安徽省毛坦厂中学高三12月月考试题 数学(文)(历届)(含答案)

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2020届安徽省毛坦厂中学高三12月月考试题
历届文科数学试卷
第I 卷（选择题)
一、单选题
1．集合{}260A x x x =--<，集合{}2|log 1B x x =<，则A B =（）
A ．()2,3-
B ．(),3-∞
C ．()2,2-
D ．()0,2
2．已知()sin f x x x =+则下列正确的是（）
A ．(sin1)(cos1)f f <
B ．(sin 2)(cos 2)f f <
C ．(sin 3)(cos 3)f f <
D ．(sin 4)(cos 4)f f <
3．复数z 满足：(2)i z z -⋅=（i 为虚数单位），z 为复数z 的共轭复数，则下列说法正确的是（）
A ．22i z =
B ．2z z ⋅=
C ．||2z =
D ．0z z +=
4．函数f （x ）＝x 3﹣2x ﹣3一定存在零点的区间是（ ）
A ．（2，+∞）
B ．（1，2）
C ．（0，1）
D ．（﹣1，0）
5．已知ABC ∆三条边分别是a ，b ，c ，且()*,,≤≤∈a b c a b c N ，若当()*b n n N =∈时，记满足条件的所有三角形的个数为n a ，则数列{}n a 的通项公式为（）.
A ．21n a n =-
B ．22n n n
a +=
C ．3176
12n n n a +-= D ．2
1n a n n =-+
6．数列1，1
12+，1
123++，…，1
12n ++⋯+的前n 项和为
A ．221n n +
B ．21n n +
C ．12
++n n D ．21n
n +
7．下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面②在空间中，若角1θ与角2θ的两边分别平行，则12θθ=③若直线l 上有一点在平面α内，则l 在平面α内④同时垂直于一条直线的两条直线平行；其中正确命题的个数是（）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
8．函数sin()(0,||,)2y A x x ωϕωϕπ
=+><∈R 的部分图象如图所示，则函数表达式为
A ．4sin()84y x ππ=--
B ．4sin()84y x ππ=-
C ．4sin()84y x ππ=+
D ．4sin()84y x ππ=-+ 9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
正视图 俯视图 侧视图 A ．73 B ．92 C ．72 D ．94 10．函数()2ln f x x x =的图象大致是（） A ． B ． C ． D ． 11
．已知曲线1:2C y x =，2:sin 2cos 2C y x x =+，则下面结论正确的是（）
A ．把曲线1C 向右平移8π
个长度单位得到曲线2C
B ．把曲线1
C 向左平移4π
个长度单位得到曲线2C
C ．把曲线2C 向左平移4π
个长度单位得到曲线1C
D ．把曲线2C 向右平移8π
个长度单位得到曲线1C
12．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：b a ⊗ ,1,1a a b b a b -≤⎧=⎨->⎩设函数()()22f x x =-⊗
()2,x x x R -∈若函数
()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（）
A ．(]3,21,2⎛⎫
-∞-⋃- ⎪⎝⎭ B ．(]3,21,4⎛⎫
-∞-⋃-- ⎪⎝⎭
C ．111,,44⎛⎫⎛⎫
-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．311,,44⎛⎤⎛⎫
--⋃+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭
第II 卷（非选择题)
二、填空题
13．已知向量(1,0)a =-，(4,3)b =，则a 在b 方向上的投影是________.
14．设等差数列{}n a 的公差d 不为零，19a d =，若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =_____.
15．已知正四棱锥P ABCD -的顶点均在球O 上，且该正四棱锥的各个棱长均为2，则球O 的表面积为____. 16．函数()f x 为定义在-00∞⋃+∞（，）（，）上的奇函数，且(2)1f =，对于任意()1212,0x x x x ∈+∞≠，，，都有112212()()
0x f x x f x x x ->-成立.则2()f x x
≤的解集为_________.
三、解答题
17．在中，角所对的边分别为,且满足（2a-c ）cosB=bcosC .
（1）求角B 的大小；
（2）设，且的最大值是5，求k 的值.
18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n S n n =+,*n N ∈,数列{}n b 满足24log 3n n a b =+，*n N ∈.
(1)求n a 和n b 的通项公式；
(2)求数列{n n a b ⋅}的前n 项和n T .
19．如图1，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，PD 垂直于底面ABCD ，已知四棱锥的正视图，如图2所示
. （I ）若M 是PC 的中点，证明：DM ⊥平面PBC ； （II ）求棱锥A BDM -的体积. 20．已知函数21()32x f x e x ax =--. （1）若函数()f x 的图象在0x =处的切线方程为2y x b =+，求,a b 的值； （2）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的最大值. 21．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，点D 是AB 的中点
. (1)求证：1AC BC ⊥； (2)求证：⊥1AC 平面1CDB . 22．已知1()ln ,(,0)x f x x a R a ax -=+∈≠. （1）试讨论函数()y f x =的单调性； （2）若0(0,)x ∃∈+∞使得(0,)x ∀∈+∞都有)()(0x f x f ≥ 恒成立，且0)(0≥x f ，求满足条件的实数a 的取
值集合.
历届文科数学12月份联考参考答案
一、选择题
二、填空题
13．45
- 14．4 15．8π 16．(](]20,2-∞-⋃， 三、解答题
17．（1）（2）
18．（1）12-=n n b ； （2）(45)25n n T n =-+
【解析】
（1）∵2*2,n S n n n N =+∈，∴当1n =时，113a S ==.
当2n ≥时，2212[2(1)(1)]41n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=-.
∵1n =时，13a =满足上式，∴*41,n a n n N =-∈.
又∵*24log 3,n n a b n N =+∈，∴2414log 3n n b -=+，解得：12n n b -=.
故41,n a n =-，12n n b -=，*n N ∈.
（2）∵41,n a n =-，12n n b -=，*n N ∈
∴1122n n n T a b a b a b =+++01213272(45)2(41)2n n n n --=⨯+⨯++-⨯+-⨯①
12123272(45)2(41)2n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯②
由①-②得：1213424242(41)2n n n T n --=+⨯+⨯+
+⨯--⨯ 12(12)34(41)2(54)2512
n n n n n --=+⨯--⨯=-⨯-- ∴(45)25n n T n =-⨯+，*n N ∈.
考点：1.数列通项公式求解；2.错位相减法求和
【点睛】求数列{}n a 的通项公式主要利用11a S =，()12n n n a S S n -=-≥分情况求解后，验证1a 的值是否满足()12n n n a S S n -=-≥关系式，解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：其一，转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解（即分组求和）或错位相减来完成，其二，
不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和，本题中()141?
2n n n a b n -=-，根据特点采用错位相减法求和
19．（I ）证明见解析；（II ）23
. 【解析】(Ⅰ)由正视图可知，2PD DC ==
∵PD ⊥平面ABCD ，∴ PD ⊥BC
又∵ABCD 是正方形，∴BC ⊥CD.
∵PD CD D ⋂=，∴BC ⊥平面PCD
∵DM ⊂平面PCD ，∴DM ⊥BC.
又PCD ∆是等腰三角形，E 是斜边PC 的中点，所以∴DM ⊥PC
又∵BC PC C ⋂=，∴DM ⊥平面PBC.
(Ⅱ)在平面PCD 内过M 作MN//PD 交CD 于N ，所以112
MN PD =
=且MN ⊥平面ABCD ，所以棱锥M －ABD 的体积为 111112221332323
M ABD ABD V S MN AB AD MH -∆=⋅=⨯⋅⋅=⨯⨯⨯⨯= 又∵棱锥A －BDM 的体积等于棱锥M －ABD 的体积，
∴棱锥A －BDM 的体积等于23
. 【点睛】本题主要考查棱锥的体积、线面垂直的判定定理，属于中档题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.
20．（1）13a b =⎧⎨=⎩
；（2）1ln3+. 【解析】（1）由题意，函数21()32
x f x e x ax =--. 故()3x f x e x a '=--，则(0)3f a '=-，
由题意，知32a -=，即1a =. 又21()32
x f x e x x =--，则(0)3f =. 203b ∴⨯+=，即3b =.
13a b =⎧∴⎨=⎩
. （2）由题意，可知0)(≥''x f ，即03≥--a x e x 恒成立，
∴x e a x -≤3恒成立…………………………………………………………………..7分
设()3x g x e x =-，则()31x g x e '=-.
令()310x g x e '=-=，解得ln3x <-.
令()0g x '<，解得ln3x <-.
令()0g x '>，解得x ln3x >-.
()g x ∴在(,ln 3)-∞-上单调递减，在(ln 3,)-+∞上单调递增，在ln3x =-处取得极小值.
min ()(ln 3)1ln 3g x g ∴=-=+.
所以3ln 1+≤a
故a 的最大值为1ln3+.………………………………………………………………………….12分
【点睛】本题主要考查利用某点处的一阶导数分析得出参数的值，参变量分离方法的应用，不等式的计算能力．本题属中档题．
21． (1)证明见解析；(2) 证明见解析
【解析】证明：(1)∵90ACB ∠=︒，∴AC CB ⊥，
又在直三棱柱111ABC A B C -中，有1AC BB ⊥，
∴AC ⊥平面11BB C C . 因为BC 1⊂平面11BB C C ，∴AC ⊥BC . ………………………………….6分
(2)设1BC 与1B C 交于点P ，连DP ，易知P 是1BC 的中点，又D 是AB 中点，
∴AC 1∥DP ，
∵DP ⊂平面1CDB ，1AC ⊄平面1CDB ，
∴AC 1∥平面1CDB . …………………………………………………………….12分
【点睛】证明线与平面平行，一般可用判定定理，转化为证明线线平行，一般可通过构造平行四边形，或是三角形中位线证明线线平行，或是证明面面平行，则线面平行，在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．
22．（1）分类讨论，详见解析；（2）{}1.
【解析】（1）由1()ln x f x x ax -=+，得2
1()(0)ax f x x ax -+'=>…………………………..2分 ①当0a <时，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，
()f x ∴在(0,)+∞上单调递增；..................................................................................................4分
②当0a >时，由()0f x '>得1x a >，由()0f x '<，得10x a
<<， ()f x ∴在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增. 综上：①当0a <时，()f x 在10,a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增，无递减区间； ②当0a >时，()f x 在10,a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增…………………..6分 （2）由题意函数存在最小值()0f x 且0)(0≥x f ，
①当0a <时，由（1）上单调递增且(1)0f =，
当x (0,1)x ∈时，()0f x <，不符合条件；.......................................................................8分
②当0a >时，()f x 在10,a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增， min 111()1ln f x f a a a ⎛⎫∴==-+ ⎪⎝⎭
， ∴只需0)(min ≥x f 即 01ln 11≥+-a
a ， 记()1ln (0)g x x x x =-+>则1()1g x x
'=-+， 由()0g x '>得01x <<，由()0g x '<得1x >，
()g x ∴在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，
,1,11,0)1()(g =∴=∴=≤∴a a
g x 即满足条件a 的取值集合为{}1.
【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间和导数的综合应用，考查了分类讨论思想和函数思想，属难题．。