高考数学压轴专题最新备战高考《平面向量》经典测试题附答案解析

高考数学《平面向量》课后练习
一、选择题
1．在菱形ABCD 中，4AC =，2BD =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE DF ⋅=u u u r u u u r
（ ）
A ．134
-
B ．
54
C ．5
D ．
154
【答案】B 【解析】 【分析】
据题意以菱形对角线交点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出,DE DF u u u r u u u r
，再
根据坐标形式下向量的数量积运算计算出结果. 【详解】 设AC 与BD 交于点O ，以O 为原点，BD u u u r 的方向为x 轴，CA u u u r
的方向为y 轴，建立直角
坐标系，
则1,12E ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，1,12F ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(1,0)D ，3,12DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，3,12DF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，
所以95144
DE DF ⋅=-=u u u r u u u r .
故选：B. 【点睛】
本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题，难度一般.长方形、正方形、菱形中的向量数量积问题，如果直接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解.
2．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，2AE EB =u u u r u u u r
，AB AC λ=u u u r u u u r ，若9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
，则实数λ=( )
A B C D 【答案】D 【解析】 【分析】
将AO u u u r 、EC uuu r 用AB u u u r 、AC u u u
r 表示，再代入9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 中计算即可. 【详解】 由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r
，知O 为ABC ∆的重心，
所以211()323
AO AB AC =⨯+=u u u r u u u r u u u r ()AB AC +u u u r u u u r ，又2AE EB =u u u r u u u r ，
所以23
EC AC AE AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，93()AO EC AB AC ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 2()3AC AB -u u u
r u u u r
2223AB AC AB AC AB AC =⋅-+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2223AB AC
=u u u r u u u r ，||2||
AB AC λ===u u u r
u u u r . 故选：D 【点睛】
本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.
3．下列说法中说法正确的有（ ）
①零向量与任一向量平行；②若//a b r
r
，则()a b R λλ=∈r
r
；
③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r
④||||||a b a b +≥+r r r r ；⑤若0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r ，则A ，B ，C
为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； A ．①④ B ．①②④
C ．①②⑤
D ．③⑥
【答案】A 【解析】 【分析】
直接利用向量的基础知识的应用求出结果. 【详解】
对于①：零向量与任一向量平行，故①正确；
对于②：若//a b r r ，则()a b R λλ=∈r r ，必须有0b ≠r r
，故②错误；
对于③：()()
a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r ，a r 与c r 不共线，故③错误； 对于④：a b a b +≥+r r r r
，根据三角不等式的应用，故④正确；
对于⑤：若0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r ，则,,A B C 为一个三角形的三个顶点，也可为0r
，故⑤
错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误.
综上：①④正确. 故选：A. 【点睛】
本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．
4．已知O 是平面上一定点，满足()||cos ||cos AB AC
OP OA AB B AC C
λ=++u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u
r u u u r ，[0λ∈，)+∞，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） A ．外心 B ．垂心
C ．重心
D ．内心
【答案】B 【解析】 【分析】
可先根据数量积为零得出BC uuu r 与()||cos ||cos AB
AC AB B AC C
λ+u u u r
u u u r
u u u
r u u u r 垂直，可得点P 在BC 的高线
上，从而得到结论．
【详解】
Q ()||cos ||cos AB AC
OP OA AB B AC C
λ=++u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u
r u u u r ， ∴()||cos ||cos AB AC
OP OA AB B AC C λ-=+u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u
r u u u r ， 即()||cos ||cos AB AC
AP AB B AC C
λ=+u u u r u u u r
u u u r u u u
r u u u r ， Q
cos BA BC
B BA B
C ⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，cos CA CB C CA CB
⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴()0||cos ||cos AB AC
BC BC BC AB B AC C
⋅+=-+=u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r ， ∴BC uuu r 与()||cos ||cos AB AC
AB B AC C
λ+u u u r u u u r
u u u
r u u u r 垂直， 即AP BC ⊥uu u r uu u r ，
∴点P 在BC 的高线上，即P 的轨迹过ABC ∆的垂心.
故选：B ． 【点睛】
本题重点考查平面向量在几何图形中的应用，熟练掌握平面向量的加减运算法则及其几何意义是解题的关键，考查逻辑思维能力和转化能力，属于常考题.
5．如图，在ABC V 中，AD AB ⊥，BC =u u u v u u v ，1AD =u u u v ，则AC AD ⋅=u u u v u u u v
（ ）
A ．23
B ．
3 C ．
3 D ．3
【答案】D 【解析】
∵3AC AB BC AB BD =+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
，∴
(3)3AC AD AB BD AD AB AD BD AD ⋅=+⋅=⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，
又∵AB AD ⊥，∴0AB AD ⋅=uuu r
，
∴
33cos 3cos 33
AC AD BD AD BD AD ADB BD ADB AD u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
⋅=⋅=⋅∠=⋅∠==， 故选D ．
6．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅=u u u v u u u v
（）
A ．4
B ．6
C ．23
D ．43
【答案】B 【解析】 【分析】
根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果． 【详解】 如图所示，
菱形形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，
∴120C ∠=︒，∴22222222cos12012BD =+-⨯⨯⨯︒=， ∴23BD =30BDC ∠=︒，
∴|||3
302|326BD CD BD CD cos =⨯⨯︒==⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，
故选B ． 【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于基础题.．
7．已知a =r 2b =r ，且()(2)b a a b -⊥+r r
r r ，则向量a r 在向量b r 方向上的投影为
（ ） A ．-4 B ．-2
C ．2
D ．4
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量垂直，数量积为0，求出a b r r g ，即求向量a r 在向量b r
方向上的投影a b b ⋅r r r .
【详解】
()(2),()(2)0b a a b b a a b -⊥+∴-+=r r r r r r r r Q g ， 即2220b a a b -+=r r r r g .
2,8a b a b ==∴=r r r r Q g ，
所以a r 在b r
方向上的投影为4a b b
⋅=r r r .
故选：D . 【点睛】
本题考查向量的投影，属于基础题.
8．平面向量a →与b →
的夹角为π3
，()2,0a →
=，1b →=，则2a b →→-=（ ）
A ．B
C ．0
D ．2
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量的模的计算和向量的数量积的运算即可求出答案. 【详解】
()2,0a →
=Q ，
||2a →
∴=
2
2
222(2)||4||444421cos 43
a b a b a b a b π
→
→→
→
∴-=-=+-⋅=+-⨯⨯⨯=r r r r ，
|2|2a b ∴-=r r
，
故选：D 【点睛】
本题考查了向量的模的计算和向量的数量积的运算，属于中档题.
9．如图，AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条直径，3AE EO =u u u v u u u v ，则•EC ED u u u v u u u v
的值是（ ）
A ．4
5
-
B ．1516
-
C ．14
-
D ．58
-
【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量表示化简数量积，即得结果. 【详解】
()()()()
•••EC ED EO OC EO OD EO OC EO OC =++=+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
222115
1416EO OC ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭
u u u v u u u v ,选B.
【点睛】
本题考查向量数量积，考查基本分析求解能力，属基础题.
10．已知向量(3b =r ，向量a r 在b r
方向上的投影为6-，若()a b b λ+⊥r r r ，则实数λ的
值为（ ） A ．
1
3
B ．13
-
C ．
23
D ．3
【答案】A 【解析】 【分析】
设(),a x y =r 36x y +=-，()
34x λ=-，整体代换即可得解.
【详解】 设(),a x y =r
，
Q a r 在b r
方向上的投影为6-，∴362a b x b
⋅+=
=-r r
r 即312x y +=-. 又 ()a b b λ+⊥r r r
，∴()0a b b λ+⋅=r r r 即1330x y λλ++=，
∴()
34x y λ+=
-即124λ-=-，解得13
λ=
. 故选：A. 【点睛】
本题考查了向量数量积的应用，属于中档题.
11．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，3
BAC π
∠=，若23
BD BC =
u u u v
u u u
v ，则AD BD ⋅=u u u v u u u v （ ） A ．
229
B ．229
-
C ．
169
D ．89
-
【答案】A 【解析】 【分析】
本题主要是找到两个基底向量AB u u u v ，AC u u u v ，然后用两个基底向量表示AD u u u v ，BD u u u v
，再通过
向量的运算即可得出结果． 【详解】
解：由题意，画图如下：
则：()
22223333
BD BC AC AB AB AC ==
-=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u
v u u u v ， 2233AD AB BD AB AB AC =+=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 1233
AB AC =+u u u v u u u v .
∴12223333AD BD AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 22242999
AB AC AB AC =-⋅+⋅-⋅⋅u u u
v u u u v u u u v u u u v
24249cos 999
AB AC BAC =-⋅+⋅-⋅⋅⋅∠u u u
v u u u v
82423cos 993π=-+-⋅⋅⋅
229
=. 故选A ． 【点睛】
本题主要考查基底向量的建立以及用两个基底向量表示别的向量，考查平面向量的数量积的计算．本题属基础题．
12．在ABC V 中，若2AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
，则AB BC
=u u u v u u u v （ ）
A ．1 B
．
2
C
．
2
D
．
2
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，由AB BC BC CA ⋅=⋅uu u v uu u v uu u v uu v
可以推得AB AC =，再利用向量运算的加法法则，即可求得结果． 【详解】
由题意得，AB BC BC CA ⋅=⋅uu u v uu u v uu u v uu v ，即A A =0+BC B C ⋅uu u v uu u v uuu v
（），设BC 的中点为D ，则
AD BC ⊥，即ABC V 为等腰三角形，B=C AB AC =∠∠，
又因为2BC CA CA AB ⋅=⋅uu u v uu v uu v uu u v 即
2222222C C cos 2C 2C cos 112C +22232C 2AB BC CA A B AB BC B A CA B C
BC A BC A BC
⋅=⋅-=-+-
=-+⨯=uu u v uu u v uu v uu u v uuv uu u v uu u v uu u v uu v uuv
uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v （）
所以AB BC
=
uu u v uu u v 【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算．
13．已知平面直角坐标系xOy 中有一凸四边形ABCD ，且AB 不平行于,CD AD 不平行
于BC ．设AD 中点(,),E a b BC 中点(,)F b a -，且2
2
2a b +=，求||||AB DC +u u u r u u u r
的取
值范围（ ） A ．(4,)+∞ B ．[4,)+∞
C ．(0,4)
D ．(2,4)
【答案】A 【解析】 【分析】
根据AD 中点(,),
E a b BC 中点(,)
F b a -，通过向量运算得到2EF AB DC =+u u u r u u u r u u u r
，从而有
2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u r ，用两点间距离公式得到EF u u u r
，再根据AB 不平行于CD ，由||||AB D AB DC C ++>u u u r u u u r u u u r u u u r
求解.
【详解】
因为,EF ED DC CF EF EA AB BF =++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，
所以2EF AB DC =+u u u r u u u r u u u r ，
又因为()()()22
2222EF a b b a a b =-++=+=u u u r ，
所以24AB DC EF +==u u u r u u u r u u r
，
因为AB 不平行于CD ，
所以||||AB D AB DC C ++>u u u r u u u r u u u r u u u r ，
所以||||4AB DC +>u u u r u u u r
.
故选：A 【点睛】
本题主要考查平面向量在平面几何中的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
14．已知ABC V 中，2,3,60,2,AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==，则AD BE ⋅=
u u u r u u u r
（ ）
A ．1
B ．2-
C ．
1
2
D ．12
-
【答案】C 【解析】 【分析】
以,BA BC u u u r u u u r
为基底，将,AD BE u u u r u u u r 用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解.
【详解】
222,,33
BD DC BD BC AD BD BA BC BA ===-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
,
11,22
AE EC BE BC BA =∴=+u u u r u u u r u u u r
,
211()()322
AD BE BC BA BC BA ⋅=-⋅+u u u r u u u r u u u
r u u u r u u u r u u u r
22
111362
BC BC BA BA =-⋅-u u u
r u u u r u u u r u u u r 111123622=-⨯⨯⨯=.
故选:C. 【点睛】
本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题.
15．已知平面向量,,a b c r r r 满足||||2a b ==r r ，a b ⊥r r
，()()a c b c -⊥-r r r r ，则(a b c ⋅r r r +)的取值
范围是( ) A ．[0,2] B
．[0,
C ．[0,4]
D ．[0,8]
【答案】D 【解析】 【分析】
以点O 为原点，OA u u u r ，OB uuu r
分别为x 轴，y 轴的正方向建立直角坐标系，根据AC BC ⊥，得到点C 在圆2
2
(1)(1)2x y -+-=，再结合直线与圆的位置关系，即可求解． 【详解】
设,,OA a OB b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r
，
以点O 为原点，OA u u u r ，OB uuu r
分别为x 轴，y 轴的正方向建立直角坐标系，则
(2,0),(0,2)A B ，
依题意，得AC BC ⊥，所以点C 在以AB 为直径的圆上运动，
设点(,)C x y ，则22
(1)(1)2x y -+-=，()22a b c x y +⋅=+r r r ，
由圆心到直线22x y t +=
的距离d =≤，可得[0,8]t ∈.
故选：D ． 【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，以及直线与圆的位置关系的综合应用，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力．
16．三角形ABC 中，5BC =，G ，O 分别为三角形ABC 的重心和外心，且
5GO BC ⋅=u u u r u u u r
，则三角形ABC 的形状是（ ）
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．上述均不是
【答案】B 【解析】 【分析】
取BC 中点D ，利用GO GD DO =+u u u r u u u r u u u r
代入计算，再利用向量的线性运算求解．
【详解】
如图，取BC 中点D ，连接,OD AD ，
则G 在AD 上，13GD AD =，OD BC ^， ()GO BC GD DO BC GD BC DO BC ⋅=+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
221111()()()53326
GD BC AD BC AB AC AC AB AC AB =⋅=⋅=⨯+⋅-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴2223025AC AB BC -=>=，∴2220AB BC AC +-<，
由余弦定理得cos 0B <，即B 为钝角，三角形为钝角三角形．
故选：B ．
【点睛】
本题考查平面向量的数量积，考查向量的线性表示，考查余弦定理．解题关键是取BC 中点D ，用,AB AC u u u r u u u r 表示出,GD BC u u u r u u u r ．
17．已知1F 、2F 分别为双曲线22
146x y -=的左、右焦点，M 为双曲线右支上一点且满足120
MF MF ⋅=u u u u v u u u u v ，若直线2MF 与双曲线的另一个交点为N ，则1MF N ∆的面积为（ ） A ．12
B ．2
C ．24
D ．242【答案】C
【解析】
【分析】 设1MF m =，2MF n =，根据双曲线的定义和12MF
MF ⊥，可求出6m =，2n =，再设2NF t =，则14NF t =+根据勾股定理求出6t =即可求出三角形的面积.
【详解】 解：设1MF m =，2MF n =， ∵1F 、2F 分别为双曲线22
146
x y -=的左、右焦点， ∴24m n a -==，122210F F c ==
∵120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v
，
∴12MF MF ⊥，
∴222440m n c +==，
∴()2222m n m n mn -=+-，
即2401624mn =-=，
∴12mn =，
解得6m =，2n =， 设2NF t =，则12
4NF a t t =+=+，
在1Rt NMF ∆中可得()()222426t t +=++，
解得6t =， ∴628MN =+=，
∴1MF N ∆的面积111862422S MN MF =
⋅=⨯⨯=. 故选C ．
【点睛】
本题考查了双曲线的定义和向量的数量积和三角形的面积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
18．已知单位向量,a b r r 满足313a b +=r r ，则a r 与b r 的夹角为
A ．6π
B ．4π
C ．3π
D ．2
π 【答案】C
【解析】
由313a b +=r r 22236913a b a a b b +=+⋅+=r r r r r r ，
又因为单位向量,a b r r ，所以1632a b a b ⋅=⇒⋅=r r r r ， 所以向量,a b r r 的夹角为1cos ,2a b a b a b ⋅〈〉==⋅r r r r r r ，且,[0,]a b π〈〉∈r r ，所以,3
a b π〈〉∈r r ，故选C.
19．在OAB ∆中，已知2OB =u u u v ，1AB u u u v =，45AOB ∠=︒，点P 满足(),OP OA
OB λμλμ=+∈R u u u v u u u v u u u v ，其中λ，μ满足23λμ+=，则OP u u u v 的最小值为（ ） A ．35 B ．25 C ．6 D ．62
【答案】A
【解析】
【分析】 根据2OB =u u u r ,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒,由正弦定理可得OAB ∆为等腰直角三角形,进而求得
点A 坐标.结合平面向量的数乘运算与坐标加法运算,用λ,μ表示出OP u u u r
.再由23λμ+=,将OP u u u r 化为关于λ的二次表达式,由二次函数性质即可求得OP u u u r
的最小值.
【详解】 在OAB ∆中,已知2OB =u u u r ,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒
由正弦定理可得sin sin AB OB AOB OAB
=∠∠u u u r u u u r 代入2sin 2OAB =∠,解得sin 1OAB ∠=
即2OAB π
∠=
所以OAB ∆为等腰直角三角形
以O 为原点,OB 所在直线为x 轴,以OB 的垂线为y 轴建立平面直角坐标系如下图所示:
则点A 坐标为22⎝⎭
所以22OA =⎝⎭u u u r ,)
2,0OB =
u u u
r
因为(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u r u u u r u u u r
则)22OP λμ
⎛ =+ ⎝⎭u u u
r ,22λλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=
则OP =u u u r
=
因为23λμ+=,则32μλ=-
代入上式可得
=
=所以当95λ=
时
, min 5
OP
==u u u r 故选:A
【点睛】
本题考查了平面向量基本定理的应用,正弦定理判断三角形形状,平面向量的坐标运算,属于中档题.
20．在ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且||1,||2AB AC ==u u u r u u u r
，120BAC ∠=︒，则||EB =u u u r （
） A
B
C
D 【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量的线性运算可得3144
EB AB AC =-u u u r u u u r u u u r ,利用22||B EB E =u u r u u u r u 及||1,||2AB AC ==u u u r u u u r ，120BAC ∠=︒计算即可.
【详解】
因为11131()22244
EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-⨯++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 所以22229311216441||6
EB AB AB B AC AC E =-⨯=⨯⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u
229311112()2168216
=⨯-⨯⨯⨯-+⨯ 1916
=
，
所以||4
EB =u u u r ， 故选：A
【点睛】 本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题.。