教学内容§1.5标架与坐标一、空间中的标架与坐标系的有关概念1.标

教学内容
§1.5标架与坐标
一、空间中的标架与坐标系的有关概念
1. 标架
仿射标架（简称为标架）：是指空间中的一个定点O ，连同三个不共面的有序向量 321,,e e e 的全体，记为{O ；321,,e e e }。

笛卡尔标架：{O ；321,,e e e }，其中321,,e e e 都是单位向量。

笛卡尔直角标架（简称为直角标架）：{O ；321,,e e e }，其中3
21,,e e e 都是单位向量，且两两垂直。

注：笛卡尔标架，直角标架是特殊的标架。

2. 左手标架与右手标架
根据标架中321,,e e e 的相互关系，标架分左手标架与右手标架所谓右手标架入图所示，它的特征是：将右手的拇指和食指分别指向1e 和2e 的方向时中指的方向与3e 的方向在由1e 和2e 所在平面的同一侧。

3. 空间向量的坐标
取定标架{O ；321,,e e e }，r
为空间向量，因321,,e e e 不共面，
e
e
e
O
e
e
e
O
所以由定理 1.4.3 知，r 可分解为321,,e e e 的线性组合： r
=321e z e y e x ++，这里x,y,z 是唯一确定的一组有序实数，上式中的x,y,z 叫做r 关于标架{O ；321,,e e e }的坐标或分量，记作r {x,y,z}
或{x,y,z}。

4．空间中点的坐标： 取定标架{O ；321,,e e e }，设P 为空间中的点，OP 叫做点P 的向径，向径OP 关于标架{O ；
321,,e e e }的坐标x,y,z 叫做P 关于标架{O ；321,,e e e }的坐标，记为P(x,y,z)或(x,y,z)。

5. 坐标系
定义：取定标架以后，由向量（点）的坐标概念可知，全体向量（点）的集合与全体有序三数组有一一对应关系，这种一一对应关系叫空间向量（点）的一个坐标系。

常用表示：显然，空间坐标系由标架{O ；321,,e e e }，因此空间
坐标系也用标架{O ；321,,e e e }来表示，这时O 称为坐标原点，3
21,,e e e 称为坐标向量。

由右（左）手标架决定的坐标系称为右（左）手坐标系。

由仿射标架（笛卡尔标架，直角标架）所确定的坐标系称为仿射坐标系（笛卡尔坐标系，直角坐标系）
注：笛卡尔坐标系，直角坐标系都是特殊的仿射坐标系。

约定：0
1今后用到直角坐标系时，其单位坐标向量用k j i
,,表示，即用{O ；k j i
,,}表示直角坐标系。

02今后讨论空间间距时，一般采用空间右手直角坐标系。

6. 坐标轴与坐标面:
过点O 沿三坐标向量 321,,e e e 的方向引三轴ox,oy,oz 这样，我们也可以用条具有公共点O 的不共面的轴ox,oy,oz 来表示空间坐标系，并把它记做O —xyz,这时，点O 叫做空间坐标系的原点，三轴ox,oy,oz 叫做坐标轴，依次叫x 轴，y 轴，z 轴。

每两条坐标轴所决定的平面
叫坐标面，按照坐标面所含的坐标轴，分别叫做xoy 平面，yoz 平面，xoz 平面。

三个坐标面把空间分成八个区域，每个区域都叫做卦限，如图所示，分别叫第Ⅰ，Ⅱ，…，Ⅷ卦限。

7. 特殊点的坐标
原点：O （0，0，0）, x 轴上的点：（x,0,0）, y 轴上的点：（y,0,0）, z 轴上的点：（z,0,0）,
xoy 平面上的点：（x,y,0）, yoz 平面上的点：（0,y,z ）, ,xoz 平面上的点：（x,0,z ）。

8. 同一卦限内的点的坐标的符号一致。

注：平面上的标架与坐标的有关概念与空间中的情形类似。

二、利用坐标进行向量的运算
在取定标架后，由于向量与其坐标唯一确定，因此，对每个向量r
我们可以把它和它的坐标{x,y,z}等同起来，今后我们常用式
子，r
={x,y,z}，其含义有二：
01r
是坐标为{x,y,z}的向量。

02r
的坐标为{x,y,z}。

1. 用向量的始、终点坐标计算向量的坐标。

定理1.5.1 设r
=21P P ，1P ),,(111z y x ，2P ),,(222z y x ， 则r
=},,{121212z z y y x x ---。

证明：r
=)()(31211132221212e z e y e x e z e y e x OP
OP ++-++=-
=312212112)()()(e z z e y y e x x -+-+-
=},,{121212z z y y x x ---。

2. 用向量的坐标进行向量的线性运算。

定理1.5.2
设a =},,,{111z y x },,,{222z y x b =
则 a +b =}
,,{212121
z z y y x x +++。

证明：因为
a +
b =)
()(322212312111e z e y e x e z e x e x +++++
=321221121)()()(e z z e y y e x x +++++
所以a +b =}
,,{212121z z y y x x +++。

定理1.5.3 设a ={X,Y,Z},则
=a
λ},,{Z Y X λλλ。

z
y
P 1
证明：
=a λ321321)()()()(e Z e Y e X e z e y e x λλλλ++=++， 所以 =a
λ},,{Z Y X λλλ。

三、两向量共线、共面的坐标描述
定理1.5.4 两个非零向量a =},,,{111z y x },,,{222z y x b =
共线⇔
21
2121Z Z Y Y X X =
=。

证明：a ，b 共线⇔a ，b 线性相关⇔a
，b 中至少有一向量
可由其余向量线性表示，（不妨设a
=b λ）
⇔},,{},,{222111Z Y X Z Y X λλλ=，即
212121,,Z Z Y Y X X λλλ=== ⇔21
2
121Z Z Y Y X X ==。

推论：三个点A ),,(111z y x ,B ),,(222z y x 和C ),,(333z y x 共线当且仅当
131
2131213
12z z z z y y y y x x x x --=--=-- 证明：
),,,{121212z z y y x x AB ---=},,{131313z z y y x x AC ---=， 而A,B,C 共线⇔AC AB ,共线⇔
131
213121312z z z z y y y y x x x x --=
--=--。

定理1.5.5 三个非零向量
a =},,,{111z y x },,,{222z y x
b = },,{333z y x
c = 共面，当且仅当
3
3
3
222111Z Y X Z Y X Z Y X =0.
证明：c b a ,,共面⇔c b a
,,线性相关⇔存在不全为零的
νμλ,,R ∈，使得
}0,0,0{},,{321321321=++++++z z z y y y x x x νμλνμλνμλ，即
⎪⎩⎪⎨⎧==++++=++000321321321z z z y y y x x x νμλνμλνμλ⇔⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0
00332211332211332211w z w z w z w y w y w y w x w x w x
有非零解⇔003
3
3
222111
32
1
3213
21
=⇔=z y x z y x z y x z z z
y y y x x x 。

推论： 四个点)4,3,2,1)(,,(=i z y x A i i i i 共面
01
41
41
4131313121212=---------⇔z z y y x x z z y y x x z z y y x x
或
01
11
144
4
333
222111=z y x z y x z y x z y x 。

证明：)4,3,2,1)(,,(=i z y x A i i i i 共面413121,,A A A A A A ⇔共面
01
41
41
413131
3121212=---------⇔z z y y x x z z y y x x z z y y x x 。

四、线段的定比分点坐标
定义：对有向线段21P P （21P P ≠），若点P 满足21PP P P
λ=，则称P 是把有向线段21P P
分成定比λ的分点。

注：0
1由定义可知定比分点2P P ≠，否则，02221
==P P P P
λ，因此21P P =，与21P P ≠矛盾。

021-≠λ，否则有21PP P P -=，则)(121OP OP OP OP --=-，
因此21OP OP
=，从而21P P =，与21P P ≠矛盾。

03 给定了点21,P P ，定比分点P 就由λ唯一确定。

当0>λ时，
21,PP P P 同向，点P 是线段21P P 内部的点。

当)1(0-≠<λλ时，21,PP P P 反向，点P 是线段21P P
外部的点。

当0=λ时，1,P P 重合。

下面来考虑分已知有向线段21P P
成定比λ的分点P 的坐标。

定理 1.5.6 设;2,1),,,(=i z y x P i i i i 21P P ≠，则分有向线段21P P
成定比λ（1-≠λ）的分点的坐标是：
λλλλλλ++=++=++=
1,1,12
1
2121z z z y y y x x x 。

证明：由题意知 21PP P P
λ=，设P 的坐标为{x,y,z},则 },,{1111z z y y x x P P ---=，
)}(),(),({2222z z y y x x PP ---=λλλλ，
那么)(),(),(212121z z z z y y y y x x x x -=--=--=-λλλ， 因此
λλλλλλ++=++=++=
1,1,12
1
2121z z z y y y x x x 。

推论：设;2,1),,,(=i z y x P i i i i 则线段21P P
的中点坐标是 2,2,22
1
2121z z z y y y x x x +=+=+=。

证明：线段21P P
的中点是分有向线段21P P 成定比λ=1的分点，故由定理1.5.6即得结论。

例 已知三角形三个顶点为
;2,1),,,(=i z y x P i i i i
求Δ321P P P
的重心的坐标。

解：设Δ321P P P
的三条中线)3,2,1(=i M P i i ，如图所示，设G
为Δ321P P P
的重心，则112GM G P =，因为1M 为32P P 的中点，所以 )2,2,2(
3
232321z z y y x x M +++,
由有向线段的定比分点坐标公式得G 的坐标为：
),
(312122),(312122
3213
2
1321321y y y y y y y x x x x x x x ++=+++=++=+++=
)
(312122
3213
21z z z z z z z ++=+++=。

作业题：习题1.5：1----10。