=y+1x+1．整理为一般式为2x﹣3y﹣1＝0．故答案为：2x﹣3y﹣1＝0．15．（4分）（2021春•兴庆区校级期末）经过点A（4，2），且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的3倍的直线l的方程的一般式为x+3y﹣10＝0或x﹣2y＝0．【解题思路】直线l可以经过原点，此时方程为：y=24x．直线l不经过原点时，设此时方程为：x3a+ya=1，把点（4，2）代入即可得出．【解答过程】解：直线l可以经过原点，此时方程为：y=24x，即x﹣2y＝0．直线l不经过原点时，设此时方程为：x3a+ya=1，把点（4，2）代入可得：43a+2a=1，解得a=103．∴直线l的方程为：x+3y﹣10＝0．故答案为：x+3y﹣10＝0或x﹣2y＝0．16．（4分）（2020秋•金牛区校级月考）若直线x﹣y+2m＝0与两坐标轴围成的三角形面积不小于8，则实数m的取值范围为[2，+∞）∪（﹣∞，﹣2]．【解题思路】由题意求出直线与x，y轴的交点坐标，进而求出与两坐标轴围成的面积，由题意可得参数m的范围．【解答过程】解：直线x﹣y+2m＝0与坐标轴的交点坐标分别为（﹣2m，0），（0，2m），所以直线x﹣y+2m＝0与两坐标轴围成的三角形面积S=12|﹣2m|•|2m|＝2m2，由题意可得2m2≥8，解得m≥2或m≤﹣2，故答案为：[2，+∞）∪（﹣∞，﹣2]．四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2021春•资阳期末）解答下面两个小题：（1）直线l经过点B（﹣2，﹣1），倾斜角为直线y=12x的倾斜角的2倍，求l的方程；（2）直线l经过点B（﹣2，4），且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求l的方程．【解题思路】（1）设直线y=12x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α，利用正切的二倍角公式求出所求直线的斜率，由点斜式求解直线方程即可；（2）由题意，求出所求直线的斜率，然后利用点斜式方程求解即可．【解答过程】解：（1）设直线y=12x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α，因为tanα=12，所以tan2α=2tanα1−tan2α=43，又直线经过点A（﹣2，﹣1），故所求直线方程为y+1=43(x+2)，即4x﹣3y+5＝0；（2）由题可知，所求直线的斜率为±1，又过点B（﹣2，4），由点斜式得y﹣4＝x+2或y﹣4＝﹣（x+2），故所求直线的方程为x﹣y+6＝0或x+y﹣2＝0．18．（6分）（2020秋•张掖期末）求满足下列条件的直线方程：（要求把直线的方程化为一般式）（1）经过点A（2，﹣3），且斜率等于直线y=√3的斜率的2倍；（2）经过点A（﹣5，2），且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍．【解题思路】（1）先求出已知直线的斜率，即可得到所求直线的斜率，利用点斜式写出直线方程，化简即可；（2）分直线是否经过原点进行讨论，分别设出直线的方程，代入点的坐标，求解化简即可．【解答过程】解：（1）因为直线y=√3的斜率为√3，所以所求直线的斜率为√3，故所求直线的方程为y+3=√3−2)，即2x−√3y−3√3−4=0；（2）由题意可知，当直线不过原点时，设直线方程为x2a+ya=1，将点A（﹣5，2）代入可得−52a+2a=1，解得a=−12，所以所求直线方程为x+2y+1＝0；当直线经过坐标原点时，设直线方程为y ＝kx ， 将点A （﹣5，2）代入可得﹣5k ＝2，解得k =−25， 所以所求直线方程为2x +5y ＝0．综上可得，所求直线的方程为x +2y +1＝0或2x +5y ＝0．19．（8分）（2020秋•安居区期中）已知直线过点A （2，1）和B （6，﹣2）两点． （1）求出该直线的直线方程（用点斜式表示）；（2）将（1）中直线方程化成斜截式，一般式以及截距式且写出直线在x 轴和y 轴上的截距． 【解题思路】（1）由题意利用直线的斜率公式求出斜率，再用用点斜式求直线l 的方程． （2）由题意利用直线方程的几种形式，得出结论．【解答过程】解：（1）∵直线过点A （2，1）和B （6，﹣2）两点，∴直线AB 的斜率为k AB =−34， 故直线AB 的点斜式方程为：y −1=−34(x −2)． （2）把直线l 的方程化为斜截式：y =−34x +52， 一般式：3x +4y ﹣10＝0， 截距式：x 103+y52=1，故直线l 在x 轴上的截距为103；在y 轴上的截距为52．20．（8分）（2021春•万载县校级期末）设直线l 的方程为（a +1）x +y ﹣3+a ＝0（a ∈R ）． （1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值； （2）若l 不经过第三象限，求a 的取值范围．【解题思路】（1）通过讨论﹣3+a 是否为0，求出a 的值即可； （2）根据一次函数的性质判断a 的范围即可．【解答过程】解：（1）当直线l 过原点时，该直线l 在x 轴和y 轴上的截距为零， ∴a ＝3，方程即为4x +y ＝0； 若a ≠3，则3−a a+1=3﹣a ，即a +1＝1，∴a ＝0，方程即为x +y ﹣3＝0， ∴a 的值为0或3． （2）若l 不经过第三象限，直线l 的方程化为y ＝﹣（a +1）x +3﹣a ， 则{−(a +1)≤03−a ≥0，解得﹣1≤a ≤3，∴a的取值范围是[﹣1，3]．21．（8分）（2020秋•寿光市校级期中）求适合下列条件的直线方程：（1）经过点A（2，﹣3），并且其倾斜角等于直线x−√3y+1=0的倾斜角的2倍的直线方程．（2）求经过点A（﹣2，2）并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程．【解题思路】（1）首先利用点斜式的应用求出直线的方程．（2）利用截距式的应用和三角形的面积求出直线的方程．【解答过程】解：（1）因为直线x−√3y+1=0的斜率为√3，所以其倾斜角为30°，所以，所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为√3，又所求直线经过点A（2，﹣3），所以其方程为y+3=√3(x−2)，即√3x−y−3−2√3=0，（2）设直线方程为xa +yb=1，则{12|ab|=1−2 a +2b=1，解得{a=2b=1或{a=−1b=−2，故所求的直线方程为：x+2y﹣2＝0或2x+y+2＝0．22．（8分）（2021春•瑶海区月考）直线l经过点A（1，2）．（1）直线l与两个坐标轴围成的三角形的面积是4的直线方程；（2）直线l与两个坐标轴的正半轴组成的三角形面积最小时的直线方程．【解题思路】（1）利用待定系数法，设出直线l的截距式方程，由题意列出a和b的方程组，求解即可；（2）利用基本不等式求解ab的最小值以及此时a，b的值，从而得到面积的最小值，求出此时的直线方程即可．【解答过程】解：（1）设直线l的方程为xa+yb=1，因为直线l经过点A（1，2），所以有1a+2b=1①，因为直线l与两个坐标轴围成的三角形的面积是4，所以12|a||b|=4②，由①②解得，a＝2，b＝4或a=−2−2√2，b=−4+4√2或a=−2+2√2，b=−4−4√2，故直线l的方程为x2+y4=1或−2−2√2+−4+4√2=1或−2+2√2+−4−4√2=1；（2）设直线l的方程为xa+yb=1（a＞0，b＞0），因为直线l经过点A（1，2），所以有1a+2b=1①，则1a+2b=1≥2√2ab，故ab≥8，当且仅当a＝2，b＝4时取等号，直线l与两个坐标轴的正半轴围成的三角形的面积是S=12ab≥12×8=4，故此时直线l的方程为x2+y4=1．专题2.5 直线的方程（二）-重难点题型精讲1．求直线方程的一般方法(1)直接法直线方程形式的选择方法：①已知一点常选择点斜式；②已知斜率选择斜截式或点斜式；③已知在两坐标轴上的截距用截距式；④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况.(2)待定系数法先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程.利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程.若已知直线过定点求方程，也可以利用斜截式、截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况).2．两条直线的位置关系3．直线系方程具有某一种共同属性的一簇直线称为直线系，其方程称为直线系方程.直线系方程通常只含有一个独立参数，常见的直线系方程有以下几类：4．直线方程的实际应用利用直线方程解决实际问题，一般先根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，从而能够为解决问题指明方向，避免解决问题出现盲目性.【题型1 求直线方程】【方法点拨】1.直接法：根据所给条件，选择合适的直线方程形式，进行求解即可.2.待定系数法：先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程.【例1】（2021春•瑶海区月考）直线l分别交x轴和y轴于A、B两点，若M（2，1）是线段AB 的中点，则直线l的方程为（）A．2x﹣y﹣3＝0 B．2x+y﹣5＝0 C．x+2y﹣4＝0 D．x﹣2y+3＝0【解题思路】首先，设直线的方程，然后根据中点坐标公式，即可求出a，b的值，可得直线方程．。
高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册第二章2.2节直线的方程课后练习
福建省2020-2021学年第一学期人教A 版（2019）选择性必修第一册2.2节直线的方程课后练习一、单选题1．如果0ac <，0bc >，那么直线0ax by c 不通过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知在ABC 中，其中(1,4)B ，(6,3)C ，BAC ∠的平分线所在的直线方程为10x y -+=，则ABC 的面积为（ ）A ．B ．C ．8D ．3．无论m 取何实数，直线:120l mx y m +-+=恒过一定点，则该定点坐标为（ ）A ．()-21，B ．()2,1--C ．()2,1D ．()2,1-4．任意三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这个结论首先是由瑞士数学家欧拉（Euler ，1707﹣1783）发现，因此，这条直线被称为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点B （5，0），C （0，1），且AB ＝AC ，则△ABC 的欧拉线方程为（ ） A ．5x ﹣y ﹣12＝0B ．5x ﹣y ﹣24＝0C ．x ﹣5y +12＝0D ．x ﹣5y ＝05．过点P (1，12)且倾斜角为45的直线在y 轴上的截距是（ ） A ．10-B ．10C ．11-D ．116．已知直线l 的方程为20200x -+=，则l 的斜率为（ ）A ．B ．C D7．直线l 过点(1,2)P ，且(2,3)M 、(4,5)N -到l 的距离相等，则直线l 的方程是( )A ．460x y +-=B ．460x y +-=C ．3270x y +-=或460x y +-=D ．2370x y +-=或460x y +-=8．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知ABC ∆的顶点为()0,0A ，()5,0B ，()2,4C ，则该三角形的欧拉线方程为（ ）．注：重心坐标公式为横坐标：1233x x x ++； 纵坐标：1233y y y ++A ．2100x y --=B ．250x y --=C ．2100x y +-=D ．250x y +-=二、填空题9．已知直线:120()l kx y k k -++=∈R ，则该直线过定点__________．10．已知直线l ：210x y +-=，则过点()1,2-且垂直于l 的直线方程为__________.11．点(3,1)P -在动直线(1)(1)0m x n y -+-=上的投影为点M ，若点()3,3N ，那么MN 的最小值为________.12．已知圆22:1O x y +=，定点()3,0M ，过点M 的直线l 与圆O 交于P 、Q 两点，P 、Q 两点均在x 轴的上方，如图，若OP 平分MOQ ∠，则直线l 的方程为________.三、解答题13.已知直线 l 经过点 A(1,3) ，斜率 k =1 . （1）求直线 l 的方程；（2）求圆心在原点，且经过直线 l 与 y 轴的交点 B 的圆的方程. 14.设直线 4x +3y =10 与 2x −y =10 相交于一点 A . （1）求点 A 的坐标；（2）求经过点 A ，且垂直于直线 3x −2y +4=0 的直线的方程.15.已知抛物线 C ： y 2=2x 的焦点为 F ，平行于 x 轴的两条直线 l 1,l 2 分别交C 于 A ，B 两点，交C 的准线于 P ，Q 两点．（Ⅰ）若 F 在线段 AB 上， R 是 PQ 的中点，证明 AR//FQ ；（Ⅱ）若 ΔPQF 的面积是 ΔABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程. 16.已知圆 O:x 2+y 2=4 ，点P 坐标为 (1,0) ．（1）如图1，斜率存在且过点P 的直线l 与圆交于 A,B 两点．①若 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3 ，求直线 l 的斜率； ②若 AP⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线l 的斜率．（2）如图2， M,N 为圆O 上两个动点，且满足 PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，Q 为 MN 中点，求 OQ 的最小值．参考答案1．B2．C3．A4．A5．D6．C7．C8．D9．(2,1)-10．240x y -+=11．2-12．)3y x =- 13.【答案】 （1）解：由点斜式方程得 y −3=1×(x −1) ， 化简得 x −y +2=0（2）解：由（1）知直线 l 与 y 轴的交点 B(0,2) ， 则圆的半径 r =2 .所以圆的标准方程是 x 2+y 2=4 .【解析】（1）根据条件，利用点斜式写出方程即可.（2）先由（1）得到直线 l 与 y 轴的交点 B(0,2) ，然后求得半径，写出圆的方程.14.【答案】 （1）解：由 {2x −y =104x +3y =10，解得 {x =4y =−2 ，因此，点 A 的坐标为 (4,−2)（2）解：直线 3x −2y +4=0 的斜率为 32 ，垂直于直线 3x −2y +4=0 的直线斜率为 −23 ， 则过点 (4,−2) 且垂直于直线 3x −2y +4=0 的直线的方程为 y +2=−23(x −4) ， 即： 2x +3y −2=0 .【解析】（1）将两直线方程联立，求出方程组的公共解，即可得出点 A 的坐标；（2）求出直线 3x −2y +4=0 的斜率，可得出垂线的斜率，然后利用点斜式方程可得出所求直线的方程，化为一般式即可. 15.【答案】 解：由题设 F(12,0) ，设 l 1:y =a,l 2:y =b ，则 ab ≠0 ，且 A(a 22,0),B(b 22,b),P(−12,a),Q(−12,b),R(−12,a+b2) ．记过 A,B 两点的直线为 l ，则 l 的方程为 2x −(a +b)y +ab =0 （Ⅰ）由于 F 在线段 AB 上，故 1+ab =0 ，记 AR 的斜率为 k 1,FQ 的斜率为 k 2 ，则 k 1=a−b1+a 2=a−ba 2−ab =1a =−ab a=−b =k 2 ，所以 AR//FQ（Ⅱ）设 l 与x 轴的交点为 D(x 1,0) ，则 S ΔABF =12|b −a||FD|=12|b −a||x 1−12|,S ΔPQF =|a−b|2，由题设可得 12|b −a||x 1−12|=|a−b|2，所以 x 1=0 （舍去）， x 1=1 ．设满足条件的 AB 的中点为 E(x,y) ．当 AB 与x 轴不垂直时，由 k AB =k DE 可得 2a+b =yx−1(x ≠1) ． 而a+b 2=y ，所以 y 2=x −1(x ≠1) ．当 AB 与 x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为 y 2=x −1 【解析】设 A(a 22,0),B(b 22,b),P(−12,a),Q(−12,b),R(−12,a+b2) ⇒ l 的方程为 2x −(a +b)y +ab =0 ．（Ⅰ）由 F 在线段 AB 上 ⇒ 1+ab =0 ，又 k 1=a−b1+a 2=a−ba 2−ab =1a =−ab a =−b =k 2 ⇒AR//FQ ；（Ⅱ）设 l 与 x 轴的交点为 D(x 1,0) ⇒ S ΔABF =12|b −a||FD|=12|b −a||x 1−12|,S ΔPQF =|a−b|2⇒ 12|b −a||x 1−12|=|a−b|2⇒ x 1=0 （舍去）， x 1=1 ．设满足条件的 AB 的中点为 E(x,y) ．当 AB 与x 轴不垂直时 ⇒ 2a+b =yx−1(x ≠1) ⇒ a+b 2=y ⇒ y 2=x −1(x ≠1) ．当 AB 与x 轴垂直时 ⇒ E 与 D 重合 ⇒ 所求轨迹方程为 y 2=x −1 ．16.【答案】 （1）解：①设直线l 的方程为： y =k(x −1) ， A(x 1,y 1) ， B(x 2,y 2) ． 联立方程得： {x 2+y 2=4y =k(x −1) ，消去y 整理可得： (1+k 2)x 2−2k 2x +k 2−4=0 ．∵Δ=4k 4−4(1+k 2)(k 2−4)=12k 2+16>0 恒成立， ∴ 由韦达定理可得： x 1+x 2=2k 21+k 2 ①， x 1x 2=k 2−41+k 2②．又 ∵OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3 ， ∴x 1x 2+y 1y 2=−3 ，即 x 1x 2+k 2(x 1−1)(x 2−1)=−3 ．整理可得： (1+k 2)x 1x 2−k 2(x 1+x 2)+k 2+3=0 ． 将①②代入可得： k 2−4−2k 41+k 2+k 2+3=0 ．∴(2k 2−1)(1+k 2)−2k 4=0 ，化简得： k 2=1 ． ∴ 直线 l 的斜率 k 的值为 −1 或1．② ∵ 点 P(1,0) ， ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−x 1,−y 1) ， PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−1,y 2) ． AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴{1−x 1=2(x 2−1)−y 1=2y2，整理可得 {x 1=−2x 2+3y 1=−2y 2． ∵A,B 都在圆O 上， ∴{x 12+y 12=4x 22+y 22=4 ，即 {(−2x 2+3)2+(−2y 2)2=4③x 22+y 22=4④． ③-④可得： x 2=74 ．将 x 2=74 代入 x 22+y 22=4 解得： y 2=±√154．∴ 此时，直线 l 的斜率 k 的值为 √153或 −√153．（2）如图，连结 OM,ON,PQ ．∵PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ， ∴PM ⊥PN ， 又Q 为 MN 中点， ∴PQ =QM ． ∵M,N 为圆上两点， ∴OM =ON =2 ，又Q 为 MN 中点， ∴OQ ⊥MN ．∴OQ 2+QM 2=OM 2=4 ，又 PQ =QM ， ∴OQ 2+PQ 2=4 ． 设点Q 的坐标为 (x,y)∴x 2+y 2+(x −1)2+y 2=4 ，整理可得： (x −12)2+y 2=74 ． ∴Q 点的轨迹是以 (12,0) 为圆心， √72为半径的圆．∴OQ min =√7−12． 【解析】（1）设直线 l 的方程为： y =k(x −1) ， A(x 1,y 1) ， B(x 2,y 2) ，联立直线与圆的方程，消元列出韦达定理，由 OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3 ，则 x 1x 2+y 1y 2=−3 ，即 x 1x 2+k 2(x 1−1)(x 2−1)=−3 ，即可求出 k 的值；由 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 {1−x 1=2(x 2−1)−y 1=2y 2 ，解方程组即可；（2）连结 OM,ON,PQ ，依题意可得 PM ⊥PN ，可得 OQ 2+PQ 2=4 ，设点Q 的坐标为 (x,y) ，即可得动点Q 点的轨迹；。
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第10天 直线的方程
高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★☆☆☆
典例在线
倾斜角为60°，在y 轴上的截距为–1的直线方程是
A 10y --=
B 10y -+=
C 310y --=
D 310y +-=
【参考答案】A
【名师点睛】
1．直线方程
（1）点斜式：11()y y k x x -=-直线斜率k ，且过点()11,x y
求直线的点斜式方程的步骤：
①确定定点坐标；
②求出直线的斜率；
③代入公式，写出方程．
特别提醒：斜率不存在时，过点00) (
P x y ，的直线与x 轴垂直，直线上所有点的横坐标相等都为0x ，故
直线方程为0x x =．
（2）斜截式：y kx b =+，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b
（3）两点式：112121
y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,x y ，()22,x y ①方程也可写成
221212y y x x y y x x --=--，两者形式有异但实质相同； ②当直线斜率不存在12()x x =或斜率为零12()y y =时，不能用两点式表示；
③如果将直线两点式转化为：211211()()()()x x y y y y x x -=---，此时只要直线上两点不重合，都可以用它表示出来（即这个变形方程可以表示过任意已知两点的直线）．
特别提醒：用直线的两点式表示方程时，一定要先确定直线的斜率存在且不为零，否则就需对直线的斜率进行探讨．
（4）截矩式：
1x y a b
+=其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ，与y 轴交于点(0,)b ，即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b ．
（5）一般式：0Ax By C ++=（A ，B 不全为0）．
2．直线方程的选择：
已知直线的斜率和直线上点的坐标时，选用点斜式；已知直线的斜率和在y 轴上的截距时，选用斜截式；已知直线上两点坐标时，选用两点式；已知直线在x 轴，y 轴上的截距时，选用截距式．
3．直线系方程：即具有某一共同性质的直线
（1）把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系．一般地，与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程都可表示为0Ax By m ++= (其中m 为参数且m ≠C )，然后依据题设中另一个条件来确定m 的值．
（2）一般地，与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程都可表示为0Bx Ay m -+= (其中m 为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定m 的值．
（3）当直线过定点000(,)P x y 时，我们可设直线方程为00()y y k x x -=-．由此方程可知，k 取不同的值时，它就表示不同的直线，且每一条直线都经过定点000(,)P x y ，当k 取遍所允许的每一个值后，这个方程就表示经过定点0P 的许多直线，所以把这个方程叫做过定点0P 的直线系方程．
由于过点000(,)P x y 与x 轴垂直的直线不能被00()y y k x x -=-表示，因此直线系00()y y k x x -=- (k ∈R )中没有直线0x x =．
学霸推荐
1．若直线mx+y–1=0与直线x–2y+3=0平行，则m的值为
A．1
2
B．
1
2
-C．2 D．–2
2．下列直线中与直线2x+y+1=0垂直的一条是
A．2x–y–1=0 B．x–2y+1=0 C．x+2y+1=0 D．x+1
2
y–1=0
3．直线2x+y+1=0的斜率为k，在y轴上的截距为b，则
A．k=2，b=1 B．k=–2，b=–1 C．k=–2，b=1 D．k=2，b=–1 4．直线2x+y–1=0在y轴上的截距为
A．–2 B．–1 C．
1
2
-D．1
5．在y轴上的截距为–6，且与y轴相交成60°角的直线方程是__________．
6．直线l过点P（–1，3）若直线l的倾斜角为45°，求l的方程．（用一般式表示）
7．已知一条直线经过点(2
P-，Q（–1，0），求直线PQ的方程．（用一般式表示）
1．【答案】B
【解析】∵直线mx+y–1=0与直线x–2y+3=0平行，∴它们的斜率相等，∴–m=1
2
，∴m=–
1
2
，故选B．
4．【答案】D
【解析】直线2x+y–1=0化为：y=–2x+1，可得直线2x+y–1=0在y轴上的截距为1．故选D．
5．【答案】y=x–6
【解析】与y轴相交成60°角的直线的倾斜角为30°或150°．
可得斜率为tan30°或tan150°．即斜率为．
所以所求直线的方程为y=x–6．故答案为y=x–6．6．【答案】答案详见解析．
【解析】若直线l的倾斜角为45°，则斜率为tan45°=1，
又因为直线l过点P（–1，3）
由直线方程的点斜式，得l的方程为y–3=1×（x+1），
整理为一般式，得x–y+4=0．。