2019-2020学年四川省蓉城名校联盟高二上学期期中联考数学(理)试题(解析版)

2019-2020学年四川省蓉城名校联盟高二上学期期中联考数
学（理）试题
一、单选题
1．在空间直角坐标系中，已知点()2,1,3A ，()4,3,0B -，则A ，B 两点间的距离是（ ） A ．5 B ．6- C ．7 D ．8
【答案】C
【解析】根据空间中两点间的距离公式，准确运算，即可求解. 【详解】
由题意，根据空间中两点间的距离公式，可得7AB ==.
故选：C. 【点睛】
本题主要考查了空间中两点间的距离公式的应用，其中解答中熟记空间中两点间的距离公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．命题“1x ∀≥，2210x x -+≥”的否定是（ ）
A ．01x ∃≥，2
00210x x -+<
B ．01x ∃<，2
00210x x -+<
C ．01x ∃≥，2
00210x x -+≤ D ．01x ∃<，2
00210x x -+≤
【答案】A
【解析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】
根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“2
1,210x x x ∀≥-+≥”的否定是“01x ∃≥，2
00210x x -+<”.
故选：A. 【点睛】
本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系，准确改写是解答的关键，着重考查了推理与辨析能力，属于基础题. 3．若命题p 是真命题，q ⌝是真命题，则下列命题中，真命题是（ ） A ．p q ∧
B ．p q ⌝∨
C ．p q ⌝∧⌝
D ．p q ∨
【答案】D
【解析】由题意，命题q ⌝是真命题，则q 是假命题，根据真值表，即可判定，得到答案. 【详解】
由题意，命题q ⌝是真命题，则q 是假命题，
由真值表可得，命题p q ∧和p q ⌝∨和p q ⌝∧⌝都为假命题，只有命题p q ∨为真命题. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了复合命题的真假判定，其中解答中熟记复合命题的真假判定的真值表，准确判定是解答的关键，着重考查了推理与辨析能力，属于基础题.
4．双曲线22
125100
x y -=的渐近线方程是（ ）
A ．4y x =±
B ．2y x =±
C ．14
y x =±
D ．12
y x =±
【答案】B
【解析】由双曲线的方程，求得5,10a b ==，进而得到双曲线的渐近线的方程，得到答案. 【详解】
由双曲线22
125100
x y -=，可得2225,100a b ==，即5,10a b ==，
所以双曲线的渐近线的方程为2b
y x x a
=±=±. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了双曲线的标准方程及其双曲线的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
5．若圆1C ：()()2
2
111x y -+-=与圆2C ：()()2
2
223x y r +++=外切，则正数r 的值是（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．6
【答案】C
【解析】由圆1C 和圆2C 相外切，可得1212C C r r =+，列出方程，即可求解. 【详解】
由题意，圆1C ：()()22111x y -+-=与圆2C ：()()22
223x y r +++=， 可得圆心坐标分别为12(1,1),(2,3)C C --，半径分别为121,r r r ==，
又由圆1C 和圆2C 相外切，可得1212C C r r =+1r =+，
解得4r =. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了两圆的位置关系的应用，其中解答中熟记两圆的位置关系的判定方法，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 6．“1c =”是“直线0x y c ++=与圆()()2
2
212x y -++=”相切的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据直线与圆相切，求得1c =或3c =，结合充分条件和必要条件的判定，即可求解. 【详解】
由题意，圆()()2
2
212x y -++=的圆心坐标为(2,1)-， 当直线0x y c ++=与圆()()2
2
212x y -++=相切，可得d r =，
即d =
=12c +=，解得1c =或3c =，
所以“1c =”是“直线0x y c ++=与圆()()2
2
212x y -++=”相切的充分不必要条件. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟练应用直线与圆的位置关系，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
7．已知双曲线C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的左右顶点分别为()1,0A a -，
()2,0A a ，点()0,B b ，若三角形12BA A 为等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）
A
B C ．2
D ．3
【答案】A
【解析】由双曲线的几何性质，根据12BA A ∆为等腰直角三角形，求得a b =，得到
222c a =，即可求解双曲线的离心率，得到答案.
【详解】
由题意，三角形12BA A 为等腰直角三角形，可得a b =，即22a b =，
又由2
2
2
c a b =+，所以222a c a =-，即22
2c a =，所以2
22c a
=，
即22e =，又因为1e >，所以双曲线的离心率e =故选：A. 【点睛】
本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质，其中解答中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
8．已知直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈与圆()()2
2
1225x y -+-=交于
A ，
B 两点，则弦长AB 的取值范围是（ ）
A ．[]4,10
B ．[]3,5
C ．[]8,10
D ．[]6,10
【答案】D
【解析】由直线()()21110k x k y ++++=，得出直线恒过定点()1,2P -，再结合直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】
由直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈，可得()210k x y x y ++++=，
又由2010x y x y +=⎧⎨
++=⎩，解得1
2
x y =⎧⎨=-⎩，即直线恒过定点()1,2P -，圆心()1,2C ，
当CP l ⊥时弦长最短，此时2
2
2
2AB CP r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，解得min 6AB =，
再由l 经过圆心时弦长最长为直径210r =， 所以弦长AB 的取值范围是[]6,10. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了直线系方程的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练
利用直线的方程，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
9．经过点()1,1P 作直线l 交椭圆22
132
x y +=于M ，N 两点，且P 为MN 的中点，则
直线l 的斜率为（ ） A ．2
3
-
B ．
23
C ．32
-
D ．
32
【答案】A
【解析】设()11,M x y ，()22,N x y ，利用直线与圆锥曲线的“点差法”，即可求得直线的斜率. 【详解】
设()11,M x y ，()22,N x y ，则22
1122
22132
13
2x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减，可得222
2
2121032
x x y y --+=，整理得
()()()()2121212103
2
x x x x y y y y +-+-+=，
所以()()
2121212123x x y y k x x y y +-=
=-+，
又由P 为MN 的中点，可得12122,2x x y y +=+=，则222
323
k ⨯=-=-⨯， 即直线l 的斜率为2
3
-. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中熟练应用“点差法”求解直线的斜率是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
10．已知圆M ：()2
2225x y -+=（M 为圆心），点()2,0N -，点A 是圆M 上的动
点，线段AN 的垂直平分线交线段AM 于P 点，则动点P 的轨迹是（ ） A ．两条直线 B ．椭圆
C ．圆
D ．双曲线
【答案】B
【解析】由线段AN 的垂直平分线交线段AM 于P 点，AP PN =，得到
5PM PN +=，结合椭圆的定义，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，线段AN 的垂直平分线交线段AM 于P 点，AP PN =， 又由5AM AP PM r =+==，即54PM PN MN +=>=， 根据椭圆的定义，可得点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆. 故选：
B.
【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义及其应用，其中解答中熟练应用垂直平分线的性质，以及椭圆的定义进行判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
11．已知椭圆C ：22
221x y a b
+=()0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，且128F F =，
过左焦点1F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，连接2PF ，2QF ，若三角形2PQF 的周长为20，290QPF ∠=︒，则三角形12PF F 的面积为（ ） A ．9 B ．18
C ．25
D ．50
【答案】A
【解析】由290QPF ∠=︒和椭圆的定义，可得1222
1
210
64PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，求得1218PF PF =，进而求得直角12PF F ∆的面积，得到答案.
【详解】
由题意，过左焦点1F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，三角形2PQF 的周长为20， 根据椭圆的定义，可得420a =，解得5a =， 又由128F F =，即28c =，解得4c =，
又由290QPF ∠=︒和椭圆的定义，可得12222
12210(1)
(2)64(2)
PF PF a PF PF c ⎧+==⎪⎨+==⎪⎩，
由2(1)(2)-，可得1218PF PF =， 所以直角12PF F ∆的面积为121
92
S PF PF ==. 故选:A 【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义的应用，以及三角形面积的计算，其中解答中熟练应有椭圆的定理和直角三角形的勾股定理，求得12PF PF 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
12．已知圆1C ：()()2
2
111x y -+-=，圆2C ：()()2
2
214x y -+-=，A ，B 分别是圆1C ，2C 上的动员.若动点M 在直线1l ：10x y +-=上，动点N 在直线2l ：
10x y ++=上，记线段MN 的中点为P ，则PA PB +的最小值为（ ）
A ．3
B ．
2
C 3
D 3
【答案】D
【解析】根据圆的几何性质，结合点关于直线的对称，得到
1222PC PC PC PC CC +=+≥，即可求解.
【详解】
由题意，点动点M 在直线1l ：10x y +-=上，动点N 在直线2l ：10x y ++=上， 线段MN 的中点为P ，可得点P 在直线0x y +=上， 又由1122123PA PB PC r PC r PC PC +≥-+-=+-， 点()11,1C 关于直线0x y +=对称的点()1,1C --，
则1222PC PC PC PC CC +=+≥=
所以PA PB +3.
故选：D 【点睛】
本题主要考查了圆的几何性质的应用，以及直线的对称最值问题的求解，其中解答中根据圆的几何性质，以及结合点关于直线的对称最值求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
二、填空题
13．双曲线22
14
x y k -=的其中一个焦点坐标为
)
，则实数k =________.
【答案】2
【解析】由双曲线方程，得到22
,4a k b ==，根据222c a b =+，即可求解. 【详解】
由双曲线22
14
x y k -=，可得22,4a k b ==，
又由222c a b =+，即46k +=，解得2k =. 故答案为：2. 【点睛】
本题主要考查了双曲线的标准方程及其应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程，以及合理利用222c a b =+，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
14．两圆2220x y +-=，220x y x y +--=相交于M ，N 两点，则公共弦MN 所在的直线的方程是______.（结果用一般式表示） 【答案】20x y +-=
【解析】根据两圆方程相减，即可求解两圆的公共弦所在直线的方程，得到答案. 【详解】
由题意，圆2
2
20x y +-=，2
2
0x y x y +--=， 两圆方程相减，可得直线方程为20x y +-=， 即两圆的公共弦所在直线的方程为20x y +-=. 故答案为：20x y +-=. 【点睛】
本题主要考查了圆与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记两圆的公共弦所在直线方程的求法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
15．已知定点()2,0A -，()2,0B ，若动点M 满足8MA MB +=，则MA 的取值范围是__________. 【答案】[]2,6
【解析】由根据椭圆的定义，得到点M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，再由根据椭圆的性质，得到[],MA a c a c ∈-+，即可求解. 【详解】
由题意，动点M 满足84MA MB AB +=≥=，
根据椭圆的定义，可得点M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆， 且28,24a c ==，解得4a =，2c =，
根据椭圆的性质，可得[],MA a c a c ∈-+，即[]2,6MA ∈. 故答案为：[]2,6. 【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义的应用，以及椭圆的几何性质的应用，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
16．给出下列说法：①()2
10y -=表示的图形是一个点；②命题“若
0x y +≠，则1x ≠-或1y ≠”为真命题；③已知双曲线224x y -=的左右焦点分别为
1F ，2F ，过右焦点2F 被双曲线截得的弦长为4的直线有3条；④已知椭圆C ：
22
221x y a b +=()0a b >>上有两点()00,A x y ，()00,B x y --，若点(),P x y 是椭圆C 上任意一点，且0x x ≠±，直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k ⋅为定值2
2b a
-；
⑤已知命题“x ∃，y R ∈满足224x y +=，2
3
y m x -≤-”是真命题，则实数2m ≤.其中说法正确的序号是__________. 【答案】①②④
【解析】利用曲线与方程可判定①是正确；根据四种命题的关系，可得②是正确的；根据双曲线的几何性质，可得③是不正确的；根据直线与椭圆的位置关系，可判定④是正
确的；直线与圆的位置关系，可判定⑤是不正确的，得到答案. 【详解】
对于①
()2
10y -=，可得1010x y +=⎧⎨-=⎩，解得1
1x y =-⎧⎨=⎩
，即方程表示
的图形是一个点()1,1-，所以是正确的；
对于②中，根据四种命题的定义，可得命题“若0x y +≠，则1x ≠-或1y ≠”的逆否命题为“若1x =且1y =-，则0x y +=”为真，所以原命题为真，所以是正确的； 对于③中，根据双曲线的性质，可得两支总实轴最短，最短为24a =，同支焦点弦通
径最短，最短为2
24b a
=，所以满足条件的直线只有2条，所以不正确；
对于④中，由已知可得22
000
1222000
y y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⨯=-+-， 又由2200
2
222
22
11
x y a b
x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩相减可得22222220002222200x x y y y y b a b x x a ---+=⇒=--， 则2
122b k k a
⋅=-，所以是正确的；
对于⑤中，令2
3
y k x -=
-，即23y kx k -=-，数形结合，如图所示，
2≤，解得120,5k ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，
又由由已知可得23y m x -≤
-存在成立，则12
5
m ≤，所以不正确. 综上可得：正确命题的序号为：①②④
.
【点睛】
本题主要考查了命题的真假判断与应用，其中解答中涉及双曲线的几何性质，四种命题的关系，直线与圆的位置关系的应用等知识点的综合应用，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题.
三、解答题
17．命题p ：方程221313
x y
m m +=--表示焦点在x 轴上的双曲线：命题q ：若存在
0,44x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，使得02tan 0m x -=成立.
（1）如果命题p 是真命题，求实数m 的取值范围；
（2）如果“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）
133m <<；（2）()12,2,33⎡⎤
-⎢⎥
⎣
⎦.
【解析】（1）由方程表示焦点在x 轴上的双曲线，得到31030m m ->⎧⎨-<⎩
，即可求解；
（2）由（1）中命题p 为真命题时，得到
1
33
m <<，再求得命题q 为真命题，得到22m -≤≤，结合“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，得p 、q 两个命题一真一假，
分类讨论，即可求解. 【详解】
（1）由题意，方程22
1313
x y m m +=--表示焦点在x 轴上的双曲线，
则满足31030
m m ->⎧⎨-<⎩，解得133m <<，
即命题p 为真命题时，实数m 的取值范围是
1
33
m <<. （2）若命题q 为真命题，则02tan m x =在0,44x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦有解，解得22m -≤≤， 又由“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，则p 、q 两个命题一真一假，
若p 真q 假，则1
3
322m m m ⎧<<⎪⎨⎪-⎩
或，解得23m <<；
若p 假q 真，则133
22m m m ⎧
≤≥⎪
⎨⎪-≤≤⎩
或，解得123m -≤≤，
综上，实数m 的取值范围为()12,2,33⎡⎤
-⎢⎥
⎣
⎦.
【点睛】
本题主要考查了命题的真假判定及应用，以及利用复合命题的真假求解参数的范围，其中解答中正确求解命题,p q ，合理利用复合命题的真假，分类讨论是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
18．已知直线1l ：24y x =+，直线2l 经过点()2,1. （1）若12l l ⊥，求直线2l 的方程；
（2）若2l 与两坐标轴的正半轴分别交于P 、Q 两点，求OPQ ∆面积的最小值（其中O 为坐标原点）. 【答案】（1）1
22
y x =-
+；
（2）4. 【解析】（1）设直线2l 的方程为1
2
y x b =-+，代入点()2,1，求得2b =，即可求解直线的方程；
（2）设为斜率为()0k k <，得到2l 的方程为()12y k x -=-，求得其在坐标轴上的截距，得出面积的表示，结合基本不等式，即可求解. 【详解】
（1）由题意，可设直线2l 的方程为1
2
y x b =-+ 又由直线经过()2,1点，代入可得1
122
b =-⨯+，解得2b = 即直线2l 的方程为1
22
y x =-
+. （2）由题意可知，直线2l 的斜率存在且小于0，设为斜率为()0k k <， 可得2l 的方程为()12y k x -=-，
令0x =，可得2l 与y 轴的交点为()0,21Q k -+ 令0y =，可得2l 与x 轴的交点为12,0P k ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
，其中k 0< 故三角形OPQ 的面积
()112122S k k ⎛⎫=
-+-+ ⎪⎝⎭()1222k k ⎛⎫
=+-+- ⎪⎝⎭
2≥+=
4（当且仅当1
2
k =-
时等号成立） 即三角形OPQ 的面积最小值为4 【点睛】
本题主要考查了直线方程的求解及应用，以及基本不等式求最值的应用，其中解答中熟练应用两条直线的位置关系，合理应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
19．已知圆C 经过()3,0M ，()2,1N 两点，且圆心在直线l ：240x y +-=上. （1）求圆C 的方程；
（2）从y 轴上一个动点P 向圆C 作切线，求切线长的最小值及对应切线方程.
【答案】（1）()2
221x y -+=；（2）min d =，y =±
. 【解析】（1）设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，根据题设条件，列出方程组，求得,,D E F 的值，即可求得圆的方程；
（2）利用圆的切线长公式2
2221PC d r d =+=+，结合直线与圆的位置关系，分类讨论，即可求解. 【详解】
（1）设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=， 由圆C 经过()3,0M ，()2,1N 两点，
可得930D F ++=， ……① 520D E F +++=，……② 又由圆心,2
2D E ⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭在直线240x y +-=上，即402E D ---=，……③ 由①②③，可解得4D =-，0E =，3F =， 所以圆C 的方程为：2
2
430x y x +-+=， 即圆C 的方程()2221x y -+=.
（2）对于动点P ，设切线长为d ，则2
2221PC d r d =+=+， 所以要使得切线长最短，必须且只需PC 最小即可，
最小值为圆心()2,0到y 轴的距离，此时距离为2，
故切线长的最小值为min d =
=P 点为原点，
过原点的直线中，当斜率不存在时，不与圆C 相切； 当斜率存在时，设直线方程为y kx =,
代入圆C ：2
2
430x y x +-+=，可得()2
2430x kx x +-+=，即
()2
2
1430k x
x +-+=,
令()(
)2
2
44310k
∆=--⨯+=，解得k =,
故切线方程为y x =【点睛】
本题主要考查了圆的方程的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记圆的方程，以及合理应用直线与圆的位置关系，合理判定与计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
20．已知双曲线C ：22
221x y a b
-=()0,0a b >>的实轴长为2.
（1）若C 的一条渐近线方程为2y x =，求b 的值；
（2）设1F 、2F 是C 的两个焦点，P 为C 上一点，且12PF PF ⊥，12PF F ∆的面积为9，求C 的标准方程.
【答案】（1）2；（2）2
2
19
y x -=.
【解析】（1）由双曲线C 的实轴长为2，求得1a =，再由渐近线方程为2y x =，得到
2b
a
=，即可求解； （2）由12PF PF ⊥和12PF F △的面积为9，求得1218PF PF =，再结合直角三角形的勾股定理和双曲线的定义，即可求解3b =，得到双曲线的方程. 【详解】
（1）由题意，双曲线C ：22
221x y a b
-=的实轴长为2，即22a =，则1a =，
又由双曲线一条渐近线方程为2y x =，所以
2b
a
=，可得22b a ==. （2）由双曲线定义可得1222PF PF a -==，
又因为12PF PF ⊥，且12PF F △的面积为9，即121
182
PF PF ⨯=， 所以1218PF PF =，且22
2
212124PF PF F F c +==
又由()2
2
2
12
12124240c PF PF PF PF PF PF =+=-+=，解得210c =，
所以2221019c a b =-==-，解得3b =，
故双曲线C 的标准方程为：2
2
19
y x -=.
【点睛】
本题主要考查了双曲线的定义，以及双曲线的标准方程及几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程，以及合理应用双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
21．已知直线1l ：()0x my m R +=∈，2l ：()240mx y m m R --+=∈. （1）求证：无论m 取何实数，直线1l 与2l 一定相交； （2）求1l 与2l 的交点P 的轨迹方程C .
【答案】（1）证明见解析；（2）()2
2
2400x y x y y +--=≠.
【解析】（1）当0m =时，求得两直线有交点()0,4，当0m ≠时，分别求得直线12,l l 的斜率，判定得到两直线斜率不可能相等，即可得到结论； （2）由直线1l 的方程，当0y ≠时，求得x
m y
=-，代入2l ，整理可得轨迹方程，再验证当0y =时，适合题意，即求解. 【详解】
（1）由题意，当0m =时，1l :0x =，2l ：4y =，两直线有交点()0,4； 当0m ≠时，直线()1:0l x my m R +=∈斜率为11k m
=-， 直线()2:240l mx y m m R --+=∈的斜率2=k m ， 令12k k =，即1
m m
-=，此时方程无解，即故两直线斜率不可能相等，即两直线必定相交，
综上可得，无论m 取何实数，直线1l 与2l 一定相交. （2）由直线()1:0l x my m R +=∈，
当0y ≠时，可得x m y
=-
， 代入直线()2:240l mx y m m R --+=∈，可得2240x x y y y
--++= 整理得()2
2
2400x y x y y +--=≠
当0y =时，由()1:0l x my m R +=∈，得0x =，此时交点坐标为()0,0，满足上式， 综上可得，点P 点轨迹方程为：()2
2
2400x y x y y +--=≠.
【点睛】
本题主要考查了两条直线的位置关系的应用，以及轨迹方程的求解，其中解答中熟记两条直线的位置关系的判定方法，以及合理分类讨论，利用代入法求解曲线的轨迹方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
22．已知椭圆C 长轴的两个端点分别为()2,0A -，()2,0B ， 离心率2
e =. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）作一条垂直于x 轴的直线，使之与椭圆C 在第一象限相交于点M ，在第四象限相交于点N ，若直线AM 与直线BN 相交于点P ，且直线OP 的斜率大于25
，求直线AM 的斜率k 的取值范围.
【答案】（1）22
14
x y +=；（2）11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭.
【解析】（1）利用已知条件，求得,a c ，再由222b a c =-，求得b 的值，即可求解；
（2）设()00,M x y ，其中002x <<，001y <<，可得()00,N x y -，求得直线,AM BN
的方程，联立方程组，求得点P 的坐标，得出直线OP 斜率，结合椭圆的范围，即可求解斜率k 的取值范围. 【详解】
（1）由题意知，椭圆C 长轴的两个端点分别为()2,0A -，()2,0B ，可得2a =，
又由e =
c a =c =，
又因为2222221b a c --===，
所以椭圆C 的标准方程为2
214
x y +=.
（2）设()00,M x y ，其中002x <<，001y <<，可得()00,N x y -， 由斜率公式，可得002AM y k x =
+，0
2BN y k x =-，
所以直线AM 的方程为()0022
y y x x =
++；直线BN 的方程为()0022y
y x x =--，
联立方程组()()00
002222y y x x y y x x ⎧
=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩
，解得00024,y x y x x ==，即点00024,y P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以0
000
22425OP
y x y k x ==>，即04
15y <<，
又由
)0
0200
224y y k x y ===
=+-
t =，30,5t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，则0y =
所以
1
112
22k =
===， 因为30,5t ⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭
，所以
25,214t ⎛⎫∈
⎪+⎝⎭，则111,242⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 所以11,42k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即实数直线AM 的斜率k 的取值范围11,42⎛⎫
⎪⎝⎭
.
【点睛】
本题主要考查了椭圆方程及其简单的几何性质，以及直线与椭圆的位置关系的综合应用，其中解答中合理利用直线的斜率公式和椭圆的几何性质，求得斜率k 的表达式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化思想的应用，试题有一定的难度，属于中档试题.。