数学必修4优化训练：1.2.1任意角的三角函数 含解析 精

1.2 任意角的三角函数 1.
2.1 任意角的三角函数
5分钟训练（预习类训练，可用于课前）
1.任意角α，以角α的顶点为坐标原点，以角α的始边方向为x 轴正方向建立直角坐标系xOy ，P （x ，y ）为角α终边上不同于O 的任一点，r=
22y x +，则sin α
=_____________________，cos α=____________________________，tan α=_______________, cot α=_______________,sec α=_______________,csc α=_______________. 答案：
r y r x x y y
x
x y y r 2.sin α的定义域为_________________，cos α的定义域为_________________，tan α的定义
域为_______________. 答案：R R {α|α≠k π+
2
π
，k ∈Z } 3.已知点P （4，-3）是角α终边上一点，则下列三角函数值中正确的是( )
A.tan α=-3
4 B.cot α=-34
C.sin α=-5
4 D.cos α=53
思路解析：由三角函数的定义，知x=4，y=-3，r=5，cot α=y x =-3
4
，A 、C 、D 均错. 答案：B 4.如果cos α=-
2
1
，则下列是角α终边上的一点的是( ) A.P （1，3-） B.P （3-，1） C.P （3，-1） D.P （-1，
3）
思路解析：排除法：由余弦函数的定义cos α=
2
2y x x +及cos α=-
2
1
，知x ＜0，检验B 、D ，知D 正确.
直接法：也可以把A 、B 、C 、D 四个选项中的点的坐标代入求出cos α的值，易知D 正确. 答案：D
10分钟训练（强化类训练，可用于课中） 1.(2001 全国)若sin θcos θ>0，则θ在( )
A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第一、四象限
D.第二、四象限 思路解析：∵sin θcos θ>0,∴sin θ,cos θ同号. 当sin θ>0,cos θ>0时，θ在第一象限； 当sin θ<0,cos θ<0时，θ在第三象限. 答案：B
2.(2004 全国卷Ⅲ)已知函数y=tan(2x+φ)的图象过点（12
π
，0），则φ可以是( ) A ．-
6π B ．6π
C ．-12π
D ．12π
思路解析：将（12π，0）代入原函数可得y=tan(6
π
+φ)＝0，再将A 、B 、C 、D 的值代入检
验易得结果.
答案：A
3.已知点P 在角α的终边上且|OP|=1，则点P 的坐标是( ) A.（
2
2，22
） B.（21，23）
C.（
2
3，21
） D.（cos α，sin α） 思路解析：由三角函数定义及|OP|=2
2y x +=1，得cos α=x ，sin α=y.
∴P 点坐标为（cos α，sin α）. 答案：D
4.若θ为第一象限角，则能确定为正值的是( ) A.sin
2
θ B.cos 2θ C.tan 2θ D.cos2θ
思路解析：∵2k π＜θ＜2k π+2
π（k ∈Z ），∴k π＜
2
θ＜k π+
4
π
（k ∈Z ），4k π＜2θ＜4k
π+π（k ∈Z ）. 可知
2θ是第一、三象限角，sin 2θ、cos 2θ都可能取负值，只有tan 2
θ
能确定为正值.2θ是第一、二象限角，cos2θ可能取负值. ∴应选C. 答案：C
5.函数y=x x cos sin -+的定义域是_______________.
思路解析：依题意，得⎩
⎨
⎧≤≥⇔⎩⎨⎧≥-≥.0cos ,
0sin 0cos 0sin x x x x 故x 的范围是2k π+2
π
≤x ≤2k π+π（k ∈Z ）. 答案：［2k π+
2
π
，2k π+π］（k ∈Z ） 6.如果sin α<0且cos α<0，则角α是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
思路解析：由sin α＜0，则α终边位于第三象限或第四象限或y 轴的非正半轴上.由cos α＜0，则α终边位于第二象限或第三象限或x 轴的非正半轴上.所以角α的终边只能位于第三象
限.
答案：C
7.设α为第二象限角，其终边上一点为P （m ，5）且cos α=4
2
m ，则sin α的值为 _______________.
思路解析：设点P （m ，5）到原点O 的距离为r ，则
r m =cos α=4
2m ，∴r=22，sin α=
r 5=225
=410. 答案：
4
10
志鸿教育乐园
悔改
某人（到教堂）：“神父，我……我有罪。

” 神父：“说吧，我的孩子，你有什么事？” 某人：“二战时，我藏起了一个被纳粹追捕的犹太人。

” 神父：“这是好事啊，为什么你觉得有罪呢？” 某人：“我把他藏在我家的地下室里……而且……我让他每天交给我1500法郎的租金。

” 30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）
1.(2004 辽宁)若cos θ>0,且sin2θ<0,则角θ的终边所在象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 思路解析：sin2θ<0，所以2k π+π<2θ<2k π+2π,k π+
2
π
<θ<k π+π.所以θ在第二或第四象限.又cos θ>0，θ在第一或第四象限，所以θ在第四象限. 答案：D
2.（2002 全国）在(0,2π)内，使sinx>cosx 成立的x 的取值范围是( )
A.(
4π,2π)∪(π,45π) B.(4
π,π)
C.(4π,45π)
D.(4
π,π)∪(45π,23π)
思路解析：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C ，如图所示.
答案：C
3.(2002 北京)已知f(x)是定义在（0，3）上的函数，f(x)的图象如图1-2-1所示，那么不等
式f(x)cosx<0的解集是(
)
图1-2-1
A.(0,1)∪(2,3)
B.(1,2π)∪(2
π,3) C.(0,1)∪(
2
π
,3) D.(0,1)∪(1,3) 思路解析：解不等式f(x)cosx<0⎪⎩⎪⎨⎧<<<>⇒30,0cos ,0)(x x x f 或⎪⎩
⎪
⎨⎧<<><.30,0cos ,0)(x x x f
∴⎪⎩⎪
⎨⎧<<<<ππx x 2
,
31或⎩⎨⎧<<<<.10,10x x
∴0<x<1或
2
π
<x<3. 答案：C
4.已知点P(sin α-cos α,tan α)在第一象限，则在(0,2π)内α的取值范围是( )
A.(
2π,43π)∪(π,45π) B.(4π,2
π)∪(π,45π)
C.(2π,4
3π)∪(45π,23π D.(4π,2π)∪(43π,π)
思路解析：由题设知
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧<
<<<<<⇒⎩⎨⎧>>⇒⎩⎨⎧>>-23204
540tan cos sin 0tan 0cos sin παππαπαπ
αααααα或⇒4π<α<2π或π<α<
4
5π
. 答案：B
5.使tan α≥cot α成立的角α的一个取值区间是( )
A.(0,
4π] B.［0,4π］ C.［4π,2π］ D.［4π,2
π) 思路解析：α∈［4π,2
π
)⇒tan α≥1,cot α≤1⇒tan α≥cot α.
答案：D
6.已知点P(tan α,cos α)在第三象限，则角α的终边在第_______________象限.
思路解析：由P(tan α,cos α)在第三象限,所以tan α<0①, cos α<0②.由①得α终边在二、四
象限，由②得α终边在二、三象限，故α终边在第二象限． 答案：二
7.已知α、β均为锐角，且满足关系式12sin 2（π+α）+20sin 2（2
3π
-β）+12sin （3π+α）-220sin （
2
π
-β）+13=0，求α与β的值. 解：化简等式，即12sin 2α+20cos 2β-12sin α-202cos β+13=0.整理得（12sin 2α-12sin α+3）+（20cos 2β-202cos β+10）=0，即3（2sin α-1）2+5（2cos β-2）2=0.解得sin α=
2
1
，cos β=
2
2
.又α、β均为锐角，故α=6π，β=4π.
8.当α∈{α|2k π+
43π<α<2k π+45π
，k ∈Z }时，试比较sin α与cos α的大小. 解：（1）当2k π+4
3π
＜α＜2k π+π，k ∈Z ，即α的终边位于第二象限时，sin α>0，cos
α＜0.故sin α>cos α. （2）当α=2k π+π，k ∈Z ，即α的终边位于x 轴非正半轴时，sin α=0，cos α=-1.故sin α>cos α.
（3）当2k π+π＜α＜2k π+
45π，k ∈Z ，即α的终边位于第三象限时，-2
2＜sin α＜0，
而cos α＜-
2
2
.故sin α>cos α. 综上，当α∈{α|2k π+
43π＜α＜2k π+4
5π，k ∈Z ＝时，恒有sin α>cos α. 9.已知关于x 的方程（2sin α-1）x 2-4x+4sin α+2=0有两个不相等的正根，试求角α的取值范
围.
解：设方程的两根为x 1、x 2，这个方程有两个不相等正根必须满足的条件为
⎪⎩⎪⎨⎧>∙>+>∆,0,0,02
121x x x x 即⎪⎪⎪⎩⎪
⎪
⎪⎨
⎧
>-+>->+---.01
sin 22
sin 4,01sin 24,
0)2sin 4)(1sin 2(4)4(2ααααα
化简得⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪⎪
⎨⎧>-<><<-.21sin 21sin ,21sin ,23sin 2
3αααα或
故
21＜sin α＜2
3. 利用三角函数线，在单位圆中标出满足条件的角α的终边位置，即下图中两阴影部分的交集，
故2k π+
6
π＜α＜2k π+3π或2k π+32π＜α＜2k π+65π
，k ∈Z ，即α的取值范围是{α|2k
π+6
π＜α＜2k π+3π，k ∈Z ＝∪{α|2k π+32π＜α＜2k π+65π，k ∈Z ＝
.。