棱柱和棱锥(三)

9.9棱柱和棱锥(三)
教学目的：
1.了解棱锥、正棱锥的概念，掌握正棱锥的性质.；
2.能初步利用棱锥的概念及其性质解决一些简单角与距离的问题.
3.灵活运用棱锥的概念及其性质解决有关角与距离问题；
4.了解棱锥的侧面积、全面积的概念，能求出有关面积. 教学重点：棱锥、正棱锥的概念及其性质. 教学难点：棱锥、正棱锥的概念及其性质. 授课类型：新授课. 课时安排：4课时.
教具：多媒体、实物投影仪. 教学过程：
一、复习引入：
1.多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线．
2．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体．
3．凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等.
4．棱柱的概念：有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱.两个互相平行的面叫棱柱的底面（简称底）；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；
两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高（公垂线段长也简称高）.
5．棱柱的分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱.侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱.底面的是正多边形的直棱柱叫正棱柱.棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱……
设集合{}A =棱柱，{}B =斜棱柱，
{}C =直棱柱，{}D =正棱柱，
则,B C A D C =⊂ ．
6．棱柱的性质
（1）棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形；直棱柱侧面都是矩形；正棱柱侧面都是全等的矩形； （2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形（3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.
7.平行六面体、长方体、正方体
底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体长方体，棱长都相等的长方体叫正方体．
8．平行六面体、长方体的性质
(1)平行六面体的对角线交于一点，求证：对角线,,,AC BD CA DB ''''相交于一点，且在点O 处互相平分．
(2)长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上的三条棱长的平方和.
二、讲解新课：
1.棱锥的概念：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫棱锥.其中有公共顶点的三角形叫棱锥的侧面；多边形叫棱锥的底面或底；各侧面的公共顶点()S ，叫棱锥的顶点，顶点到底面所在平面的垂线段()SO ，叫棱锥的高（垂线段的长也简称高）．
2．棱锥的表示：棱锥用顶点和底面各顶点的字母，或用顶点和底面一条对角线端点的字母来表示.
如图棱锥可表示为S ABCDE -，或S AC -． 3．棱锥的分类：（按底面多边形的边数）
分别称底面是三角形，四边形，五边形……的棱锥为三棱锥，四棱锥，五棱锥……（如图） 4．棱锥的性质：
定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面
相似，截面面积与底面面积比等于顶点到截面的距离与棱锥高的平方比．
已知：在棱锥S AC -中，SH 是高，截面A B C D E '''''平行于底面，并与SH 交于H '， 求证：截面A B C D E '''''～底面ABCDE ，
且22
A B C D E ABCDE S SH S SH
''''''=． 解：因为截面平行于底面，
∴//A B AB ''，//B C BC ''，//C D CD ''，… ∴,A B C ABC B C D BCD ''''''∠=∠∠=∠，…
又∵平面SAH 分别与截面和底面相交于A H ''和AH ， ∴//A H AH ''，
得A B SA SH AB SA SH ''
''==，同理B C SH BC SH '''
=，… ∴A B B C SH AB
BC SH
''
'''
=== ， 因此，截面A B C D E '''''～底面ABCDE ，且22
22
A B C D E ABCDE S A B SH S AB SH
''''''''==． 中截面：经过棱锥高的中点且平行于底面的截面，叫棱锥的中截面.
5．正棱锥
定义：底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥． 性质：（1）正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（叫正棱锥的斜高）．
（2）正棱锥的高、斜高、斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形． 6．正棱锥的直观图的画法
在过底面中心的垂线——'z 轴上取与底面中心距离等于棱锥高的点就得到了棱锥的顶点．给出了画图的比例尺，要特别注意平行于'y 轴的线段的长度的确定．正棱锥的直观图的画
法，在具体画图的关键是：
①用斜二测画水平放置的底面的直观图； ②正棱锥的顶点的确定；
③画直观图的四个步骤：画轴（建立空间直角坐标系）⇒画底面⇒画侧棱（正棱锥画高线）⇒成图． 三、讲解范例：
例1.已知正三棱锥S ABC -的高SO h =，斜高SM l =，求经过SO 的中点O '平行于底面的截面A B C '''∆的面积.
解：连结,OM OA ，在Rt SOM ∆
中，OM ∵棱锥S ABC -是正三棱锥，∴O 是ABC ∆中心，
∴22tan60AB AM OM ==⋅= ，
222)ABC S AB l h ∆=
=-， 由棱锥截面性质得：221
4
A B C ABC S h S h '''∆∆'==，
∴2
2)4
A B C S l h '''∆=
-． 例2．已知A B C '''∆是三棱锥S ABC -的中截面，三棱锥S A B C '''-的侧面积为2
5cm ，求三棱锥S ABC -的侧面积．
解：∵截面//A B C '''底面SBC ，
∴//A B AB ''，//B C BC ''，//C D CD ''，
∴22
1
4
S A B SAB S A B S AB '''∆∆''==，同理：14S B C SBC S S '''∆∆=，14S A C SAC S S '''∆∆=， ∴
14
S A B S B C S A C SAB SBC SAC S S S S S S '''''''''∆∆∆∆∆∆++=++，
即三棱锥S ABC -的侧面积是三棱锥S A B C '''-的侧面积的4倍， 所以，三棱锥S ABC -的侧面积为2
20cm ．
点评：一般地，平行于棱锥底面的截面截得的棱锥与原棱锥的侧面积之比也等于截得棱锥的高与原棱锥高的平方比.
例3．四棱锥的高为h ，底面为菱形，侧面PAD 和侧面PDC 所成的二面角为120
，且都垂直于底面，另两个侧面与底面所成的角都为60
，求此棱锥的全面积.
E
D
C
B
A
P
G
E
P D C
B
A 解：∵侧面PAD ⊥底面AC ，侧面PDC ⊥底面AC ， ∴PD ⊥底面AC ，
ADC ∠为二面角A PD C --的平面角，即120ADC ∠= ，
∵四边形为菱形，DBC ∆，取BC 中点E ，连结,PE DE ， 则DE BC ⊥，由三垂线定理知PE BC ⊥，
∴PED ∠是侧面PBC 与底面AC 所成的二面角的平面角，60PED ∠=
，
在Rt PDE ∆
中，,,PD h DE PE ===， ∴2
3sin 3
DE
CD h π=
=， ∵,PDA PDC PBC PAB ∆≅∆∆≅∆，
22PDA PBC ABCD S S S S ∆∆=++ 全
222
sin
1)3
3
PD CD BC PE AD h π
=⋅+⋅+=
． 说明：棱锥的侧面积等于各侧面三角形的面积之和，正棱锥的侧面积等于底面周长与斜高之积的一半． 四、课堂练习：
1.判断下列结论是否正确，为什么？
（1）有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥， （2）正四面体是四棱锥，
（3）侧棱与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥，
（4）侧棱长相等，各侧面与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥． 答：（1）错，（2）错，（3）错，（4）对． 2．在三棱锥P ABC -中，ABC ∆为正三角形，90PCA ∠=
，D 为PA 中点，二面角P AC B --为120
，2,PC AB ==（1）求证：AC BD ⊥；（2）求BD 与底面ABC 所成的角，（3）求三棱锥P ABC -的体积．
解：（1）取AC 的E ，连结,BE DE ，则//DE PC ， 由PC AC ⊥，知DE AC ⊥，
由ABC ∆为正三角形，得BE AC ⊥， 又DE BE E = ，
∵AC ⊥平面DEB ，BD ⊂平面DEB ， ∴AC BD ⊥． （2）作DG BE ⊥，垂足为G ，
∵AC ⊥平面DEB ，DG ⊂平面DEB ，
DG AC ⊥，DG ⊥平面ABC ，BD 与底面ABC 所成的角DBG ∠， 由DE AC ⊥，BE AC ⊥知
DEB ∠是二面角P AC B --的平面角，120DEB ∠= ，
∵112DE PC =
=，∴2DG =，又∵32
BE AB ==， ∴2
2
2
13213cos12013BD =+-⨯⨯⨯=
∴sin 26
DG DBE DB ∠=
=
，
∴BD 与底面ABC 所成的角为arcsin
26
．
（3）∵D 为PA 中点，∴P 到平面ABC 的距离2h DG ==，
2113334
P ABC ABC V S h -∆==⨯=．
五、小结：棱锥、正棱锥的概念，性质；棱锥平行于底面的截面性质结论可适当推广：平行于棱锥底面的
截面截得的棱锥与原棱锥的对应面积（底面，侧面）之比，等于对应线段（高、侧棱等）的平方比.计算面积时，必须计算对应边上的高，因此要寻找斜高，底面三角形的高，截面三角形的高的相互关系，这种关系应通过棱锥的性质来体现． 六、课后作业： 七、板书设计（略）. 八、课后记：。