初二数学下一元二次方程的应用—知识讲解(提高)+巩固练习

一元二次方程的应用—知识讲解（提高）
【学习目标】
1. 通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一般步骤；
2. 通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.
【要点梳理】
要点一、列一元二次方程解应用题的一般步骤 1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 2.解决应用题的一般步骤：
审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列(根据题目中的等量关系，列出方程)；
解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 答(写出答案，切忌答非所问). 要点诠释：
列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系；
三是正确求解方程并检验解的合理性.
要点二、一元二次方程应用题的主要类型 1.数字问题
(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、 千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字
只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用 其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位 数.如：一个三位数，个位上数为a ，十位上数为b ，百位上数为c ，则这个三位数可表示为： 100c+10b+a.
(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.
如：三个连续整数，设中间一个数为x ，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.
如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x ，则另两个数分别为x-2，x+2.
2.平均变化率问题
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题：
平均增长率公式为(1)n
a x
b += (a 为原来数，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量.) (2)降低率问题：
平均降低率公式为(1)n a x b -= (a 为原来数，x 为平均降低率，n 为降低次数，b 为降低后的量.)
3.利息问题 (1)概念：
本金：顾客存入银行的钱叫本金. 利息：银行付给顾客的酬金叫利息. 本息和：本金和利息的和叫本息和. 期数：存入银行的时间叫期数.
利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.
(2)公式:
利息=本金×利率×期数 利息税=利息×税率
本金×(1+利率×期数)=本息和
本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时)
4.利润(销售)问题
利润(销售)问题中常用的等量关系： 利润=售价-进价(成本)
总利润=每件的利润×总件数
5.形积问题
此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.
要点诠释：
列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想.
【典型例题】 类型一、数字问题
1.（ 春•兴化市校级期末）两个连续负奇数的积是143，求这两个数． 【答案与解析】
解：设这两个连续奇数为x ，x+2， 根据题意x （x+2）=143， 解得x 1=11（不合题意舍去），x 2=﹣13， 则当x=﹣13时，x+2=﹣11．
答：这两个数是﹣13，﹣11．
故答案为：﹣13，﹣11．
【总结升华】得到两个奇数的代数式是解决本题的突破点；根据两个数的积得到等量关系是解决本题的关键．
类型二、平均变化率问题
2.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台?
【答案与解析】
解：设每轮中平均每一台电脑会感染x台电脑，
依题意：得：1+x+(1+x)x＝81，(1+x)2＝81，x+1＝9或x+1＝-9．
解得：x＝8或x＝-10(舍去)，
(1+x)3＝(1+8)3＝729＞700．
答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑；3轮感染后被感染的电脑会超过700台．
【总结升华】注意经过两轮感染后被感染81台是指开始1台，第一轮被感染x台，第二轮被感染(x+1)x 台的总和．可列方程求出x,进而求出三轮被感染的电脑的台数.
举一反三：
【变式】有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，按照这样的速度，第三轮传染后，患流感的人数是( )
A．1331 B．1210 C．1100 D．1000
【答案】
设每人每轮传染x人，则(1+x)2＝121，x1＝10，x2＝-12舍去，
第三轮传染后患流感人数为121(1+10)＝1331人．
类型三、利润（销售）问题
3. 有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也会有一定数量的螃蟹死去，假设放养期间内螃蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按市场价收购了这种活螃蟹1000kg放养在塘内，此时市场价为30元/kg．据测算此后每千克的活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天各种费用支出400元，且平均每天还有10 kg的蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是20元/kg，如果经销商将这批蟹出售后能获利6250元，那么他应放养多少天后再一次性售出?
【答案与解析】
解：设经销商放养的活蟹时间定为x天较为合适．
根据题意，得20×10x+(30+x)(1000-10x)-(400x+30×1000)＝6250，
整理，得x2-50x+625＝0，∴ x1＝x2＝25．答：经销商放养25天后，再一次性售出可获利6250元．
【总结升华】此题牵涉到的量比较多，找等量关系列方程有一定难度．我们可以把复杂问题转化成若干个简单问题分别解决，最后用一根主线连在一起．这里放养的天数x与死蟹销售资金、x天后活蟹的价格、x天后活蟹的剩余量及x天的开支情况等问题都有关系，通过这个“x”把上述几个量联系在一起，列出了方程，使问题得以突破．
举一反三：
【高清ID 号：388525 关联的位置名称（播放点名称）：销售问题---例6】 【变式】（ •东西湖区校级模拟）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施． 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．据此规律计算：每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元． 【答案】
解：∵降价1元，可多售出2件，降价x 元，可多售出2x 件，盈利的钱数=50﹣x ， 由题意得：（50﹣x ）（30+2x ）=2100， 化简得：x 2﹣35x+300=0， 解得：x 1=15，x 2=20，
∵该商场为了尽快减少库存， ∴降的越多，越吸引顾客， ∴选x=20，
答:每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2100元.
类型四、行程问题
【高清ID 号：388525 关联的位置名称（播放点名称）：行程问题---例8】 4. 一辆汽车以20m /s 的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹 车后又滑行25m 后停车．
（1）从刹车到停车用了多少时间？
（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少？
（3）刹车后汽车滑行到15m 时约用了多少时间（精确到0.1s ）？ 【答案与解析】 解：（1）已知刹车后滑行路程为25m ，如果知道滑行的平均速度，则根据路程、速度、时间三者
的关系，可求出滑行时间．为使问题简化，不妨设车速从20m/s 到0m/s 是随时间均匀变化的．这
段时间内的平均车速等于最大速度与最小速度的平均值，即
200
10(/)2
m s +=，于是刹车到停车的时间为“行驶路程÷平均车速”， 即2510 2.5()s ÷=．
（2）从刹车到停车平均每秒车速减少值为“（初速度-末速度）÷车速变化时间”， 即
2200
8(/)2.5
m s -=． （3）设刹车后汽车行驶到15m 用了
x s ，由（2）可知，这时车速为(208)/x m s -．这段路程内的
平均车速为
20(208)
(/)2
x m s +-，即(204)/x m s -． 由速度×时间=路程，得(204)15x x -=．
解方程，得510
x ±=
根据问题可知，2040x
->，即x ＜5，又x ＜2.5；所以5100.9x -=≈．
刹车后汽车行驶到15m 时约用了 0.9 s ．
【总结升华】弄清路程、速度、时间三者的关系，即可解答此题.
一元二次方程的应用—巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题
1.（ •江岸区校级模拟）新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为（ ） A. 7 B ． 8 C ． 9 D ．10
2．上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，下列所列方程中正确的是 ( )
A ．168(1+a%)2＝128
B ．168(1-a%)2＝128
C ．168(1-2a%)2＝128
D ．168(1-a 2
%)＝128 3．从一块长30cm ，宽12cm 的长方形薄铁片的四个角上，截去四个相同的小正方形，余下部分的面积
为296cm 2
，则截去小正方形的边长为 ( )
A ．1 cm
B ．2 cm
C ．3 cm
D ．4 cm
4．甲、乙两人分别骑车从A 、B 两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C 地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进.乙在由C 地到达A 地的途中因故停了20分钟，结果乙由C 地到达A 地时比甲由C 地到达B 地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行驶4千米，则甲、乙两人骑车的速度分别为（ ）千米/时.
A ．2,6
B ．12,16
C ．16,20
D ．20,24
5．某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50％(即每100千克花生可加工成花生油50千克)．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的
．则新品种花生亩产量的增长率为 ( )
A ．20％
B ．30%
C ．50%
D ．120%
6．从盛满20升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里剩下纯酒精5升．则每次倒出溶液的升数为（ ） A ．5 B ．6 C ．8 D ．10
二、填空题
7．某公司在2009年的盈利额为200万元，预计2011年盈利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2010年的盈利额为________万元．
8．有一间长20 m ，宽15 m 的会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的一半，四周未铺地毯的留空宽度相同，则留空的宽度为________．
9．一块矩形耕地大小尺寸如图1所示，要在这块地上沿东西、南北方向分别挖3条和4条水渠．如果
水渠的宽相等，而且要保证余下的可耕地面积为8700m 2
，那么水渠应挖的宽度是 米.
10．有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和是8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘原来的两位数就得1855，则原来的两位数是．
11．某省十分重视治理水土流失问题，2011年治理水土流失的面积为400 km2，为了逐年加大治理力度，计划今、明两年治理水土流失的面积都比前一年增长一个相同的百分数，到年年底，使这三年治理水土流失的面积达1324 km2，则该省今、明两年治理水土流失的面积平均每年增长的百分数是．
12．（•贵阳）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高．动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t=秒时，S1=2S2．
三、解答题
13．如图所示，有长为40m的篱笆，一面利用墙(墙长15m)，围成长方形花圃．设花圃的长BC为xm，花圃的面积能围成182m2吗?此时BC多长?
14.（•广元）李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？
（2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．
15．如图所示，AO ＝OB ＝50cm ，OC 是一条射线，OC ⊥AB ，一只蚂蚁由A 点以2cm/s 的速度向B 爬行，同
时另一只蚂蚁由O 点以3 cm/s 的速度沿OC 方向爬行，是否存在这样的时刻，使两只蚂蚁与O 点组
成的三角形的面积为450cm 2
?
【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】C ；
【解析】解：设这个小组有x 人，
则根据题意可列方程为：（x ﹣1）x=72， 解得：x 1=9，x 2=﹣8（舍去）． 故选C ．
2．【答案】B ；
【解析】168元降价a%后的价格为168(1-a%)元，再降价a%后为168(1-a%)(1-a%)元．
根据题意可列方程168(1-a%)2
＝128．
3．【答案】D ；
【解析】设截去小正方形的边长为x ，则30×12-4x 2＝296，∴ x 2
＝16，x 1＝-4(舍去)，x 2＝4． 4.【答案】C ；
【解析】设甲的速度为x 千米/时，则乙的速度为（x+4）千米/时.
根据题意，得
解之,得x 1=16，x 2=－2.
经检验：x 1=16，x 2=－2都是原方程的根，但x 2=－2不合题意，舍去. ∴当x=16时，x+4=20.
5．【答案】A ；
【解析】设新品种花生亩产量的增长率为x ．
1216
(),=0.2=205
x x =-
舍去％. 6．【答案】D ；
【解析】第一次倒出的是纯酒精，而第二次倒出的就不是纯酒精了．
若设每次倒出x 升，则第一次倒出纯酒精x 升，
第二次倒出纯酒精（
20
20x
-·x ）升．
根据20升纯酒精减去两次倒出的纯酒精，就等于容器内剩下的纯酒精的升数． 20－x －
20
20x
-·x ＝5． 二、填空题 7．【答案】220. 【解析】
方法一，设增长的百分率为x ，则2010年盈利额为200(1+x)万元，2011年的盈利额为200(1+x)
2
万元，依题意得200(1+x)2
＝242．解得x 1＝10%，x 2＝-2.1(舍去)，∴ 200(1+x)＝200(1+10%)＝220．
方法二，设2010年的盈利额为x 万元，则2010年增长的百分率为200
100%200
x -⨯， 2011年增长的百分率为242100%x x -⨯，由增长率相同可列方程200242200x x
x
--=， 解得x 1＝220，x 2＝-220(舍去)
8．【答案】2.5m.
【解析】设留空的宽度为x m ，则1(152)(202)20152x x --=
⨯⨯，解得x 1＝15(舍去)，25
2
x =． 9．【答案】1m.
【解析】如图2所示设水渠的宽度为xm ，即可耕土地的长 为(120-4x)m ，宽为(78-3x)m ． (120-4x)(78-3x)＝8700，
即x 2
-56x+55＝0， 解得x 1＝1，x 2＝55．
当x ＝55时，3×55＝165＞78，(不合题意，舍去)． ∴ x ＝1．
答：水渠应挖1m 宽． 10．【答案】35或53．
【解析】设原两位数的十位数字为x ，则个位数字是(8-x)，由题意得 [10x+(8-x)]·[10(8-x)+x]＝1855．
化简得x 2
-8x+15＝0， 解之得：x 1＝3，x 2＝5．
经检验，x 1＝3，x 2＝5都符合题意． 答：原两位数是35或53． 11．【答案】10%．
【解析】设该省今、明两年治理水土流失的面积每年增长的百分数为x ，
依题意得：400+400(1+x)+400(1+x)2
＝1324．
即100x 2
+300x-31＝0．
解得x 1＝0.1＝10%，x 2＝-3.1(不合题意，舍去)．
答：今、明两年治理水土流失的面积每年增长的百分数为10%． 12.【答案】6 .
【解析】∵Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm ，AD 为BC 边上的高，
∴AD=BD=CD=8cm ，
又∵AP=t ，
则S 1=AP •BD=×8×t=8t ，PD=8﹣t ，
∵PE ∥BC ，
∴△APE ∽△ADC ， ∴
，
∴PE=AP=t ，
∴S 2=PD •PE=（8﹣t ）•t ， ∵S 1=2S 2，
∴8t=2（8﹣t ）•t ， 解得：t=6． 三、解答题
13. 【答案与解析】
设BC 长为xm(0＜x ≤15)时，花圃的面积为182m 2
， 则 401822
x
x
-=． 即x 2
-40x+364＝0，b 2
-4ac ＝1600-4×364＝144＞0．
∴ 能围成面积为182m 2
的花圃．解得x 1＝14，x 2＝26(不合题意，舍去)．
答：花圃的面积能围成182m 2
，此时BC 长14m ．
14. 【答案与解析】 解：（1）设剪成的较短的这段为xcm ，较长的这段就为（40﹣x ）cm ，由题意，得 （）2+（
）2=58，
解得：x 1=12，x 2=28，
当x=12时，较长的为40﹣12=28cm ，
当x=28时，较长的为40﹣28=12＜28（舍去）． 答：李明应该把铁丝剪成12cm 和28cm 的两段； （2）李明的说法正确．理由如下：
设剪成的较短的这段为mcm ，较长的这段就为（40﹣m ）cm ，由题意，得 （）2+（
）2=48，
变形为：m 2﹣40m+416=0，
∵△=（﹣40）2﹣4×416=﹣64＜0， ∴原方程无实数根，
∴李明的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48cm 2． 15. 【答案与解析】
(1)当蚂蚁在AO 段时，设离开A 点t s 后两只蚂蚁与O 点组成的三角形的面积是450cm 2
．
根据题意，得
(502)34502
t t
-=．
整理得：2
251500t t -+=， 解得t 1＝10，t 2＝15．
(2)当蚂蚁爬完AO这段距离用了50
25
2
s
=后，开始由O向B爬行，设从O点开始x s后组成的
三角形的面积是450 cm2，根据题意，得：23(25)
450
2
x x+
=，
整理得x2+25x-150＝0，解得x1＝5，x2＝-30(舍去)．
当x＝5时，x+25＝30．这时蚂蚁已由A点爬了30s．
答：分别在10s，15s，30s时，两只蚂蚁与O点组成的三角形的面积是450cm2．。