河北省衡水中学2014届高三上学期三调考试 数学理试题 含答案

2013—2014学年度高三上学期三调考试
高三年级数学试卷（理）
本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分,共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分)
一、
选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项
符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1。

设集合M=｛x|x 2≤4),N=｛x|log 2 x≥1｝，则M∩N 等于( ） A ．
[﹣2,2］
B ． ｛2}
C ． [2，+∞）
D ． [﹣2,+∞） 2.若0>x 、0>y ，则1>+y x 是122
>+y x
的 （ )
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．非充分非必要条件
3.平面直角坐标系xOy 中，已知A(1，0），B （0,1），点C 在第二象限内,56
AOC π∠=，且｜OC ｜=2,若OC OA OB λμ=+，则λ，μ的值是
( ）
A
，1 B ． 1
C ．—1
D
．，1
4。

设n
S 是公差不为0的等差数列{}n
a 的前n 项和，且1
2
4
,,S S S 成等比数
列，则2
1
a a 的值为( ）
A 。

1 B.2 C 。

3 D 。

4
5.如图，圆O 的两条弦AB 和CD 交于点E ，EF//CB,EF 交AD 的
延长线于点F ，FG 切圆O 于点G ，EF=2，则
FG 的长为（ ）
A 。

12
B 。

13
C 。

1
D 。

2
6. 某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱
的长度是( ）
A.25
B.29
C.42
D.
13
7.已知m 、n 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面，给出下列命
题：
①若,//m αβα⊥,则m β⊥;②若,m n αβ⊥⊥,且,m n ⊥则αβ⊥; ③若,m β⊥//m α，则αβ⊥;④若//m α,//n β,且//m n ,则//αβ. 其中正确命题的个数是( ） A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
8。

已知,,a b c 为互不相等的正数，2
22a
c bc +=,则下列关系中可能成立的
是（ ）
A ．a b c >>
B ．b c a >>
C ．b a c >>
D ．a c b >>
9.已知各项均为正数的等比数列{}n
a 满足7
652a
a a =+，若存在两项
,m n a a 使得114
4,m n a a a m n
=+则
的最小值为 （ )
A ．3
2
B ．53
C ．9
4
D ．9
10。

已知,a Z ∈关于x 的一元二次不等式2
60
x
x a -+≤的解集中有且仅有3
个整数，
则所有符合条件的a 值之和是（ )
A 。

13 B.18 C 。

21 D 。

26 11.若函数3
2()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，22['()]['()]0,()()0f f f f αβαβ+=+=
(其中,R αβ∈且αβ≠），则下列选项中一定是方程()0f x =的根的是
（ ）
A ．3b a
- B ．2b a
-
C ．3c a
D ．
2c
a
12. 设定义域为R 的函数
|1|251,0,
()44,0,
x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩若关于x 的方程
22()(21)()0f x m f x m -++=有7个不同的实数解，则m = （ ）
A ．2
B ．4或6
C ．2或6
D ．6
第Ⅱ卷(非选择题 共90分）
二、填空题（每题5分，共20分。

把答案填在答题纸的横线上） 13、若)2
,0(πα∈,且2
cos
α+1
sin(2)22
πα+=,则tan α=。

14.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若(,)c a b R λμλμ=+∈，则λμ+=
15。

已知函数2
21
(),()(),2
x f x x
g x m x =+=+若12[1,2],[1,1],x x ∀∈∃∈-使得12()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围是 。

16.设关于x ，y
的不等式组210,
0,
0x y x m y m -+>⎧⎪-<⎨⎪+>⎩
表示的平面区域内存在点P （x 0，
y 0）满足
x 0－2y 0=2,则m 的取值范围是
三、解答题（本大题共7题，共70分。

解答应写出文字说明、证明
过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）
17. （本小题满分12分）在三棱柱1
1
1
C B A ABC -中,侧面1
1
A AB
B 为矩形，
2,11==AA AB ，D 为1AA 的中点，BD 与1AB
交于点O ，⊥CO 侧面11A ABB ． (Ⅰ)证明：1AB BC ⊥；
（Ⅱ）若OA OC =，求三棱锥ABC B
-1
的体积．
18。

（本小题满分12分）已知函数3
()f x x mx =-+在（0，1)上是增函
数，
(Ⅰ）实数m 的取值集合为A ，当m 取集合A 中的最小值时，定义
数列{}n
a 满足
13,a =且0,n a >
1n a +=求数列{a n ｝的通项公式；
(Ⅱ）若n
n b
na =，数列{}n b 的前n 项和为n
S ，求证：34
n
S
>
.
19。

（本小题满分12分）某工厂某种产品的年固定成本为250万元，
每生产x 千件．．
，需另投入成本为)(x C ，当年产量不足80千件时,x x x C 103
1
)(2+=（万元）.当年产量不小于80千件时，145010000
51)(-+
=x
x x C （万元).每件．．
商品售价为500元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完。

（Ⅰ）写出年利润)(x L (万元）关于年产量x （千件．．）的函数解析式;
1
A A
1
B B
1
C C
O
D
（Ⅱ）年产量为多少千件．．时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
20．（本小题满分12分）已知A B 、分别在射线CM CN 、（不含端点C )C
所对
上运动，23
MCN ∠=π，在ABC ∆中，角A 、B 、
的边分别是a 、b 、c ．
(Ⅰ)若a 、b 、c 依次成等差数列，且
公差为
2．求c 的值；
(Ⅱ）若3c =
，ABC ∠=θ，试用θ表示ABC ∆的周长,
并求周长的最大值．
21。

（本小题满分12分）已知函数()2ln ()f x x ax a a R =-+∈． （I ）讨论()f x 的单调性；
(II ）若()0f x ≤恒成立,证明：当120x
x <<时，
21211()()
121f x f x x x x ⎛⎫-<- ⎪-⎝⎭
．
请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分。

22。

（本小题满分10分)如图,AB 是圆O 的直径,C 是半径OB 的中点，
D 是OB 延长线上一点,且BD=OB ，直线MD 与圆O 相交于点M 、T
（不与A 、B 重合）,DN 与圆O 相切于点
N,连结MC ，MB ，OT ． (I ）求证:DC DO DM
DT ⋅=⋅；
M N
θ
A
C
B
（II ） 若
60=∠DOT ,试求BMC ∠的大小．
23.(本小题满分10分) 已知函数()1f x x =-．
（I ）解不等式: 1()(1)2f x f x ≤+-≤； （II ）若0＞a ，求证:()()f ax af x -≤()f a .
高三年级三调考试数学试卷（理）参考答案
一、 选择题 BBDC DBBC ACAA
二、
填空题 13、1 14、52
- 15、52
m ≤ 16、2,3
⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
三、解答题
17. (1）根据题意，由于在三棱柱1
1
1
C B A ABC -中,侧面1
1
A AB
B 为矩形，
2,11==AA AB ，D 为1AA 的中点，BD 与1AB
交于点O ,⊥CO 侧面11A ABB ，那么在底面1
1
A AB
B Z 中，利用相似三角形可知,1
AB
BD ⊥，1CO AB ⊥，进而得到
1BCD AB ⊥面,则可知1AB BC ⊥；……………………6分
（2）如果OA OC =，那么利用2,11
==AA AB ，D 为1AA 的中点，勾股定理
可知
AC =
,根据柱体的高，以及底面积可知三棱柱ABC B -1的体积为
18
6
……………………12分
18. 解：(1）由题意得f′(x）=﹣3x 2+m ，
∵f （x)=﹣x 3+mx 在（0，1）上是增函数,∴f′(x）=﹣3x 2+m≥0在（0，1）上恒成立,
即m≥3x 2，得m≥3，-————-——---——--—-—-—--——-——--2分
故所求的集合A 为[3，+∞）；所以m=3，∴f′（x ）=﹣3x 2+3，
∵,an＞0，∴=3an，即=3,
∴数列｛an｝是以3为首项和公比的等比数列，故an=3n；—--——-—-—--——-——-—--————-——-—-—6分
（2）由（1）得，bn=na n=n•3n，
∴Sn=1•3+2•32+3•33+…+n•3n①
3Sn=1•32+2•33+3•34+…+n•3n+1 ②
①﹣②得，﹣2Sn=3+32+33+…+3n﹣n•3n+1=﹣n•3n+1
化简得，Sn=＞．-—--—--——--—------——--——————12分
10分
为1000万元。

———--—--—--——---—-——12分 20．
解（Ⅰ）
a 、
b 、
c 成等差，且公差为2,
∴4a c =-、2b c =-.
又
23MCN ∠=
π，1
cos 2
C =-， ∴
2221
22
a b c ab +-=-， ∴
()()()()
2
2
2
421
2422
c c c c c -+--=-
--， 恒等变形得
29140
c c -+=，解得7
c =或
2
c =。

又
4
c >，∴7c =。

…………6分
（
Ⅱ
）
在
ABC
∆中
,
sin sin sin AC BC AB
ABC BAC ACB
==
∠∠∠，
∴
32sin sin
sin 33AC
BC ===πθ
⎛⎫-θ ⎪⎝⎭
,2sin AC =θ,2sin 3BC π⎛⎫
=-θ ⎪⎝⎭。

∴ABC ∆的周长()f θAC BC AB =++2sin 2sin 33π⎛⎫
=θ+-θ+ ⎪⎝⎭
132sin cos 322⎡⎤=θ+θ+⎢⎥⎣⎦
2sin 33π⎛
⎫=θ++ ⎪⎝⎭， (10)
分
又
0,
3π⎛⎫
θ∈ ⎪⎝⎭
,∴2333πππθ<+<
,
∴当3
2
π
π
θ+
=
即6
πθ=时，()f θ取得最大值23+
．
(12)
分
21。

解：（Ⅰ）f
（x )＝2－ax
x
，x ＞0．
若a ≤0，f （x ）＞0，f （x ）在（0，＋∞）上递增；
若a ＞0，当x ∈(0，错误!）时，f (x )＞0，f (x )单调递增；
当x ∈(错误!，＋∞）时，f （x ）＜0，f （x ）单调递
减． …5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若a ≤0，f (x )在（0,＋∞）上递增， 又f （1）＝0，故f (x ）≤0不恒成立．
若a ＞2，当x ∈（错误!，1）时，f (x ）递减，f （x )＞f （1）＝0，不合题意．
若0＜a ＜2,当x ∈(1，错误!)时,f (x )递增，f （x ）＞f (1)＝0，不合题意．
若a ＝2,f （x )在(0,1）上递增，在(1,＋∞）上递减， f （x )≤f （1）＝0，合题意．
故a ＝2,且ln x ≤x －1(当且仅当x ＝1时取“＝”）． …8分
当0＜x 1＜x 2时，f (x 2）－f （x 1)＝2ln 错误!－2（x 2－x 1）＋2
＜2（错误!－1）－2(x 2－x 1）＋2 ＝2（错误!－1)（x 2－x 1),
所以错误!＜2（错误!－1)． …12分
22. （1）证明：因MD 与圆O 相交于点T ，由切割线定 理DM DT DN
⋅=2
，DA DB DN ⋅=2，得
DA DB DM DT ⋅=⋅，设半径
OB=)0(>r r ，因BD=OB ，且BC=OC=2
r ，
则2
33r r r DA DB =⋅=⋅，2
32
32r r r DC DO =⋅=⋅，
所以.DC DO DM DT ⋅=⋅-——--——-———---———-5分 (2）由（1）可知，DC DO DM
DT ⋅=⋅，且CDM
TDO ∠=∠，
故DTO ∆∽CM D ∆，所以DMC DOT ∠=∠;
根据圆周角定理得，DMB 2DOT ∠=∠，则.30
=∠BMC -———-—--10分
23.解: （1）由题()(1)f x f x +-12x x =-+-121x x ≥-+-=。

因
此
只
须
解不等式
122x x -+-≤。

…………………………………………2分
当1x ≤时，原不式等价于232x -+≤，即112
x ≤≤. 当12x <≤时，原不式等价于12≤，即12x <≤. 当2x >时，原不式等价于232x -≤，即522x <≤.
综
上
，原不等式的解集为
1
5|2
2x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭
. …………………………………………5分
（2）由题()()f ax af x -11ax a x =---.
当a ＞0时，()()f ax af x -1ax ax a =---
1ax a ax =---1ax a ax ≤-+-1a =-()f a =.
…………………………10分。